2022年初三函数的总复习 .pdf

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1、初三函数的总复习（一次函数、反比例函数和二次函数）一次函数知识点总结一、主要知识点回顾：1理解正比例函数和一次函数的概念。2能用“两点法”画出一次函数和正比例函数的图象。3结合图象，理解直线y=kx+b（k、b 是常数，k0）常数 k 和 b 的取值对于直线的位置的影响。4能结合图象讨论这些函数的基本性质。一次函数图象的性质：k 值函数的图象及性质k0 y随 x 的增大而增大k0 y随 x 的增大而减小5正比例函数的图象：函数y=kx(k 是常数，k0)的图象是 过原点及点(1，k)的一条直线.当 k0 时，图象过原点及第一、第三象限；当k0 时，图象过原点及第二、第四象限.正比例函数的性质：

2、设 y=kx(k0)，则当 k0 时，y随 x的增大而增大；当k0时，y 随 x的增大而减小.1 正比例函数(0)ykx k的图象是一条经过点的；2 当0k时，直线ykx经过第象限，从左到右图象（上升或下降），即y随x的增大而；3当0k时，直线ykx经过第象限，从左到右图象（上升或下降），即y随x的增大而。6一次函数的图象：函数y=kx+b(k、b是常数，k0)的图象是过 点(0，b)且与直名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 17 页 -线 y=kx 平行 的一条直线.一次函数的性质：设y=kx+b(k0)，则当 k0时，y随 x的增大而增大；当k 0，y随 x 的增

3、大而减小.7能利用这些函数分析和解决简单的实际问题。8理解函数图像和函数解析式的关系。9能用待定系数法求出相关的正比例函数、一次函数的解析式。观察图象，归纳得：当0k时，直 线ykxb由 左至 右，y随x的 增 大而；当0k时，直 线ykxb由 左至 右，y随x的 增 大而；2、直线23yx的图象是由正比例函数2yx向平移个单位得到3、直线24yx的图象是由正比例函数2yx向平移个单位得到4、当0b时，函数bxy的图像经过第象限，y随x的增大而5、当0b时，函数bxy的图像经过第象限，y随x的增大而6、当0k时，函数1kxy的图像经过第象限，y随x的增大而7、当0k时，函数1kxy的图像经过第

4、象限，y随x的增大而8、函数bkxy与x轴交点坐标（，0），与y轴交点坐标（0，）。第 4 题第 5 题第 6 题第 7 题名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 17 页 -9、当0,0 bk时，函数1kxy的图像经过第象限，y随x的增大而10、当0,0 bk时，函数1kxy的图像经过第象限，y随x的增大而7能利用这些函数分析和解决简单的实际问题。8理解函数图像和函数解析式的关系。9能用待定系数法求出相关的正比例函数、一次函数的解析式。反比例函数一、基础知识1.定义：一般地，形如xky（k为常数，ok）的函数称为反比例函数。xky还可以写成kxy12.反比例函数解析式的

5、特征：等号左边是函数y，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数k（也叫做比例系数k），分母中含有自变量x，且指数为 1.比例系数0k自变量x的取值为一切非零实数。函数y的取值是一切非零实数。3.反比例函数的图像第 9 题第 10 题名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 17 页 -图像的画法：描点法 列表（应以 O为中心，沿 O的两边分别取三对或以上互为相反的数）描点（有小到大的顺序）连线（从左到右光滑的曲线）反比例函数的图像是双曲线，xky（k为常数，0k）中自变量0 x，函数值0y，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相

6、交。反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是xy或xy）。反比例函数xky（0k）中比例系数k的几何意义是：过双曲线xky（0k）上任意引x轴y轴的垂线，所得矩形面积为k。4反比例函数性质如下表：k的取值图像所在象限函数的增减性ok一、三象限在每个象限内，y值随x的增大而减小ok二、四象限在每个象限内，y值随x的增大而增大5.反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出k）6“反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数xky中的两个变量必成反比例关系。7.反比例函数的应用二、例题【例 1】如果函数222kkkxy的图像

7、是双曲线，且在第二，四象限内，那么的值是多少？【解析】有函数图像为双曲线则此函数为反比例函数xky，（0k）即kxy1（0k）又在第二，四象限内，则0k可以求出的值【答案】由反比例函数的定义，得：01222kkk解得0211kkk或1k1k时函数222kkkxy为xy1【例 2】在反比例函数xy1的图像上有三点1x，1y，2x，2y，3x，3y。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 17 页 -若3210 xxx则下列各式正确的是（）A213yyy B 123yyy C 321yyy D 231yyy【解析】可直接以数的角度比较大小，也可用图像法，还可取特殊值法。解法一

8、：由题意得111xy，221xy，331xy3210 xxx，213yyy所以选 A 解法二：用图像法，在直角坐标系中作出xy1的图像描出三个点，满足3210 xxx观察图像直接得到213yyy选 A 解法三：用特殊值法213321321321,1,1,211,1,2,0yyyyyyxxxxxx令【例 3】如果一次函数的图像与反比例函数xmnymnmxy30相交于点（221，），那么该直线与双曲线的另一个交点为（）【解析】12132212213nmmnnmxxmnynmxy解得，相交于与双曲线直线221111121,122211yxyxxyxyxyxy得解方程组双曲线为直线为11，另一个点为【

9、例 4】如图，在AOBRt中，点A是直线mxy与双曲线xmy在第一象限的交点，且2AOBS，则m的值是 _.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 17 页 -图解:因为直线mxy与双曲线xmy过点A,设A点的坐标为AAyx,.则有AAAAxmymxy,.所以AAyxm.又点A在第一象限,所以AAAAyyABxxOB,.所以myxABOBSAAAOB212121.而已知2AOBS.所以4m.例 1：（2007 南昌）对于反比例函数2yx，下列说法不正确的是（）A点(21)，在它的图象上B它的图象在第一、三象限C当0 x时，y随x的增大而增大D当0 x时，y随x的增大而减小

10、例 2：（2007 南宁）已知甲、乙两地相距s（km），汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间t（h）与行驶速度v（km/h）的函数关系图象大致是（）例 3：（2006 十堰）某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺了若干块木块，构筑成一条临时近道 木板对地面的压强Pap是木板面积2mS的反比例函数，其图象如下图所示（1）请直接写出这一函数表达式和自变量取值范围；（2）当木板面积为20.2m时，压强是多少？（3）如果要求压强不超过6000Pa，木板的面积至少要多大？t/h v/(km/h)Ot/h v/(km/h)Ot/h v/

11、(km/h)Ot/h v/(km/h)OABCD200 400 600 1.5 400A，/Pap名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 17 页 -实战演练：1.（2007金华）下列函数中，图象经过点(11)，的反比例函数解析式是（）A1yxB1yxC2yxD2yx2.（2007沈阳）反比例函数y4x的图象在（）A第一、三象限B第二、四象限C第一、二象限D第三、四象限3.（2007 孝感）在反比例函数3kyx图象的每一支曲线上，y 都随 x 的增大而减小，则 k 的取值范围是（）Ak3 Bk0 Ck3 D k0 4（2008宁波）如图，正方形ABOC的边长为 2，反比例

12、函数kyx过点A，则k的值是（）A2B2C4D45.（2008 烟台）在反比例函数12myx的图象上有两点A11,xy，B22,xy，当120 xx时，有12yy，则m的取值范围是（）A0mB.0mC.12mD.12m6.（2008徐州）如果点（3，4）在反比例函数kyx的图象上，那么下列各点中，在此图象上的是（）A.（3,4）B.（2，6）C.（2，6）D.（3，4）7.（2008恩施）如图,一次函数1=1 与反比例函数2=x2的图像交于点 A(2,1),B(1,2),则使12的的取值范围是（）A.2 B.2 或1 0 C.1 2 D.2 或 1 8.（2007无锡）反比例函数ayx的图象经

13、过点(1 2)，则a的值为9.（2007 兰州）老师给出了一个函数，甲、乙、丙三位同学分别指出了这个函x y C O A B（第 4 题）O B Ay B E C 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 17 页 -数的一个性质，甲：第一象限内有它的图象；乙：第三象限内有它的图象；丙：在每个象限内，y 随下的增大而减小请你写一个满足上述性质的函数解析式_ 10.（2008河北）点(23 1)Pm，在反比例函数1yx的图象上，则m11.（2008兰州）如图，已知双曲线kyx（0 x）经过矩形O ABC的边ABBC，的中点FE，且四边形O EBF的面积为 2，则k12.（20

14、07 北京）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数kyx的图象与3yx的图象关于x轴对称，又与直线2yax交于点(3)A m，试确定a的值13.（2007上海）如图，在直角坐标平面内，函数myx（0 x，m是常数）的图象经过(1 4)A，()B ab，其中1a过点A作x轴垂线，垂足为C，过点B作y轴垂线，垂足为D，连结AD，D C，C B（1）若ABD的面积为 4，求点B的坐标；（2）求证：D CAB；（3）当ADBC时，求直线AB的函数解析式14.（2008巴中）为预防“手足口病”，某校对教室进行“药熏消毒”已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与燃烧时间x（分钟）成正比例；燃

15、烧后，y与x成反比例（如图所示）现测得药物 10 分钟燃完，此时教室内每立方米空气含药量为8mg据以上信息解答下列问题：（1）求药物燃烧时y与x的函数关系式xCODBAy名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 17 页 -（2）求药物燃烧后y与x的函数关系式（3）当每立方米空气中含药量低于1.6mg时，对人体方能无毒害作用，那么从消毒开始，经多长时间学生才可以回教室？应用探究：1.（2008新疆）在函数1yx的图象上有三个点的坐标分别为（1，1y）、（12，2y）、（3，3y），函数值 y1、y2、y3的大小关系是（）Ay1y2y3By3y2y1Cy2y1y3Dy3y1y

16、22.（2008济南）如图：等腰直角三角形ABC 位于第一象限，AB=AC=2，直角顶点 A 在直线 y=x 上，其中 A 点的横坐标为 1，且两条直角边 AB、AC 分别平行于x 轴、y 轴，若双曲线kyx(k0)与ABC有交点，则 k 的取值范围是（）A12kB13kC14kD14k3.（2008福州）如图，在反比例函数2yx（0 x）的图象上，有点1234PPPP，它们的横坐标依次为1，2，3，4分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为123SSS，则123SSS4.（2008义乌）已知：等腰三角形OAB 在直角坐标系中的位置如图，点A 的坐标为（33,3

17、），点 B 的坐标为（6，0）.（1）若三角形 OAB 关于 y 轴的轴对称图形是三角形OA B，请直接写出 A、B的对称点AB、的坐标；（2）若将三角形O AB沿 x 轴向右平移 a 个单位，此时点 A 恰好落在反比例函数2yxx y O P1P2P3P41 2 3 4（第 4 题）y 1 x O A B C 第 3 题图名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 17 页 -63yx的图像上，求 a 的值；（3）若三角形O AB绕点 O 按逆时针方向旋转度（090）.当=30时点 B 恰好落在反比例函数kyx的图像上，求 k 的值问点 A、B能否同时落在中的反比例函数的图

18、像上，若能，求出的值；若不能，请说明理由.二次函数知识点一、二次函数概念：1二次函数的概念：一般地，形如2yaxbxc（abc，是常数，0a）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a，而bc，可以为零二次函数的定义域是全体实数2.二次函数2yaxbxc的结构特征：等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是 2abc，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项二、二次函数的基本形式1.二次函数基本形式：2yax的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上00，y轴0 x时，y随x的增大而增大；0 x时

19、，y随x的增大而减小；0 x时，y有最小值00a向下00，y轴0 x时，y随x的增大而减小；0 x时，y随x的增大而增大；0 x时，y有最大值0名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 17 页 -2.2yaxc的性质：上加下减。3.2yaxh的性质：左加右减。4.2yaxhk的性质：a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上0c，y轴0 x时，y随x的增大而增大；0 x时，y随x的增大而减小；0 x时，y有最小值c0a向下0c，y轴0 x时，y随x的增大而减小；0 x时，y随x的增大而增大；0 x时，y有最大值ca的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上0h，X=h x

20、h时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；xh时，y有最小值00a向下0h，X=h xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；xh时，y有最大值0名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 11 页，共 17 页 -三、二次函数图象的平移1.平移步骤：方法一：将抛物线解析式转化成顶点式2yaxhk，确定其顶点坐标hk，；保持抛物线2yax的形状不变，将其顶点平移到hk，处，具体平移方法如下：向右(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或向下(k0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2+ky=a(x-h)2y=ax2+ky=

21、ax22.平移规律在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”概括成八个字“左加右减，上加下减”方法二：cbxaxy2沿y轴平移:向上（下）平移m个单位，cbxaxy2变成mcbxaxy2（或mcbxaxy2）cbxaxy2沿轴平移：向左（右）平移m个单位，cbxaxy2变成cmxbmxay)()(2（或cmxbmxay)()(2）a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上hk，X=h xh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；xh时，y有最小值k0a向下hk，X=h xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；xh时，y有最大值k名师资料总结-精品资

22、料欢迎下载-名师精心整理-第 12 页，共 17 页 -四、二次函数2yaxhk与2yaxbxc的比较从解析式上看，2yaxhk与2yaxbxc是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424bacbyaxaa，其中2424bacbhkaa，五、二次函数2yaxbxc图象的画法五 点 绘 图 法：利 用 配 方 法 将 二 次 函 数2yaxbxc化 为 顶 点 式2()ya xhk，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点0c，、以及0c，关于对称轴对称的点2hc，、与x轴的交点10 x，20 x，（若与x轴

23、没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.六、二次函数2yaxbxc的性质1.当0a时，抛物线开口向上，对称轴为2bxa，顶点坐标为2424bacbaa，当2bxa时，y随x的增大而减小；当2bxa时，y随x的增大而增大；当2bxa时，y有最小值244acba2.当0a时，抛物线开口向下，对称轴为2bxa，顶点坐标为2424bacbaa，当2bxa时，y随x的增大而增大；当2bxa时，y随x的增大而减小；当2bxa时，y有最大值244acba七、二次函数解析式的表示方法1.一般式：2yaxbxc（a，b，c为常数，0a）

24、；2.顶点式：2()ya xhk（a，h，k为常数，0a）；3.两根式：12()()ya xxxx（0a，1x，2x是抛物线与x轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即240bac时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1.二次项系数a二次函数2yaxbxc中，a作为二次项系数，显然0a名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 13 页，共 17 页 -当0a时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越

25、大；当0a时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小2.一次项系数b在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴 在0a的前提下，当0b时，02ba，即抛物线的对称轴在y轴左侧；当0b时，02ba，即抛物线的对称轴就是y轴；当0b时，02ba，即抛物线对称轴在y轴的右侧 在0a的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b时，02ba，即抛物线的对称轴在y轴右侧；当0b时，02ba，即抛物线的对称轴就是y轴；当0b时，02ba，即抛物线对称轴在y轴的左侧总结起来，在a确定的前提下，b决定

26、了抛物线对称轴的位置ab的符号的判定：对称轴abx2在y轴左边则0ab，在y轴的右侧则0ab，概括的说就是“左同右异”总结：3.常数项c 当0c时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；当0c时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；当0c时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置总之，只要abc，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法用待定系数法求名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 14 页，共 17

27、 页 -二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便 一般来说，有如下几种情况：1.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3.已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4.已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1.关于x轴对称2ya xb xc关于x轴对称后，得到的解析式是2yaxbxc；2yaxhk关于x轴对称后，得到的解析式是2yaxhk；2.关于y轴对称2ya xb xc关于y轴对称后，得到的解析式是2yaxbxc

28、；2yaxhk关于y轴对称后，得到的解析式是2yaxhk；3.关于原点对称2ya xb xc关于原点对称后，得到的解析式是2yaxbxc；2yaxhk关于原点对称后，得到的解析式是2yaxhk；4.关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180）2ya xb xc关于顶点对称后，得到的解析式是222byaxbxca；2yaxhk关于顶点对称后，得到的解析式是2yaxhk5.关于点mn，对称2yaxhk关 于 点mn，对 称 后，得 到 的 解析 式 是222yaxhmnk根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或

29、方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 15 页，共 17 页 -十、二次函数与一元二次方程：1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）：一元二次方程20axbxc是二次函数2yaxbxc当函数值0y时的特殊情况.图象与x轴的交点个数：当240bac时，图象与x轴交于两点1200A xB x，12()xx，其中的12xx，是一元二次方程200axbxca的两根这两点间的距离2214bacABxxa.当

30、0时，图象与x轴只有一个交点；当0时，图象与x轴没有交点.1当0a时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有0y；2 当0a时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有0y2.抛物线2yaxbxc的图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，)c；3.二次函数常用解题方法总结：求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；根据图象的位置判断二次函数2yaxbxc中a，b，c的符号，或由二次函数中a，b，c的符号判断图象的位置，要数形结合；二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与

31、x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)axbxc a本身就是所含字母x的二次函数；下面以0a时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：0抛 物 线 与x轴有两个交点二 次三 项 式 的值 可正、可零、可负一元二次方程有两个不相等实根0抛 物 线 与x轴只有一个交点二 次三 项 式 的值 为非负一元二次方程有两个相等的实数根0抛 物 线 与x轴无交点二 次三 项 式 的值 恒为正一元二次方程无实数根.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 16 页，共 17 页 -图像参考：y=x22y=2x2y=x2y=-2x2y=-x2y=-x22y=2x2-4y=2x2+2y=2x2y=3(x+4)2y=3(x-2)2y=3x2y=-2(x+3)2y=-2(x-3)2y=-2x2y=2(x-4)2-3y=2(x-4)2y=2x2名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 17 页，共 17 页 -