2022年概率论基本公式 .pdf

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1、.概率论与数理统计基本公式第一部分概率论基本公式1、)(;ABABAABABABA例：证明：成立。得证。成立，也即成立，也即（不发生，从而发生，则不发生，知由（证明：（BABAABABBAABABBBABABAABABBA).)2、对偶率：.BABABABA；3、概率性率：(1)()()(212121APAPAAPAA为不相容事件，则、有限可加：(2)()();()()(),()()(BPAPBPAPBAPABABPAPBAP时有：特别，（3）)()()()(ABPBPAPBAP对任意两个事件有：)();();();()1(.4.0)(2.0)(5.0)(ABPBAPBAPABPBPBAPAP

2、求：，例：已知：.3.0)(1)(,7.0)()()()(3.0)()()(,5.0)(.,2.0)()()()(,BAPBAPABPABPBPAPBAPABPAPBAPAPABPBPBAPABPBABBBAAB又即是不相容事件，、且解：4、古典概型222n2!)(n,22)-n2)!n2(22nCnAPCAnnn！，则自成一双为：！（解：分堆法：每堆自成一双鞋的概率只，事件堆，每堆为只，分为双鞋总共例：5、条件概率称为无条件概率。的条件概率，条件下，事件称为在事件)(,)()()|(BPBAAPABPABPB)|P(B)P(AP(AB)A)|P(A)P(BP(AB)乘法公式：)|()()(i

3、iABPAPBPi全概率公式：)|()()|()()()()|(jjjiiiABPAPABPAPBPBAPBAPi贝叶斯公式：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 12 页 -.例：有三个罐子，1 号装有 2 红 1 黑共 3 个球，2 号装有 3 红 1 黑 4 个球，3 号装有 2 红 2黑 4 个球，某人随机从其中一罐，再从该罐中任取一个球，（1）求取得红球的概率；（2）如果取得是红球，那么是从第一个罐中取出的概率为多少？.348.0)()()|()|()2(.639.0)(31)()()(.21)|(;43)|(;32)|()|()()(3,2,1i)1(111

4、321321ii321APBPBAPABPAPBPBPBPBAPBAPBAPABPAPBPBBBAiBii由贝叶斯公式：，依题意，有：由全概率公式是一个完备事件、，由题知取得是红球。，号罐球取自设解：6、独立事件（1）P(AB)=P(A)P(B),则称 A、B独立。(2)伯努利概型如果随机试验只有两种可能结果：事件A发生或事件A不发生，则称为伯努利试验，即：P(A)=p,qpAP1)(0p1,p+q=1)相同条件独立重复n 次，称之为n 重伯努利试验，简称伯努利概型。伯努利定理：knkknppCpnkb)1(),;(（k=0,1,2）事件 A首次发生概率为：1)1(kpp例：设事件 A在每一次

5、试验中发生的概率为0.3，当 A发生不少于3 次时，指示灯发出信号，（1）进行 5 次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率；（2）进行了7 次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率。353.0)()1(1)1()(7)2(163.0)()1()(5120777375535CPppCppCCPCBPppCBPBknkikkkikkkik，代入数据，得：号”，则由题意有：次独立试验发出指示信“设，代入数据得：号”，则由题意有：次独立试验发出指示信“）设解：（第二章7、常用离散型分布（1）两点分布：若一个随机变量X只有两个可能的取值，且其分布为：pxXPpxXP1;21（0p0）都是常数。分布函数为：

6、.,21)(222)(xtxdtexF。当时，1,0称为标准正态分布，概率密度函数为：,21)22xex（分布函数为：.21)(22dtexxt定理：设)1,0(),(2NXYNX则其期望 E(X)=,D(X)=2。9、随机变量函数的分布（1）离散型随机变量函数分布一般方法：先根据自变量X的所有可能取值确定因变量Y 的所有可能值，然后通过Y 的每一个可能的取值iy(i=1,2,)来确定 Y的概率分布。（2）连续型随机变量函数分布方法：设已知X的分布函数)(xFX或者概率密度)(xfX，则随 机 变 量Y=g(X)的 分 布 函 数)()(YYCXPyXgPyYPyF,其 中)(|yxgxCy，

7、dxxfCXPyFyCXYY)()(，进而可通过Y的分布函数)(yFY，求出 Y的密度函数。例：设 随 机 变 量X 的 密 度 函 数 为其他,011|,|1)(xxxfX，求 随 机 变 量。的 分 布 函 数 和 密 度 函 数12XY名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 12 页 -.其他所以，时，当时，得：当时那么当得：函数，则由的分布函数和概率密度分别是随机变量和解：设,021,111)()(2,1,21),1(121,0)(,10|)|1(01)(2y),1(12)1()1(|)|1(111)(21,0)(1)(1,2111)()(1111-2101101

8、22yyyFxfyyyyyyFdxdxxdxyXPyYPyFyydxxdxxdxxyxyPyXPyYPyyPyXPyYPyFyyxYyfyFYXYYyyyyYYYY10、设随机变量XN(),2,Y=baX也服从正态分布.即)(,(2abaNbaXY。11、联合概率分布(1)离散型联合分布：1ijijPX Y 1yjyPX=ix 1xixp11jp11iPijPjjP1jijPPY=jyiiP1iijP1(2)连续型随机变量函数的分布：例：设随机变量（X，Y）的密度函数1(),02,02(,)80,xyxyf x y其他求(),(),(),(),cov(,)f xf yE XE YX Y，XY，

9、D(X+Y).解：当0 x2 时由dyxfX）yx(8/1)(x0，得：xfX4/11/8xx(2），当 x2 时，由000)(02dydyxfX，所以，20,4/11/8x,02)(xxXxf其他名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 12 页 -.同理可求得:2y0,4/11/8y02)(yYyf，其他；E(X)=7/6dxx(20）Xxf,由对称性同理可求得，E(Y)=7/6。因为 E(XY)=4/3.y)dxdy1/8xy(x),(xy20202020dxdyyxf所以，cov（X,Y）=E(XY)-E(X)E(Y)=4/3-(7/6)2=-1/36。3611)6

10、7()y()()()(22022022dxdyxfxXEXEXD，同理得 D(Y)=3611,所以，XY=111)()(),cov(YDXDYXD(X+Y)=D(X)+D(Y)+2cov(X,Y)=9512、条件分布：若的条件分布函数发生条件下，为在称XAAxFAPAxXPAxXPAxF)|(,|)|(13、随机变量的独立性：由条件分布设A=Y y,且 PYy0,则：)(),(,|(yFyxFyYPyYxXPyYxFY，设随机变量（X,Y）的联合分布概率为F（x,y），边缘分布概率为)()(yFxFYX、，若对于任意x、y 有：,yYPxXPyYxXP，即：)()(),(yFxFyxFYX，则

11、称 X和 Y独立。14、连续型随机变量的条件密度函数：设二维连续型随机变量（X,Y）的概率密度为),(yxf,边缘概率密度函数为)()(yfxfYX、，则对于一切使)(xfX0 的 x,定义在X=x 的条件下Y的条件密度函数为：)(),()|(|xfyxfxyfXXY，同理得到定义在Y=y条件下 X的条件概率密度函数为：)(),()|(|yfyxfyxfYYX，若),(yxf=)()(yfxfYX几乎处处成立，则称X,Y 相互独立。例：设二维随机变量（X，Y）的概率密度函数为：其它,00,0,),()2(yxceyxfyx，求（1）确定常数c；（2）X,Y 的边缘概率密名师资料总结-精品资料欢

12、迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 12 页 -.度函数；（3）联合分布函数F(x,y);(4)PYX;(5)条件概率密度函数)|(|yxfYX；（6）PX2|Y0，D(Y)0，则当且仅当存在常数a，b（0a），使：.10;101|1XYXYXYaabaXYP时，当时，而且时，附注：独立。与从而不能推注可能有其他函数关系，之间不是线性关系，但与时，只能说明XYXYXY0设 e=EY-(2)baX,称为用baX来近似Y 的均方差，则：设D(X)0，D(Y)0,有：),()(,)(),cov(000XEaYEbXDYXa使均方误差达到最小。18、切比雪夫不等式：设随机变量X的期望 E(X)=,方

13、差 D(X)=2,则对于给定任意正数，有：.1|2222XPXP，或者为：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 12 页 -.19、大数定理：设随机变量X1,X2,Xn相互独立，且具有相同的期望和方差：2)(,)(iiXDXE，i=1,2,3 ，niinXnY11记，则 对 于 任 意0,有：为概率。发生的次数，重伯努利中为其中推论pAnnpnnPYPAAnnn(1|,1|limlim20、中心极限定理；（1）设随机变量X1,X2,Xn相互独立，服从同一分布，且2)(,)(iiXDXE，i=1,2,3，则：.212/12limdtexnnXPtxniin一个结论：)1,

14、0(/1NnXnii(2)棣莫佛拉普拉斯定理：设随机变量X1,X2,Xn相互独立，并且都服从参数为p 的两点分布，则对任意实数x，有：）xdtexpnpnpXPtxniin(21)1(2/12lim第二部分数理统计21、由于样本方差（或样本标准差）很好的反应总体方差（或标准差）的信息，因此，当方差2未知时，常用2S去估计，而总体标准差则常用样本标准差S去估计。22、常用统计分布（1）分位数：设随机变量X 的分布函数F（x）,对给定的实数的双侧分位数。分布的为随机变量则称满足若实数的上侧分位数，分布的水平为随机变量则称满足若实数（、XTTXPTXFFXPF222,|,),10，分布。的服从自由度

15、为的样本，称统计量是取自总体分布：设）（nDnEnXXXNn2)(,)()1,0(X,X,X2222222212n212分布。的服从自由度为相互独立，则称和且分布）（tnnYXTYXnYNXt/),(),1,0(32),(),/),(),(422nmFFFnmmYnXnYmXFYXnYmXF分布，记：的服从自由度为（相互独立，则称与且分布：设）（22、抽样分布A、单正态总体抽样分布（1）设总体的一个样本，是取自，XXXXNXn2,12),(名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 12 页 -.为该样本的样本均值，X则有：)1,0(/);/2NnXUnNX，（相互独立。与和

16、样本方差，则有：分别是该样本均值与的一个样本是取自，设总体2222222,12);1(1,),()2(SXnSnSXXXXXNXn).1(/);()(1,),(32212222,12ntnSXTnXSXXXXXNXniin：均值和样本方差，则有分别是该样本与的一个样本是取自，）设总体（B、双正态总体抽样分布：)2(/2/1)()();1,1()1,0(/)()(1,2)1()1(2121212222121222121222212121212222112nntnnSYXTnnFSSFNnnYXUnnSnSnSWw时，当）则（23、参数估计点估计：是相应的一组样本值的一个样本，是取自，设nnxxx

17、XXXX,212,1，为估计未知参数是总体分布的未知参数，需要构造一个适当的：),(21nXXX，然后观察值：),(21nxxx来估计，),(21nXXX称为的估计量，),(21nxxx称为的估计值，估计量和估计值统称为点估计。设),(21nXXX是未知参数的估计量，若)(E,则称为的无偏估计量，的无偏估计量。是阶中心矩的无偏估计量，样本二是差的无偏估计量，样本方是样本均值，则：，方差为的均值为的样本，总体是取自，设2212222,1)(1XXnSXXXXXniinX24、点估计常用方法（1）矩估计法：先求 E（X）,得到一个 E(X)与未知参数的式子，用 E(X)表示未知参数，再把E(X)用

18、X代替即可。例：已知总体X的概率分布为,2,1,0,)1(22kCkXPkkk求参数的矩估计。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 12 页 -.。的矩估计为：得到代替用样本均值，）（）（解：2-1)(2)(-12-2-12-12x1x0)(221XXEXXEkXPxXEnii（2）最大似 然估计：一 般方法：a、写出最大似然函数L();,21nxxx;0)(bddL令或求出驻点；,0)(lndLdc、判断并求出最大值点，在最大值点得表达式中，用样本均值代入即得到参数的最大释然估计值。估计量。的矩估计量和最大似然为一个样本，试求参数，设是未知参数，（，其中其它的概率密

19、度为例：设总体nXXXxxxf2,1)1,010,)1()(XniiniiniinnnninnxnxndLdxnxxxnLxxxxLXXXxxxXXXEXXEXEdxxxXE1121211212110ln-1-,0ln1)(ln,ln)1ln()ln()1ln()(ln,)()1()1()(,1-2-1)(,1)()(21,21)1()(的最大似然估计值：从而解得取取对数似然函数为：的一组观察值，则最大，是相应样本设，得到矩估计为：即代替用样本均值解：25、假设检验的一般步骤：（1）根据实际问题的要求，充分考虑和利用已知的背景知识，提出原假设0H及备择假设1H；（2）给定显著水平 以及样本容量

20、n；（3）确定检验统计量U，并在原假设0H成立的前提下导出U的概率分布，要求U的分布不依赖于任何未知参数；（4）确定拒绝域，即依据直观分析先确定拒绝域形式，然后根据给定的显著性水平和 U的分布，由P拒绝0H|0H为真=，确定拒绝域的临界值，从而确定拒绝域W；（5）做一次具体抽样，根据得到的样本观察值和所得的拒绝域，对假设0H做出拒绝或接受的判断。例：水泥厂用包装机包装水泥，每袋额定重量50 千克，某日开工后随机抽查了9 袋，得其样本均值为499，样本方差为029假设每袋重量服从正态分布，问包装机工作是否正常（0.05）？（已知0.025(8)2.306)t解：（1）建立假设0H:=50，1H:50;名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 11 页，共 12 页 -.（2）选择统计量：)1()/()(0ntnSXT；（3）对于给定的显著性水平，确定 k，使 P|T|k=，查 t 分布表得：306.2)8(025.02/ttk，从而得拒绝域为：|t|2.306.即认为包装正常。，故而可接受所以）（02,306.256.0/50|t|,29.0,9.494HnsxSx名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 12 页，共 12 页 -