大学微积分的教程.docx

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1、一、函数的极值及其求法极值的定义定义 设函数 y =/（工）在工 0 的某一邻域内有定义,如果对任意的 xx0,恒有/(x)/(x0)则称/（必）为/的一个极大（小）值.函数的极大值与极小值统称为极值，函数取得极值 的点称为极值点.I sin 兀在彗取极小值注意：0 和 2 兀不是 sin x 的极值点极值存在的必要条件定理设函数 y=/(x) 在极值点必可导，则/注 1：如果/F(x ) = 00x) = 0,那么称必为/的驻点极值存在的必要条件定理 设函数 y =/(x)在极值点必可导，贝0Of Z（X ） = 0.注仁如果广(兀)=0,那么称必为于的驻点注 2:驻点不一定是极值点.注 3

2、:不可导点也可能是极值点.9极值可疑点不可导点驻点极值存在的第一充分条件定理 设函数必是/仗）的极值可疑点”3）在兀 o 的某一邻域内（x0-S, x0+S）连续且可导（在可以不可导）:当兀 w (x0-8, x0)时，广 3) 0, 当兀 w 3, x0+8)时,f(x) v 0, 则是/ 3)的极大值点.(2)当 x w (x0-8, x0)时，ff(x) v 0, 当 x阶导数变号法w (x0, x0+S)时,f(x) 0,则兀 0 是/仗)的极小值点.（3） 在上述两个区间，/）同号，则 x0 不是极值点.A,个 厂例 1 I 求函数/(x) = x3- 3x 2- 9x + 5的极值

3、.解 fx) =3x26x9= 3(x + l)(x-3)Xi, -1)-1(-1,3)3(3, Mff(x)+0- 0 +/(x)/极大 极小/令广（兀）=0 得：= -1, X2= 3极大值/(-l) = 10极小值/(3) = -22例 1求函数/(x) = x3- 3x 2- 9x + 5的极值图形如下:例 2求函数 f(x) = l-(x-2Y的极值.2_丄解 /(x) = -s(x-2) 3(XH2)当工=2 时，广不存在，但于在 R 上连续.极值存在的第二充分条件(1) 如果 7W 0,则/(兀)在兀。取极小值;定理 设函数丿=/(x)在驻点 x0 二阶可导，(2) 如果/3。)

4、 说明:1.记忆- 特例法:y = x2, y= -x2兀 03./ (x ) = 0 时不可使用.n02.只适用于驻点，不能用于判断不可导点J A例 3 |求函数/(x) = x3+3x2- 24x -20的极值. 解/x) = 3x2+6x-24=3(x + 4)(x - 2)令广(兀)=0 得:xx= -4, X2= 2f zr(x) = 6x + 6 V/n(-4) = -180极小值于(2) = -48例 3 求函数/(x) = x3+ 3W24兀-20 的极值 图形如下:求极值的步骤：1. 确定函数的定义域;2. 求导数广（工）；3求定义域内的极值可疑点（即驻点和一阶 不可导点）；

5、4.用极值的第一或第二充分条件判定. 注意：第二充分条件只能判定驻点的情形.二、函数的最值及其求法极值是局部的，而最值是全局的.若函数于（兀）在a, b上连续，则函数/（兀）在偽 b上存在最大值和最小值求闭区间a.b上最值的步骤：1. 求出定义域内所有的极值可疑点（驻点和一阶 不可导点）可,兀 2,心,并算出相应函数值于（心）;2计算/（a）J（b）；3最大值 M =max/ （A：i）,/（切,/）, 于（方）最小值加二 min/（A：i）,/（）,/）,/（）例 4 |求函数/(x)= (x-l)V在-l,05上的最值.鈕-5v-2鱗广(X)= 0 +(X _ l)x 3 = -_y/X令

6、广(工)=0 得：x1=4 x = 0是于(兀)的不可导点. /(!)=-! 1 时,证明1xp+(l-xy 1 2”-1证令/(x) = xp+ (l-x) pff(x) =pxplp(l-x)p1令广(兀)=0, 得驻点 x = l/2/(0) =/(1) = 1/(f) = 7T结论成立.将边长为。的正方形铁皮，四角各截去 相同的小正方形，折成一个无盖方盒，问如何 蠢,檢方盒的容穎最大？为多少？III解设小正方形的边长为 X,则方盒的容积为例方形，折成一个无盖方盒，问如何 籤,檢方盒的容穎最大？为多少？将边长为。的正方形铁皮，四角各截去 相同的小正解 设小正方形的边长为 X,则方盒的容积

7、为(aV = x(a-2x)3xe0,一,I 2 丿 求导得：Vr= (a - 2x)(a - 6x)/唯一驻点工=a/6厂 = 24x Vrta=-40,所以当兀= 400 时，平均成本最低.X此时平均成本和边际成本均为 4.一般，当平均成本最低时，平均成本与边际成本相等.2. 最大利润问题例 9 设某产品的需求量兀是价格 p (元)的函数：x = 18-4每天生产该产品的成本函数为 C(x) = 120 + 2x+x2问工厂每天产量为多少时，利润最大？此时价格多少?解利润函数为Z/(x) xp Cx(724x) - (120+ 2 兀+)= -5X2+70X-120令 Z/(Q = 70- 10x = 0,得唯一驻点 x = 7W L n(x) = -10 0，故当兀=5 时 F 最小.25