2022年全国初中数学联赛试题及答案 .pdf

《2022年全国初中数学联赛试题及答案 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年全国初中数学联赛试题及答案 .pdf（8页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、20XX 年全国初中数学联赛试题及答案一、选择题：(每题 7 分，共 42 分)1、化简：11459+30236640 2的结果是。A、无理数B、真分数C、奇数D、偶数2、圆内接四条边长顺次为5、10、11、14；则这个四边形的面积为。A、78.5B、97.5C、90D、102 3、设 r4，a11rr+1，b11rr+1，c1r(r+r+1)，则下列各式一定成立的是。A、abc B、bcaC、cabD、cba 4、图中的三块阴影部分由两个半径为1 的圆及其外公切线分割而成，如果中间一块阴影的面积等于上下两块面积之和，则这两圆的公共弦长是。A、52B、62C、21252D、211625、已知二

2、次函数 f(x)ax2bxc 的图象如图所示，y 记 p|abc|2ab|，q|abc|2ab|，则。A、pq B、pq C、pbc B、bca C、cab D、cba 解法 1：用特值法，取r=4，则有,a=1114520，b2 52 51552 51.03625102020，c5521521.18420204(2+5)cba，选 D 解法 2：a11111rrr r，b11111111rrrrr rr rrrc1r(r+r+1),4,111111111110111,111110111,:,Drr rr rrrr rr rrrr rrrr rr rrrabr rrrrrrrrr rrr rr

3、rrrrbcabcQ故又故综上所述选解法 3：r 4 111rr1,111111111abrrrrrrc111111rrrrbrrrrr,abq B、pq C、pq D、p、q 大小关系不能确定解：由题意得：a0，c=0 p|a b|2a b|，q|a b|2a b|,又1,2,20,02bbaababaa从而,p|a b|2a b|b-a+2a+b=a+2b=2b+a，q|a b|2a b|=a bb-2a=2b-a pq，选 C ,6、若 x1，x2，x3，x4，x5为互不相等的正奇数，满足(2005 x1)(2005 x2)(2005 x3)(2005x4)(2005 x5)242，则2

4、222212345x+x+x+x+x的未位数字是。A、1 B、3 C、5 D、7 解：因为 x1，x2，x3，x4，x5为互不相等的正奇数，所以(2005 x1)、(2005 x2)、(2005x3)、(2005 x4)、(2005 x5)为互不相等的偶数而将 242分解为 5个互不相等的偶数之积，只有唯一的形式：2422(-2)46(-6)所以(2005 x1)、(2005 x2)、(2005 x3)、(2005 x4)、(2005 x5)分别等于2、(-2)、4、6、(-6)所以(2005 x1)2(2005 x2)2(2005 x3)2(2005 x4)2(2005 x5)222(-2)

5、24262(-6)296 展开得：22222212345123455 2005-4010 x+x+x+x+x+x+x+x+x+x962222221234512345x+x+x+x+x=96-5 2005+4010 x+x+x+x+x1 mod10A，选二、填空题(共 28 分)1、不超过100 的自然数中，将凡是3 或 5 的倍数的数相加，其和为。解：(3 132333)(5152 520)(151152 156)168310503152418 2、227x+9x+13+7x5x+13=7x，则x。y 0 1 x名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 8 页 -解：分子有

6、理化得：2214=7x7x+9x+137x5x+13x，,x0，22227x+9x+13-7x5x+13=27x+9x+137x5x+132，即,两边平方化简得：2722 7x5x+13x,再平方化简得：212421x8x48=0()73xx，解之得或舍去3、若实数x、y 满足3333yx=1,3+43+63333yx=1,5+45+6则 xy。解法 1：假设 xya，则 yax,3333333323333333333336343634,643433436461xaxxa即,3333333323333333333356545654,645455456462xaxxa即,223333333333

7、33332153535345363456aa得：=432解法 2：易知33333 5146xyttt、是关于 的方程的两根,化简得：23333334664460txytxy,3333333335463456432xyxy由韦达定理得：4、已知锐角三角形ABC的三个内角A、B、C满足：ABC，用 a 表示 AB，BC以及 90 A中的最小者，则a 的最大值为。解：min,90AB BCAQ,90623 902709015901575,60,4515ABBCAABBCAABCABBCAABC另一方面，当时，有满足题设条件，故可取得最大值名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共

8、8 页 -三、解答题(第 1 题 20 分，第 2、3 题各 25 分)1、a、b、c 为实数，ac0，且2a+3b+5c=0，证明：一元二次方程ax2bxc0 有大于34而小于 1 的根。解：设2fxaxbxc,3931416419121616ffabcabcabcabc则,6152a+3b+5c=0,b=3acQ,26159121694 64 15163336315819625624033363158196256240033abcabcaaccaaccacacaaccc,3104ff,一元二次方程ax2bxc0 有大于34而小于 1 的根.2、锐角 ABC中，AB AC，CD、BE分别是

9、AB、AC边上的高，DE 与 BC的延长线于交于T，过 D作 BC的垂线交 BE于 F，过 E作 BC的垂线交 CD于 G，证明：F、G、T 三点共线。证法 1：设过 D、E 的垂线分别交BC于 M、N，在 RtBEC 与 RtBDC中，由射影定理得：CE2CN CB，BD2BM BC 22CNCEBMBD又 RtCNG RtDCB，RtBMF RtBEC，,BDCEGNCN FMBMCDBE221GNBD BECNBD BECEBE CEFMCD CEBMCD CEBDBD CD在 RtBEC 与 RtBDC中，由面积关系得：BE CE EN BC，BD CD DM BC TNGFMEDBC

10、A名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 8 页 -2BE CEENTNBD CDDMTM由(1)(2)得：,.GNTNGNFMFGTFMTMP又，、三点共线证法 2：设 CD、BE相交于点 H，则 H为 ABC的垂心，记 DF、EG、AH与 BC的交点分别为M、N、R DM AR EN DFAHEGFMHRGN由合比定理得：,.DMENGNENTNFGTFMGNFMDMTM故、三点共线证法 3：在 ABC中，直线 DET分别交 BC、CA、AB于 T、E、D，由梅涅劳斯定理得：1(1)BT CEADTCEA DB设 CD、BE相交于点 H，则 H为 ABC的垂心，AH

11、BC DFBC、EG BC AH DF EG,11CECGADHFBT CGHFEAGHDBFBTC GHFB代入得由梅涅劳斯定理的逆定理得：F、G、T 三点共线.证法 4：连结 FT交 EN于 G，易知DFEGFMG N为了证明F、G、T 三点共线，只需证明DFEGFMGN即可1212sinsinsinsinBDFBMFBD BFABESDFBDABEFMSBMBFCBEBMCBE1212sinsinsinsinCEGCMGCE CGACDSEGCEACDGNSCN CGBCDCNBCD又,BDBC CEBCBMBD CNCEsin,sinDFBCABEFMBDCBEsin1sinEGBCA

12、CDGNCEBCDCD AB、BECA，B、D、E、C四点共圆 ABE ACD,(2)RHTNGFMEDBCAHTNGFMEDBCAGTNGFMEDBCA名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 8 页 -又,sinsinsinsinBDCEBCBDCBECEBCDBCDCBE(3)将(2)(3)代入（1）得：DFEGFMGN，故 F、G、T 三点共线.3、设 a、b、c 为正整数，且a2b3c4，求 c 的最小值。解：显然 c1.由题设得：(c2-a)(c2+a)=b3若取22221,2b bcabccab则由大到小考察b，使12b b为完全平方数，易知当b8 时，c23

13、6，则 c=6，从而a=28。下面说明c 没有比 6 更小的正整数解，列表如下：c c4x3(x3c4)c4-x32 16 1,8 17,8 3 81 1,8,27,64 80,73,54,17 4 256 1,8,27,64,125,216 255,248,229,192,131,40 5 625 1,8,27,64,125,216,343,512 624,617,598,561,500,409,282,113 显然，表中c4-x3的值均不是完全平方数。故c 的最小值为6 参考答案：一、1、D 原式=22114(523)3(524)111475 275 22、C 52+142=221=102+112A、C 都是直角3、D4、D5、C6、A 二、1、24182、1273、xy334353634324、15三、1、略2、略3、c 的最小值为 6。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 8 页 -