2009年全国高中数学联赛加试-试题参考答案及评分标准(A卷).doc

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1、2009年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案及评分标准（A卷）说明：1评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分2如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不要增加其他中间档次一、填空（共4小题，每小题50分，共200分）1 如图，分别为锐角三角形（）的外接圆上弧、的中点过点作交圆于点，为的内心，连接并延长交圆于求证：；在弧（不含点）上任取一点（，），记，的内心分别为，求证：，四点共圆【解析】 连，由于，共圆，故是等腰梯形因此，连，则及交于，因为所以同理于是故四边形为平行四边形因此（同底，等高）又，四点共圆，故，由

2、三角形面积公式于是因为，所以，同理由得由所证，故又因有故，从而因此，四点共圆2 求证不等式：，2，【解析】 证明：首先证明一个不等式：事实上，令则对，于是在中取得令，则， 因此 又因为 从而3 设，是给定的两个正整数证明：有无穷多个正整数，使得及互素【解析】 证法一：对任意正整数，令我们证明设是的任一素因子，只要证明：若，则由 及，且，知且从而 证法二：对任意正整数，令，我们证明 设是的任一素因子，只要证明： 若，则由 即不整除上式，故 若，设使，但故由 及，且，知且从而4 在非负数构成的数表 中每行的数互不相同，前6列中每列的三数之和为1，均大于1如果的前三列构成的数表 满足下面的性质：对于

3、数表中的任意一列（，2，9）均存在某个使得求证：（）最小值，2，3一定自数表的不同列（）存在数表中唯一的一列，2，3使得数表仍然具有性质【解析】 （）假设最小值，2，3不是取自数表的不同列则存在一列不含任何不妨设，2，3由于数表中同一行中的任何两个元素都不等，于是，2，3另一方面，由于数表具有性质，在中取，则存在某个使得矛盾 （）由抽届原理知 中至少有两个值取在同一列不妨设 由前面的结论知数表的第一列一定含有某个，所以只能是同样，第二列中也必含某个，2不妨设于是，即是数表中的对角线上数字 记，令集合 显然且1，2因为，所以 故于是存在使得显然，2，3 下面证明数表 具有性质 从上面的选法可知，这说明 又由满足性质在中取，推得，于是下证对任意的，存在某个，2，3使得假若不然，则，3且这及的最大性矛盾因此，数表满足性质 下证唯一性设有使得数表 具有性质，不失一般性，我们假定 由于，及（），有又由（）知：或者，或者 如果成立，由数表具有性质，则 由数表满足性质，则对于至少存在一个使得由及和式知，于是只能有类似地，由满足性质及可推得从而第 3 页