2022年北师大版九年级上册数学复习知识点及例题 2.pdf

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1、数学九年级上册知识点总结第一章 特殊的平行四边形复习中考考点综述：特殊平行四边形即矩形、菱形、正方形，它们是历年中考的必考内容之一，主要出现的题型多样，注重考查学生的基础证明和计算能力，以及灵活运用数学思想方法解决问题的能力。内容主要包括：矩形、菱形、正方形的性质与判定，以及相关计算，了解平行四边形与矩形、菱形、正方形之间的联系，掌握平行四边形是矩形、菱形、正方形的条件。知识目标掌握矩形、菱形、正方形等概念，掌握矩形、菱形、正方形的性质和判定，通过定理的证明和应用的教学，使学生逐步学会分别从题设和结论出发，寻找论证思路分析法和综合法。重难点：1.矩形、菱形性质及判定的应用 2.相关知识的综合应

2、用知识点归纳矩形菱形正方形性质边对边平行且相等对边平行，四边相等对边平行，四边相等角四个角都是直角对角相等四个角都是直角对角线互相平分且相等互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角判定有三个角是直角;是平行四边形且有一个角是直角;是平行四边形且两条对角线相等.四边相等的四边形；是平行四边形且有一组邻边相等；是平行四边形且两条对角线互相垂直。是矩形，且有一组邻边相等；是菱形，且有一个角是直角。对称性既是轴对称图形，又是中心对称图形一矩形矩形定义：有一角是直角的平行四边形叫做矩形【强调】矩形（1）是平行四边形；（2）一一个角是直角矩形的性质性质 1矩形的四个

3、角都是直角；性质 2 矩形的对角线相等，具有平行四边形的所以性质。；矩形的判定矩形判定方法1:对角线相等的平行四边形是矩形注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）对角线相等矩形判定方法2:四个角都是直角的四边形是矩形名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 19 页 -矩形判断方法3：有一个角是直角的平行四边形是矩形。例 1：若矩形的对角线长为8cm，两条对角线的一个交角为600，则该矩形的面积为例 2：菱形具有而矩形不具有的性质是（）A 对角线互相平分；B.四条边都相等；C.对角相等；D.邻角互补例 3：已知：如图，ABCD 各角的平分线分别相交于点E，F，

4、G，?H，?求证：?四边形 EFGH是矩形二菱形菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形【强调】菱形（1）是平行四边形；（2）一组邻边相等菱形的性质性质 1菱形的四条边都相等；性质 2 菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角；菱形的判定菱形判定方法1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）两条对角线互相垂直菱形判定方法2:四边都相等的四边形是菱形例 1已知：如图，四边形ABCD 是菱形，F 是 AB 上一点，DF 交 AC 于 E求证：AFD=CBE例 2 已知：如图ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与边AD、BC 分别交于E、

5、F求证：四边形AFCE 是菱形名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 19 页 -例3、如 图，在ABCD 中，O 是对角线AC 的中点，过点O 作 AC 的垂线与边AD、BC 分别交于 E、F，求证：四边形AFCE 是菱形.例 4、已知如图，菱形ABCD 中，E 是 BC 上一点，AE、BD 交于 M，若 AB=AE,EAD=2 BAE。求证：AM=BE。例 5（10 湖南益阳）如图，在菱形ABCD 中，A=60,AB=4,O 为对角线BD 的中点，过O 点作 OEAB，垂足为 E(1)求线段BE的长例 6、（2011 四川自贡）如图，四边形ABCD 是菱形，DEAB

6、交 BA 的延长线于E，DFBC，交BC 的延长线于F。请你猜想DE 与 DF 的大小有什么关系？并证明你的猜想ABCDEFO12BMADCEDABCOE60名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 19 页 -例 7、（2011山东烟台）如图，菱形 ABCD 的边长为 2，BD=2，E、F 分别是边 AD，CD 上的两个动点，且满足 AE+CF=2.（1）求证：BDE BCF；（2）判断 BEF 的形状，并说明理由；（3）设 BEF 的面积为S，求 S的取值范围.三正方形正方形是在平行四边形的前提下定义 的，它包含两层意思：有一组邻边相等的平行四边形（菱形）有一个角是直角

7、的平行四边形（矩形）正方形不仅是特殊的平行四边形，并且是特殊的矩形，又是特殊的菱形正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形正方形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，正方形又是轴对称图形，对称轴是对边中点的连线和对角线所在直线，共有四条对称轴；因为正方形是平行四边形、矩形，又是菱形，所以它的性质是它们性质的综合，正方形的性质总结如下：边：对边平行，四边相等；角：四个角都是直角；对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角注意：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形

8、，这是正方形的特殊性质正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质正方形的判定方法：?(1)有一个角是直角的菱形是正方形；?(2)有一组邻边相等的矩形是正方形?注意：1、正方形概念的三个要点：?（1）是平行四边形；?（2）有一个角是直角；?（3）有一组邻边相等2、要确定一个四边形是正方形，应先确定它是菱形或是矩形，然后再加上相应的条件，确定是正方形.OB例 1 已知：如图，正方形ABCD中，对角线的交点为O，E 是上的一点，DGAE 于 G，DG 交 OA 于 F求证：OE=OF名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 19 页 -例 2 已知：如图，四边形ABCD 是正方形

9、，分别过点A、C 两点作 l1l2，作 BM l1于 M，DNl1于 N，直线 MB、DN 分别交 l2于 Q、P点求证：四边形PQMN 是正方形例 3、（2011 海南）如图，P 是边长为 1 的正方形 ABCD 对角线 AC上一动点（P 与 A、C 不重合），点 E 在射线 BC 上，且 PE=PB.（1）求证：PE=PD；PEPD；（2）设 AP=x,PBE 的面积为 y.求出 y 关于 x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；当 x 取何值时，y 取得最大值，并求出这个最大值.实战演练：1.对角线互相垂直平分的四边形是（）A平行四边形、菱形B矩形、菱形C矩形、正方形D菱形、正方形2.顺

10、次连接菱形各边中点所得的四边形一定是（）A.等腰梯形B.正方形C.平行四边形D.矩形3.如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A当 AB=BC 时，它是菱形B当 ACBD 时，它是菱形C当 ABC=900时，它是矩形D当 AC=BD 时，它是正方形4.如图，在ABC中，点EDF，分别在边AB，BC，CA上，且DECA，DFBA下列四个判断中，不正确的是（）A四边形AEDF是平行四边形B如果90BAC，那么四边形AEDF是矩形C如果AD平分BAC，那么四边形AEDF是菱形D如果ADBC且ABAC，那么四边形AEDF是菱形5.如图，四边形ABCD为矩形纸片把纸片ABCD折

11、叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF若6CD，则AF等于（）A4 3B3 3C4 2D86.如图，矩形ABCD的周长为20cm，两条对角线相交于O点，过点O作AC的垂线EF，分别交ADBC，于EF，点，连结CE，则CDE的周长为（）A5cm B8cm C9cm D10cm 7.在右图的方格纸中有一个菱形ABCD（A、B、C、D 四点均为格点），D C B A AOBCDEF名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 19 页 -若方格纸中每个最小正方形的边长为1，则该菱形的面积为8.如图，在矩形ABCD中，对角线ACBD，交于点O，已知1202.5AODAB，则AC

12、的长为9.边长为 cm 的菱形，一条对角线长是6cm，则另一条对角线的长是.10.如图所示，菱形ABCD中，对角线ACBD，相交于点O，若再补充一个条件能使菱形ABCD成为正方形，则这个条件是（只填一个条件即可）11.如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP=BC，则ACP度数是12.如图，矩形ABCD中，O是AC与BD的交点，过O点的直线EF与ABCD，的延长线分别交于EF，（1）求证：BOEDOF；（2）当EF与AC满足什么关系时，以AECF，为顶点的四边形是菱形？证明你的结论13.将两块全等的含30 角的三角尺如图1 摆放在一起，设较短直角边为1(1)四边形 ABCD 是平行

13、四边形吗？说出你的结论和理由：_(2)如图 2，将 RtBCD 沿射线 BD 方向平移到RtB1C1D1的位置，四边形ABC1D1是平行四边形吗？说出你的结论和理由：_(3)在 RtBCD 沿射线 BD 方向平移的过程中，当点B 的移动距离为_时，四边形ABC1D1为矩形，其理由是 _；当点 B 的移动距离为 _时，四边图 4 CADB图 3 CADB图 2 D1C1B1CADB图 1 3030BDACA B C D A B C D A D C B O B C D A P FDOCBEA第 12题图名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 19 页 -形 ABC1D1为菱形

14、，其理由是_(图 3、图 4 用于探究)应用探究：1.如图，将矩形ABCD纸 片沿对 角线BD折 叠，使 点C落在C处，BC交AD于E，若22.5DBC，则在不添加任何辅助线的情况下，图中45的角（虚线也视为角的边）有（）A6 个B5 个C4 个D3 个2.如图，正方形ABCD的面积为 1，M是AB的中点，则图中阴影部分的面积是（）A310B13C25D493.已知AC为矩形ABCD的对角线，则图中1与2一定不相等的是（）ABCD4.红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志.将宽为1cm的红丝带交叉成60角重叠在一起（如图），则重叠四边形的面积为_2.cm5.如图，将矩形纸ABCD 的四个角向内

15、折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，若 EH3 厘米，EF4 厘米，则边AD 的长是 _厘米.6.如图，已知AOBOAOB，点E在OB边上，四边形AEBF是矩形请你只用无刻度的直尺在图中画出AOB的平分线（请保留画图痕迹）7.如图：矩形纸片ABCD，AB=2，点 E在 BC 上，且 AE=EC 若将纸片沿AE 折叠，点 B 恰好落在AC 上，则 AC 的长是ABFEOABECDC22.5D A C B M B A 1 D C 2 1 1 2 B A D C B A C 1 2 D 1 2 B A D C B F C A H D E G A B C D E 名师资料总结-精品资料欢迎

16、下载-名师精心整理-第 7 页，共 19 页 -第二章一元二次方程一、一元二次方程（一）一元二次方程定义含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的整式方程叫做一元二次方程。（二）一元二次方程的一般形式)0(02acbxax，它的特征是：等式左边是一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中2ax叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。例 方程22(2)(3)20mmxm x是一元二次方程，则_m.二、一元二次方程的解法1、直接开平方法直接开平方法适用于解形如bax2)(的一元二次方程。当0b时，bax，bax；当 b0时，方程没有实数根。例

17、 第二象限内一点 A（x1，x22），关于 x 轴的对称点为 B，且 AB=6，则 x=_2、配方法一般步骤：（1）方程)0(02acbxax两边同时除以 a,将二次项系数化为1.（2）将所得方程的常数项移到方程的右边。（3）所得方程的两边都加上一次项系数一半的平方（4）配方，化成bax2)(（5）开方，当0b时，bax；当 b0 时，方程没有实数根。例 若方程ax24有解，则 a的取值范围是（）A0aB0aC0aD无法确定A B C P D E 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 19 页 -3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的

18、一般方法。一元二次方程)0(02acbxax的求根公式：)04(2422acbaacbbx例 已知 x24x2=0，那么 3x212x2012 的值为4、因式分解法一元二次方程的一边为0，另一边易于分解成两个一次因式的乘积时使用此方法。例 已知一个三角形的两边长是方程x2-8x+15=0 的两根，则第三边 y 的取值范围是（）Ay8 B3y5 c2y0 k0 时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限。在每个象限内，y随 x 的增大而减小。x 的取值范围是 x0，y 的取值范围是 y0；当 k0 时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限。在每个象限内，y 随 x 的增大而增大。例 在同一坐标系中

19、，函数xky和3kxy的图像大致是（）A B C D 例 反比例函数xmy23，当_m时，其图象的两个分支在第一、三象限内。例 反比例函数xy1的对称轴有（）条（A）0 （B）1 （C）2 （D）无数名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 18 页，共 19 页 -例 对于反比例函数xky2(0k)，下列说法不正确的是（）（A）它的图象分布在第一、三象限（B）点（k，k）在它的图象上（C）它的图象是中心对称图形（D）y随 x的增大而增大例 已知反比例函数kyx（k0）的图象上有两点 A（11xy，），B（22xy，），且12xx，则12yy 的值是（）（A）正数（B）负数（C）非正数

20、（D）不能确定4、反比例函数解析式的确定确定反比例函数解析式的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数xky中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k 的值，从而确定其解析式。5、反比例函数中反比例系数的几何意义过反比例函数)0(kxky图像上任一点 P（x,y）作 x 轴、y 轴的垂线 PM，PN，垂足分别是 M、N，则所得的矩形 PMON 的面积 S=PMPN=xyxy。kSkxyxky,。例 如图，A为反比例函数xky图象上一点，AB垂直 x轴于 B点，若 SAOB3，则k的值为（）A、6 B、3 C、23D、不能确定A B O x y 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 19 页，共 19 页 -