2022年初等函数及其性质 .pdf

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1、简单线性规划1.二元一次不等式表示的平面区域：在平面直角坐标系中，设有直线0CByAx（B 不为 0）及点),(00yxP，则(1)若 B0，000CByAx，则点 P在直线的上方，此时不等式0CByAx表示直线0CByAx的上方的区域；(2)若 B0，000CByAx，则点 P在直线的下方，此时不等式0CByAx表示直线0CByAx的下方的区域；(3)若 Bf(b)f(c),试确定这样的映射f的种数。2.函数：设 A，B 都是非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合 A 中每一个元素x，在集合 B 中都有唯一的元素和它对应，且B 中每一个元素都的原象，这样的对应叫做从集合 A 到集合B 的

2、一个函数，记作()yf x.其中所有的输入值x组成的集合A 称为函数()yf x定义域.对于 A 中的每一个x，都有一个输出值y与之对应，我们将所有输出值y组成的集合称为函数的值域.例题：1.已知函数()f x的定义域为 0，1，求函数(1)f x的定义域2.已知：*,xN5(6)()(2)(6)xxf xf xx，求(3)f答案：2 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 11 页 -3.求函数2()46yf xxx，1,5)x的值域.3.反函数：一般地，设函数y=f(x)(x A)的值域是 C，根据这个函数中x,y 的关系，用y 把 x 表示出来，得到x=f-1(y)

3、.若对于 y 在 C 中的任何一个值，通过x 在 A 中都有唯一的值和它对应，那么x=f-1(y)就表示 y 是自变量，x 是自变量y 的函数，这样的函数叫做函数y=f(x)(x A)的反函数，记作x=f-1(y).我们一般用x 表示自变量，用y 表示函数，为此我们常常对调函数x=f-1(y)中的字母 x,y，把它改写成y=f-1(x)反函数 y=f-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域.互为反函数的图像关于直线yx对称例题：已知()34f xx，求函数1(1)fx的解析式答案：113x根据条件求下列各函数的解析式：（1）已知()f x是二次函数，若(0)0,(1)()1

4、ff xf xx，求()fx采用待定系数法求解（2）已知(1)2fxxx，求()fx采用换元法求解（3）若()f x满足1()2(),f xfaxx求()f x消参法求解求函数解析式（1）若已知函数()f x的类型，常采用待定系数法；（2）若已知()f g x表达式，常采用换元法或采用凑合法；（3）若为抽象函数，常采用代换后消参法答案：()f x21122xx()f x21x（1x）()f x233aaxx4.复合函数设 y=f(),=(x),当 x 在=(x)的定义域 D（）中变化时，=(x)的值在 y=f()的定义域D（f）内变化，因此变量x 与 y 之间通过变量形成的一种函数关系，记为y

5、=f()=f(x)称为复合函数，其中x 称为自变量，为中间变量，y 为因变量(即函数)若函数 y=f(u)的定义域是B函数 u=g(x)的定义域是A则复合函数y=fg(x)的定义域是D=x|x A,且 g(x)B 5.函数的性质一单调性（1）定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I 内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当 x1x2时，都有f(x1)f(x2)），那么就说f(x)在区间 D 上是增函数（减函数）；注意：1函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；2必须是对于区间D 内的任意两个自变量x1，x2；当 x1x2时，总有 f(x1)f(

6、x2)（2）如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做 y=f(x)的单调区间。（3）设复合函数y=fg(x)，其中 u=g(x),A 是 y=fg(x)定义域的某个区间，B 是映射名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 11 页 -g:xu=g(x)的象集：若 u=g(x)在 A 上是增（或减）函数，y=f(u)在 B 上也是增（或减）函数，则函数y=fg(x)在 A 上是增函数；若 u=g(x)在 A 上是增（或减）函数，而y=f(u)在 B 上是减（或增）函数，则函数y=fg(x)在 A

7、上是减函数。总结：同增异减（4）判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数f(x)在给定的区间D 上的单调性的一般步骤：1任取 x1，x2D，且 x10，且 f(5)=1，设 F(x)=f(x)+)(1xf，讨论 F(x)的单调性，并证明你的结论。解：这是抽角函数的单调性问题，应该用单调性定义解决。在 R 上任取 x1、x2，设 x1 f(x1)，,)()(11)()()(1)()(1)()()(2112112212xfxfxfxfxfxfxfxfxFxFf(x)是 R 上的增函数，且f(5)=1，当 x5 时 0 f(x)5 时 f(x)1;若 x1x25，则 0f(x1)f(x2)1,0 f

8、(x1)f(x2)1,)()(1121xfxf0,F(x2)x15，则 f(x2)f(x1)1,f(x1)f(x2)1,)()(1121xfxf0,F(x2)F(x1)；二奇偶性（1）定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x 都有 f(x)=f(x)，则称 f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意x 都有 f(x)=f(x)，则称 f(x)为偶函数。如果函数 f(x)不具有上述性质，则f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则 f(x)既是奇函数，又是偶函数。注意：1函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；2由函数的奇偶性定义可知，函数具

9、有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个 x，则 x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：1首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 11 页 -2确定 f(x)与 f(x)的关系；3作出相应结论：若 f(x)=f(x)或 f(x)f(x)=0，则 f(x)是偶函数；若 f(x)=f(x)或 f(x)f(x)=0，则 f(x)是奇函数。（3）简单性质：图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于

10、y 轴对称；例题：设 f（x）是定义在 R 上的奇函数，若当x0 时，f（x）=log3（1+x），则 f（2）=_ 1 _。三最值（1）定义：最大值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M 满足：对于任意的xI，都有 f(x)M；存在 x0I，使得 f(x0)=M。那么，称M 是函数 y=f(x)的最大值。最小值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M 满足：对于任意的xI，都有 f(x)M；存在 x0I，使得 f(x0)=M。那么，称M 是函数 y=f(x)的最大值。注意：1函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x0I，使得 f(x0)=M；2函数最大

11、（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的xI，都有f(x)M（f(x)M）。（2）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法：1利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；2利用图象求函数的最大（小）值；3利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：如果函数y=f(x)在区间 a，b上单调递增，在区间b，c上单调递减则函数y=f(x)在 x=b处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间 a，b上单调递减，在区间b，c上单调递增则函数y=f(x)在 x=b处有最小值f(b)；四周期性（1）定义：如果存在一个非零常数T，使得对于函数定义域内的任意x，都有 f(x+T)=f(x)，

12、则称 f(x)为周期函数；（2）性质：f(x+T)=f(x)常常写作),2()2(TxfTxf若 f(x)的周期中，存在一个最小的正数，则称它为f(x)的最小正周期；若周期函数f(x)的周期为T，则 f(x)（0）是周期函数，且周期为|T。若)()(bxfaxf，则)(xf是周期函数，ab是它的一个周期例题：1.已知定义在R上的奇函数()f x满足(2)()f xf x，则(6)f的值为（）(A)1(B)0(C)1(D)2 解：因为()f x是定义在R上的奇函数所以(0)0f，又(4)(2)()f xf xf x，故函数，()fx的周期为 4 所以(6)(2)(0)0fff，选 B 2 函数(

13、)yf x满足()()f axf ax，()()f bxf bx()ab，求证：函数()yf x是名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 11 页 -周期函数。证明：()()f axf ax得()(2)f xfax()()f bxf bx得()(2)f xfbx(2)(2)faxfbx()(22)f xfbax函数()yf x是周期函数，且22ba是一个周期。3设（）是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线，21，都有（）（）（），且 f(1)=()求)41(),21(f；()证明f(x)是周期函数；解：因为对，21，都有（）（）（x）,所以22)41()41()41()4

14、141()21()21()21()21()2121()1(1,0,0)2()2()22()(ffffffffffxxfxfxxfxf（）0，4121)41(,)21(afaf()证明：依题设（）关于直线对称，故（1+）（），即（）（），R 又由（）是偶函数知（）（），R，（）（），R，将上式中以代换，得（）（），这表明（）是 R 上的周期函数，且2是它的一个周期.基本初等函数指数与指数函数a的n次方根的定义：一般地，如果nxa，那么x叫做a的n次方根，其中*1,nnN当n为奇数时，正数的n次方根为正数，负数的n次方根是负数表示为na；当n为偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数可以表

15、示为na。负数没有偶次方根。0 的任何次方根都是0。式子na叫做根式，n叫做根指数，a叫做被开方数。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 11 页 -n次方根的性质：当n为奇数时，nnaa；当n为偶数时，,0,0;nna aaaa annaa分指数的意义：0,1mnmnaaam nN n；10,1mnmnaam nN na注意：0 的正分数指数幂等与0，负分数指数幂没有意义。有理数指数幂的运算性质：0,0,abr sQrsrsa aa()rsrsaarrraba b指数函数及其性质一般地，函数0,1xyaaa且叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R。通过描点我们

16、得到指数函数在底数取不同范围时的大致图象，现将函数性质总结如下：01a1a图象定义域R值域0,性质1）过定点（0，1），即0,1xy2）在R上是减函数2）在R上是增函数3）当0,01xy；0,1xy3）当0,1xy；0,01xy准确掌握函数的基本图象，从图象中挖掘函数的相关性质。对数与对数函数一般地，如果0,1xaN aa且，那么数x叫做以a为底N的对数，记作：logaxN其中a叫做对数的底数，N叫做真数。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 11 页 -根据对数的定义我们可以得到对数与指数间的关系：0,1,logxaaaaNxN当时这时我们可以看出负数和零没有指数，且

17、log 10,log1aaa。对数的运算性质：如果0,1,0,0aaMN且，那么logloglog;aaaMNMNlogloglog;aaaMMNNloglognaaMnM指数函数及其性质logayx一般地，函数log0,1ayx aa且叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域0,。通过描点我们得到对数函数在底数取不同范围时的大致图象，现将函数性质总结如下：01a1a图象定义域0,值域R性质1）过定点（1，0），即1,0 xy2）在0,上是减函数2）在0,上是增函数3）当01,0 xy；1,0 xy3）当01,0 xy；1,0 xy指数函数与对数函数是高中阶段的两个很重要的函数，在高考中历来

18、都有题目出现对这两个的函数性质要做到掌握精准，运用熟练。例题：1.已知512a，函数()xf xa，若实数m、n满足()()f mf n，则m、n的大小关系为 答案：mn 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 11 页 -解析：考查指数函数的单调性。51(0,1)2a，函数()xf xa在 R 上递减。由()()f mf n得：m0，且）的反函数，且(2)1f，则()f xAx2logBx21Cx21logD22x答案：A 解析：函数1xyaaa（0，且）的反函数是()logaf xx,又(2)1f,即log 21a,所以,2a,故2()logf xx,选 A.3.已

19、知函数()f x满足：x 4,则()f x1()2x；当 x4 时()f x(1)f x，则2(2 l o g3)f（A）124（B）112（C）18（D）38答案：A解析：32 log234,所以 f(2 log23)f(3 log23)且 3log234 2(2log 3)ff(3 log23)12221log33 log 3log 311111111()()()2828283244.用 mina,b,c 表示 a,b,c 三个数中的最小值。设()min2,2,10 xf xxx(x0),则fx的最大值为C（A）4（B）5（C）6（D）7 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 11 页，共 11 页 -