2022年初中几何中线段和与差最值问题 .pdf

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1、1初中几何中线段和（差）的最值问题一、两条线段和的最小值。基本图形解析：一）、已知两个定点：1、在一条直线m上，求一点P，使 PA+PB最小；（1）点 A、B在直线 m两侧：（2）点 A、B在直线同侧：2、在直线m、n 上分别找两点P、Q，使 PA+PQ+QB 最小。（1）两个点都在直线外侧：（2）一个点在内侧，一个点在外侧：（3）两个点都在内侧：PmABmABmABPmABAnmABQPnmABPQnmABQPnmABBQPnmABBAnmAB名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 13 页 -2（4）、台球两次碰壁模型变式一：已知点A、B位于直线 m,n 的内侧，在直

2、线n、m分别上求点D、E点，使得围成的四边形ADEB 周长最短.变式二：已知点A位于直线 m,n 的内侧,在直线 m、n 分别上求点P、Q点 PA+PQ+QA周长最短.二）、一个动点，一个定点：（一）动点在直线上运动：点 B在直线 n 上运动，在直线m上找一点 P，使 PA+PB最小（在图中画出点P和点B）1、两点在直线两侧：2、两点在直线同侧：（二）动点在圆上运动点 B在O 上运动，在直线m上找一点 P，使 PA+PB最小（在图中画出点P和点 B）1、点与圆在直线两侧：mnAPmnABmnAPmnAABmOAPPmOBABmnABEDmnABABmnAPQmnAAA名师资料总结-精品资料欢迎

3、下载-名师精心整理-第 2 页，共 13 页 -32、点与圆在直线同侧：三）、已知 A、B是两个定点，P、Q是直线 m上的两个动点，P在 Q的左侧,且 PQ间长度恒定,在直线 m上要求 P、Q两点，使得PA+PQ+QB 的值最小。(原理用平移知识解)（1）点 A、B在直线 m两侧：作法：过 A点作 AC m,且 AC长等于 PQ长，连接 BC,交直线 m于 Q,Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。（2）点 A、B在直线 m同侧：练习题 1 如图 1，AOB=45，P是AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求PQR周长的最小值为2、如图 2，在锐角三角形ABC

4、中，AB=4,BAC=45，BAC 的平分线交BC于点D，M,N分别是 AD和 AB上的动点，则BM+MN 的最小值为3、如图 3，在锐角三角形ABC中，AB=，BAC=45，BAC的平分线交BC于 D，M、N52mOAPmOABAmABBEQPmABQPmABQPmABCQP名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 13 页 -4分别是 AD和 AB上的动点，则BM+MN 的最小值是。4、如图 4所示，等边 ABC 的边长为 6,AD 是 BC边上的中线,M 是 AD上的动点,E 是 AC边上一点.若 AE=2,EM+CM 的最小值为 .5、如图 5，在直角梯形ABCD

5、中，ABC 90，AD BC，AD 4，AB 5，BC 6，点 P是AB上一个动点，当PC PD的和最小时，PB的长为 _6、如图 6，等腰梯形ABCD中，AB=AD=CD=1，ABC=60，P是上底，下底中点EF直线上的一点，则PA+PB的最小值为7、如图 7菱形 ABCD 中，AB=2，BAD=60，E是 AB的中点，P是对角线 AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为8、如图 8，菱形 ABCD 的两条对角线分别长6和8，点 P是对角线 AC 上的一个动点，点M、N分别是边 AB、BC 的中点，则 PM+PN 的最小值是9、如图 9，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内

6、离杯底3cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为_cm10、如图 10 所示，已知正方形ABCD的边长为 8，点 M在 DC上，且 DM=2，N是AC上的一个动点，则DN+MN 的最小值为11、如图 11，MN是半径为 1 的O 的直径，点A在O 上，AMN 30，B为 AN弧的中点，P是直径 MN上一动点，则 PA PB的最小值为()(A)2 (B)(C)1 (D)2解答题1、如图，正比例函数的图象与反比例函数（k0）在第一象限的图象交于xy21xkyA点，过 A点作 x 轴的垂线，垂足为M，已知三角形OAM 的面积为1.

7、（1）求反比例函数的解析式；（2）如果 B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点 A不重合），且B点的横坐标为 1，在 x 轴上求一点P，使 PA+PB最小.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 13 页 -52、如图，一元二次方程的二根，（）是抛物线0322xx1x2x1x2x与 x 轴的两个交点B，C 的横坐标，且此抛物线过点A（3，6）cbxaxy2（1）求此二次函数的解析式；（2）设此抛物线的顶点为P，对称轴与AC 相交于点Q，求点P 和点Q 的坐标；（3）在x 轴上有一动点M，当MQ+MA取得 最小值时，求M点的坐标3、如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标

8、为（1，），AOB的面积是.33（1）求点 B的坐标；（2）求过点A、O、B的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使 AOC的周长最小？若存在，求出点C的 坐标；若不存在，请说明理由.4如图，抛物线yx2x3 和 y 轴的交点为A，M为OA的中点，若有一动点P，自35185M点处出发，沿直线运动到x轴上的某点（设为点E），再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点F），最后又沿直线运动到点A，求使点P运动的总路程最短的点E，点F的坐标，并求出这个最短路程的长名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 13 页 -65如图，已知在平面直角坐标系xOy

9、中，直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=AB=2，OC=3，过点B作BDBC，交OA于点D将DBC绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于点E和F（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）当BE经过（1）中抛物线的顶点时，求CF的长；（3）在抛物线的对称轴上取两点P、Q（点Q在点P的上方），且PQ1，要使四边形BCPQ的周长最小，求出P、Q两点的坐标6如图，已知平面直角坐标系，A，B两点的坐标分别为A(2，3），B(4，1）若C(a，0)，D(a+3，0)是x轴上的两个动点，则当a为何值时，四边形ABDC的周长最短7、如图，在

10、平面直角坐标系中，矩形的顶点 O在坐标原点，顶点A、B分别在 x 轴、y 轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边 OB的中点.（1）若 E为边 OA上的一个动点，当 CDE 的周长最小时，求点E的坐标；（2）若 E、F 为边 OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 13 页 -7二、求两线段差的最大值问题(运用三角形两边之差小于第三边)基本图形解析：1、在一条直线m上，求一点P，使 PA与 PB的差最大；（1）点 A、B在直线 m同侧：解析：延长AB交直线 m于点 P，根据三角形两边之差小于第

11、三边，PAPB AB，而PA PB=AB此时最大，因此点P为所求的点。（2）点 A、B在直线 m异侧：解析：过 B作关于直线m的对称点 B,连接 AB 交点直线m于 P,此时 PB=PB ，PA-PB最大值为 AB 练习题1.如图，抛物线yx2x2的顶点为A，与y轴交于点B14(1)求点A、点B的坐标；(2)若点P是x轴上任意一点，求证：PAPBAB；(3)当PAPB最大时，求点P的坐标.2.如图，已知直线yx1 与y轴交于点A，与x轴交于21点D，抛物线yx2bxc与直线交于A、E两点，与x21轴交于B、C两点，且B点坐标为(1，0)（1）求该抛物线的解析式；（3）在抛物线的对称轴上找一点M

12、，使|AMMC|的值最大，求出点M的坐标yxCBADOEymBAmABmABBPPmBAPP名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 13 页 -8xClyxBA1x3、在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（4，1）和（2，5）；点 P是 y 轴上的一个动点：点 P在何处时，PA PB的和为最小？并求最小值.点 P在何处时，PAPB 最大？并求最大值.4.如图，直线yx2 与 x 轴交于点C，与y轴交于点3B，点A为y轴正半轴上的一点，A经过点B和点O，直线BC交A于点D（1）求点D的坐标；（2）过O，C，D三点作抛物线，在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使线段PO与PD之

13、差的值最大？若存在，请求出这个最大值和点P的坐标若不存在，请说明理由5、抛物线的解析式为，交 x 轴与 A与 B,交 y 轴于 C.223yxx在其对称轴上是否存在一点P，使APC周长最小，若存在，求其坐标；在其对称轴上是否存在一点Q，使QBQC 的值最大，若存在求其坐标.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 13 页 -96、已知：如图，把矩形OCBA 放置于直角坐标系中，OC=3，BC=2，取 AB的中点 M，连接MC，把MBC沿 x 轴的负方向平移OC的长度后得到 DAO（1）试直接写出点D的坐标；（2）已知点B与点 D在经过原点的抛物线上，点P在第一象限内的该抛

14、物线上移动，过点P作 PQ x轴于点 Q，连接 OP 若以 O、P、Q为顶点的三角形与 DAO 相似，试求出点P的坐标；试问在抛物线的对称轴上是否存在一点T，使得|TO-TB|的值最大？7、如图，已知抛物线C1的解析式为y=-x2+2x+8，图象与y 轴交于 D点，并且顶点A在双曲线上（1）求过顶点A的双曲线解析式；（2）若开口向上的抛物线C2与 C1的形状、大小完全相同，并且C2的顶点 P始终在 C1上，证明：抛物线C2一定经过 A点；（3）设（2）中的抛物线C2的对称轴 PF与 x 轴交于 F 点，且与双曲线交于E点，当D、O、E、F 四点组成的四边形的面积为16.5 时，先求出P点坐标，

15、并在直线y=x 上求一点 M，使|MD-MP|的值最大名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 13 页 -108、如图,已知抛物线经过 A(3，0)，B(0，4).243yxbxc（1）求此抛物线解析式；（2）若抛物线与x 轴的另一交点为C，求点 C关于直线AB的对称点C的坐标；（3）若点D是第二象限内点，以D为圆心的圆分别与x轴、y轴、直线AB相切于点E、F、H，问在抛物线的对称轴上是否存在一点一点P，使得|PHPA|的值最大？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由。三、其它非基本图形类线段和差最值问题1、求线段的最大值与最小值需要将该条线段转化到一个三角形中，在该

16、三角形中，其他两边是已知的，则所求线段的最大值为其他两线段之和，最小值为其他两线段之差。2、在转化较难进行时需要借助于三角形的中位线及直角三角形斜边上的中线。3、线段之和的问题往往是将各条线段串联起来，再连接首尾端点，根据两点之间线段最短以及点到线的距离垂线段最短的基本依据解决。1、如图 12，在ABC中，C=90，AC=4，BC=2，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点的最大距离是（）A BC。D 62225262ABCOxyABCOxyDEFH名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 13 页 -112、已知

17、:在ABC 中，BC=a，AC=b，以AB 为边作等边三角形ABD.探究下列问题:（1）如图 13，当点 D与点 C位于直线 AB的两侧时，a=b=3，且 ACB=60，则CD=；（2）如图 14，当点 D与点 C位于直线 AB的同侧时，a=b=6，且 ACB=90，则CD=；（3）如图 15，当ACB变化,且点 D与点 C位于直线 AB的两侧时，求 CD 的最大值及相应的 ACB 的度数.3、在 RtABC中，ACB=90，tan BAC=.点D在边AC上（不与A，C重合），连结12BD，F为BD中点.（1）若过点D作DEAB于E，连结CF、EF、CE，如图 1设，则k=CFkEF；（2）若

18、将图1 中的ADE绕点A旋转，使得D、E、B三点共线，点F仍为BD中点，如图2 所示求证：BE-DE=2CF；（1）若BC=6，点D在边AC的三等分点处，将线段AD绕点A旋转，点F始终为BD中点，求线段CF长度的最大值4、如图，四边形ABCD 是正方形，ABE 是等边三角形，M为对角线 BD（不含 B点）上任意一点，将BM绕点 B逆时针旋转60得到 BN，连接 EN、AM、CM.求证：AMB ENB；当 M点在何处时，AM CM的值最小；当 M点在何处时，AM BM CM的值最小，并说明理由；BCADEFBDEAFCBAC1图2图备图EA DB CNM名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整

19、理-第 11 页，共 13 页 -12 当 AM BM CM的最小值为时，求正方形的边长.135、如图，二次函数y=-x2+bx+c与 x 轴交于点B 和点A（-1，0），与y 轴交于点C，与一次函数y=x+a交于点A 和点D（1）求出a、b、c 的值；（2）若直线AD 上方的抛物线存在点E，可使得 EAD面积最大，求点E的坐标；（3）点F 为线段AD 上的一个动点，点F 到（2）中的点E 的距离与到y 轴的距离之和记为d，求d 的最小值及此时点F 的坐标6、如图，抛物线（k 为常数，且 k0)与 x 轴从左到右依次交于)4)(2(8xxkyA、B两点，与y 轴交于点 C，经过点 B的直线与抛物线的另一交点为D.bxy33(1)若点 D的横坐标为-5，求抛物线的函数表达式；(2)若在第一象限的抛物线上有点P，使得以 A，B，P为顶点的三角形与 ABC相似，求 k 的值；(3)在(1)的条件下，设F 为线段 BD上一点(不含端点)，连接AF，一动点M从点 A出发，沿线段AF以每秒 1 个单位的速度运动到 F，再沿线段FD以每秒 2 个单位的速度运动到D后停止，点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 12 页，共 13 页 -1名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 13 页，共 13 页 -