2022年非线性方程的简单迭代法和Steffensen迭代法[参 .pdf

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1、数值计算方法实验报告实验名称：实验 1 非线性方程的简单迭代法和Steffensen迭代法实验题目：分别用简单迭代法和Steffensen迭代法求方程010423xx在 1,2 内的一个实根.实验目的：理解并掌握简单迭代法和Steffensen迭代法基础理论：简单迭代法和Steffensen迭代法1）.简单迭代法的原理：将一元非线性方程：0)(xf改写成等价方程：)(xx，对此，从某个初始值x0 开始，对应式)(xx构成迭代公式,.1,0),(1kxxkk，这样就可以 确定 序 列kx（k=0，1，2）。如 果kx有极限*limxxkk，由式,.1,0),(1kxxkk两边取极限可得)(*xx

2、，可知*x为方程0)(xf的近似解。2）Steffensen迭代法的原理：通过把改进的Aitken 方法应用于根据不动点迭代所得到的线性收敛序列，将收敛速度加速到二阶。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 8 页 -kkkkkkkkkkkxyzxyxxyzxy2)()(21xxxxxxx)(2)()()(2实验环境：操作系统：Windows 7；实验平台：Turbo C+实验过程：写出算法 编写程序 调试运行程序 计算结果1）简单迭代法的算法：Input:初始近似值 x0,精度要求 del,最大迭代次数N Output:近似解 x 或失败信息1.n1 2.While n

3、N do;3.xf(x0);4.if|x-x0|del then 5.|return x;名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 8 页 -6.end 7.nn+1;8.X0 x;9.End 10.return False;/超出最大迭代次数2）Steffensen迭代法的算法：Input:区间端点 a,b；精度要求 del；最大迭代次数N Output:近似解或失败信息1.n1 2.while n N do;3.yf(x0);4.zf(y);5.xx00202xyzxy;6.If|x-x0|del then;7.|return x;8.end9.nn+1;10.x0 x

4、;11.end12.return False;实验结果a，用简单迭代法计算的结果结果约为 1.365230 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 8 页 -b.用Steffensen迭代法计算的结果：近似解为：1.365230 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 8 页 -给出程序:1,简单迭代法的程序（C+）#include stdio.h#include math.h#define phi(x)0.5*sqrt(10-x*x*x)void main()int n=1,N;float x,x0,del;printf(x0=);scanf(%f

5、,&x0);printf(ndel=:);scanf(%f,&del);printf(nN=);scanf(%d,&N);名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 8 页 -printf(nk x(k);printf(n%2d%f,0,x0);while(nN)x=phi(x0);if(fabs(x-x0)del)printf(n n=近似解=%f n,x);return;printf(n%2d%f,n,x0);n=n+1;x0=x;printf(n n%d次迭代后未达到精度要求.n,N);2,Steffensen迭代法的程序（C+）#include stdio.h#inc

6、lude math.h#define phi(x)0.5*sqrt(10-x*x*x);void main()int n=1,N;float x,x0,del,y,z,a,b;printf(x0=);scanf(%f,&x0);printf(ndel=:);scanf(%f,&del);名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 8 页 -printf(na=);scanf(%f,&a);printf(nb=);scanf(%f,&b);printf(nN=);scanf(%d,&N);printf(nk x(k);printf(n%2d%f,0,x0);while(nN)y

7、=phi(x0);z=phi(y);x=x0-(y-x0)*(y-x0)/(z-2*y+x0);if(fabs(x-x0)del)printf(n n=近似解=%f n,x);return;printf(n%2d%f,n,x0);n=n+1;x0=x;printf(n n%d 次迭代后未达到精度要求.n,N);结果分析：1.用简单迭代法和Steffensen迭代法都能求出非线性方程的近似解，且用简单迭代法和Steffensen 迭代法求出的近似解基本一样。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 8 页 -2.用 Steffensen迭代法来求解时迭代的次数少很多，可见Steffensen 迭代法加速了收敛速度。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 8 页 -