2022年大学线性代数复习题讲课稿 .pdf

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1、此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流一(1)选择题1.设 A，B为 n 阶矩阵，则必有（）A.222()2ABAABBB.22()()ABABABC.()()()()AEAEAEAED.222()ABA B2对于n元齐次线性方程组0Ax，以下命题中，正确的是（）(A)若A的列向量组线性无关，则0Ax有非零解；(B)若A的行向量组线性无关，则0Ax有非零解；(C)若A的行向量组线性相关，则0Ax有非零解(D)若A的列向量组线性相关，则0Ax有非零解；3若齐次线性方程组0002321321321xxkxxkxxxxx有非零解，则k必须满足（）。（A）4k（B）1k（C）1k且

2、4k（D）1k或4k4若存在可逆矩阵C，使1BCAC，则 A 与 B()(A)相等(B)相似(C)合同（D)可交换5.向量组r,21线性相关且秩为 s，则()（A）sr(B)sr (C)rs(D)rs6矩阵 A与 B 相似的充分条件是（）。（A）BA（B）)()(BrAr（C）A与 B 有相同的特征多项式（D）n阶矩阵 A与 B 有相同的特征值且 n 个特征值互不相同。一(2)选择题1.设 A，B为 n 阶矩阵，则必有（）A.222()2ABAABBB.22()()ABABABC.()()()()AEAEAEAED.222()ABA B2、设有 n维向量组（）：12,rL和（）：12,()mm

3、rL，则（）(A)向量组（）线性无关时，向量组（）线性无关；名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 18 页 -此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流(B)向量组（）线性相关时，向量组（）线性相关；(C)向量组（）线性相关时，向量组（）线性相关；(D)向量组（）线性无关时，向量组（）线性相关3.设 A 是 n 阶矩阵，O 是 n 阶零矩阵，且 A2-E=O，则必有（）A.A=E B.A=-E C.A=A-1D.|A|=1 4已知向量组2,5,4,0,0,0,2,1,1,2,1321t的秩为 2，则 t（）。（A）3（B）3（C）2（D）25矩阵 A与

4、B 相似的充分条件是（）。（A）BA（B）)()(BrAr（C）A与 B 有相同的特征多项式（D）n阶矩阵 A与 B 有相同的特征值且 n 个特征值互不相同。6.设nm矩阵 A的秩等于 n，则必有（）。（A）nm（B）nm（C）nm（D）nm一(3)、选择题：1.已知 B 为可逆矩阵，则11()TTB_(A)B (B)TB (C)1B (D)1()TB2.若齐次线性方程组000321321321xxxxxxxxx有非零解,则（）A.1 或-2 B.1 或2 C.1 或 2 D.1 或 2.3.,A B均为n阶方阵，且()0A BE，则（）(A)ABA(B)|0|B|1A或 (C)|0|B-E|

5、0A或 (D)0ABE或4.设A是sn矩阵，则齐次线性方程组0Ax有非零解的充要条件().A.A的行向量组线性无关 B.A的列向量组线性无关C.A的行向量组线性相关 D.A的列向量组线性相关名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 18 页 -此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流5.设2326219321862131D，则42322212AAAA()。(A)1 (B)-1 (C)0 (D)2 一(4)、选择题：1.设 n阶矩阵 A的行列式等于 D，则kA等于（）.)(A kA)(BAkn)(CAkn 1)(DA2.设向量组 A能由向量组 B线性表示，则

6、（）.(A)()(ARBR(B)()(ARBR (C)()(ARBR (D)()(ARBR3.设 n阶矩阵 A，B 和C，则下列说法正确的是（）.)(AACAB则CB)(B0AB,则0A或0B)(CTTTBAAB)()(D22)(BABABA4.向量组)0,1,1(,)0,0,0(,)0,1,0(),0,0,1(4321的最大无关组为（）（A）21,(B)421,(C)43,（D）321,5.n阶方阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是.(A)矩阵A有n个特征值(B)矩阵A有n个线性无关的特征向量(C)矩阵A的行列式0A(D)矩阵A的特征方程没有重根一(5)、单项选择题1、若13332312322

7、21131211aaaaaaaaa，则333231312322212113121111232323aaaaaaaaaaaa（）A、0 B、3 C、1 D、-3 2、设A、B为n阶方阵，I为n阶单位阵，则下列等式正确的是（）A、ABBABA2)(222B、)(22BABABA名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 18 页 -此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流C、ABABAA)()(D、IAAIA2)(223、设nm矩阵A的秩等于n，则必有（）。A、nmB、nmC、nmD、nm4、设A、B为n阶方阵，则下列说法正确的是（）A.若OAB，则0A或0BB

8、.若OAB，则OA或OBC.若0AB，则OA或OBD.若0AB，则OA且OB5、设2326219321862131D，则42322212AAAA()。A、1 B、-1 C、0 D、2 6、向量组n,21线性无关的充要条件是（）A、任意i不为零向量B、n,21中任两个向量的对应分量不成比例C、n,21中有部分向量线性无关D、n,21中任一向量均不能由其余n-1 个向量线性表示7、设A为n阶方阵，且秩().,Ana a112是非齐次方程组AXB的两个不同的解向量,则AX0的通解为()A、1kB、2kC、)(21kD、)(21k8、已知2),(321R,3),(432R,则()A、321,线性无关B

9、、432,线性相关C、1能由32,线性表示D、4能由321,线性表示名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 18 页 -此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流一(6)、1、行列式333222111321321321aaaaaaaaaD的值为（）A、0B、1 C、2 D、3 2、设 A、B、C 为 n 阶方阵，则下列说法正确的是（）A、若OAB，则0A或0BB、ABBABA2)(222C、111)(BABAD、若ACAB，则CB3、满足矩阵方程200112101211021X的矩阵X（）A、023B、113102C、011410321D、5433744、

10、设nm矩阵A的秩等于n，则必有（）.A、nmB、nmC、nmD、nm5、已知,A B C均为n阶可逆矩阵，且ABCI，则下列结论必然成立的是（）.A、BCAIB、ACBIC、BACID、CBAI6、设A为n阶方阵，nrAR)(，则A的行向量中（）A、必有r个行向量线性无关B、任意r个行向量构成极大线性无关组C、任意r个行向量线性相关D、任一行都可由其余r个行向量线性表示7、设A为n阶方阵，且1)(nAr，21,是 AX=0 的两个不同解，则21，一定（）A、线性相关B、线性无关C、不能相互线性表示D、有一个为零向量8、设有n维向量组（）：12,rL和（）：12,()mmrL，则（）A、向量组（

11、）线性无关时，向量组（）线性无关B、向量组（）线性相关时，向量组（）线性相关名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 18 页 -此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流C、向量组（）线性相关时，向量组（）线性相关D、向量组（）线性无关时，向量组（）线性相关一（7）选择题1.设 A 为 n 阶方阵,则正确的结论是 ()(A)如果2,AO那么 A=O(B)如果2,AA那么 A=O 或 A=E(C)如果,AO那么0A(D)如果0,A那么 AO2.设1234xx1232yy105,12则12,yy（)(A)（1，2）(B)（1，1）(C)（2，1）(D)（1，1

12、）3在矩阵 A 中增加一列而得到矩阵B，设 A、B 的秩分别为1r,2r，则它们之间的关系必为：()(A)12rr(B)121rr(C)12rr(D)12rr4.A,B 均为n阶矩阵，且22()()ABABAB，则必有（）(A)BE(B)AE(C)ABBA(D)AB5.已知向量组 A 线性相关，则在这个向量组中()(A)必有一个零向量 .(B)必有两个向量成比例 .(C)必有一个向量是其余向量的线性组合.(D)任一个向量是其余向量的线性组合.6.设 A 为n阶方阵，且秩()1R An,12,a a是非齐次方程组Axb的两个不同的解向量,则 Ax=0 的通解为 ()(A)12()k aa(B)1

13、2()k aa(C)1ka(D)2ka一.（8）选择题1设(.)表示排列的逆序数,则(51324)=()(A)1(B)5(C)3(D)22.设123,是四元非齐次线性方程组Ax=b 的三个解向量,且系数矩阵A 的名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 18 页 -此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流秩等于 3,1(1,2,3,4),T23(0,1,2,3),TC 表示任意常数，则方程组Ax=b 的通解x=()(A)1121;3141C(B)1021;3244C(C)1223;3445C(D)1324.3546C3.已知向量组1,mK线性相关，则（）(

14、A)该向量组的任何部分组必线性相关(B)该向量组的任何部分组必线性无关(C)该向量组的秩小于m(D)该向量组的最大线性无关组是唯一的4设有矩阵,m ll nm nABC则下列运算可行的是 ()(A)ABC(B)TA CB(C)TABC(D)TCB A5n 阶矩阵 A 可对角化，则（）(A)A的秩为 n(B)A 必有 n 个不同的特征值(C)A有 n 个线性无关的特征向量(D)A 有 n 个两两正交的特征向量6.若有1133016,02135kkk则 k 等于(A)1(B)2(C)3(D)4 二(!)填空题1.设矩阵21100413aA有一个特征值2,对应的特征向量为12,2x则数a=_.2.若

15、 3 阶方阵 A 的三个特征根分别是 1,2,3则方阵 A 的行列式 A3设矩阵 A=1 020 10，B=3010 1 0，则 ABT=_名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 18 页 -此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流4.行列式333222111321321321aaaaaaaaaD的值为5.设矩阵 A=1101 0012 0000 ，则齐次线性方程组0A x的基础解系的向量个数为;6设向量组TTTa)2,1,1(,)1,2,1,2(,)2,6,3,1(321线性相关,则a二(2)填空题1.设矩阵21100413aA有一个特征值2,对应的特

16、征向量为12,2x则数 a=_.2.若 n 阶矩阵 A有一个特征根为 2。则2AI3设矩阵 A=1 020 10，B=30101 0，则 ABT=_4.若 n 阶矩阵 A满足224AAI，则1()IA=.5在 5 阶行列式中，项5314453221aaaaa的符号为6设向量组TTTa)2,1,1(,)1,2,1,2(,)2,6,3,1(321线性相关,则a二(3)、填空题：1.设 A为三阶矩阵，*A 为其伴随矩阵，已知1A，那么*A_.2.R AB_R ARB.3.n 阶矩阵 A满足_ _，称 A 为正交矩阵4.若Tk11与T121正交，则 k5.矩阵1302A的逆矩阵为 _ _.二(4)、填

17、空题：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 18 页 -此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流 1,112301=.2.排列 7623451的逆序数是.3.若 A 为mn矩阵，则齐次线性方程组Ax0 有非零解的充分必要条件是_.4.向量(2,1,0,2)T的模（范数）_.5.设 A为 3 阶方阵，且|=-2A，则 A的伴随矩阵*A 的行列式*|A=_.二(5)、填空题1、已知矩阵BA，满足EBBA2，且2112A,则 B的行列式=.2、设03540202kkD当且仅当 k=3、若A、B均为 3阶矩阵，且2A，3B，则3*3BA4、dcbaA,且)0(

18、bcad，则*A5、设向量组TTTa)2,1,1(,)1,2,1,2(,)2,6,3,1(321线性相关,则a6、若齐次线性方程组0002321321321xxkxxkxxxxx有非零解，则k二(6)、填空题1、在 5 阶行列式中，项5314453221aaaaa的符号为2、I为n阶单位矩阵，k为整数，则)(kIR3、若A、B均为n阶矩阵，且2A，022IABA，则BA4、如果n,21线性无关，且1n不能由n,21线性表示，则121,n名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 18 页 -此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流的线性5、设T)5,2(1,

19、Ta)1(2，当a时，21,线性相关.6、行列式0001002103014121二（7）填空1已知 A=1101，则2016A_ _。2.设2是可逆矩阵 A 的一个特征值,则矩阵1213A的一个特征值为。3.设123456333A，则齐次线性方程组Ax=0 的基础解系所含向量个数为_。4.设 A,B 均为 4 阶方阵，且2A，3B则1A B。5.在五阶行列式中，项2543543112aaaaa的符号应取(填正号或负号)。6.已知 B 为可逆矩阵,则11()TTB=。二（8）填空1设31,13A则4A。2矩阵方程组m nAXB有解的充分必要条件是 _ 。3.设向量组12:,lB b bbL能由向

20、量组12:,mA a aaL线性表示，则12(,)mR a aaL12(,)lR b bbL。(填“=”或“”或“”)4.设 A,B 均为 3 阶方阵，且2A，3B，则12TA B_。5.设向量组11,1,1T,21,2,3T,31,3,Tt线性无关，则 t。6.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 18 页 -此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流若 n 阶矩阵 A 有一个特征值是 1,则253AAE有一个特征值三(1)计算题1.设245031001A，求(4E)(4E)TAA。2.计算行列式1111111111111111xxDyy3解矩阵方程

21、XBAX,其中101111010A，350211B。4求线性方程组12222412432143214321xxxxxxxxxxxx的解。5.设11124233Ax，已知 A与对角形矩阵相似，A的特征值是 2,2,y，求 x 和 y 的值。6给定向量组123412341345,.011246ab已知矩阵1234()A，的秩为()2,R A求（1）,a b的值；（2）向量组4321，的一个极大线性无关组；（3）把其余向量用这个最大线性无关组表示出来.(6 分)三(2)计算题名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 11 页，共 18 页 -此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学

22、习与交流1计算A0112012120112110。2解矩阵方程XBAX,其中101111010A，350211B。3求下列矩阵的列向量组的一个极大无关组，并将其余列向量用此极大无关组线性表示11221021 51110414求线性方程组12222412432143214321xxxxxxxxxxxx的解。5.设21222361xA，40000002By，已知 A与 B相似，求 x 和 y 的值。6齐次线性方程组02043032321321321axxxxxxxxx中，当 a 为何值时有非零解，并求出其通解。三(3)、计算题1.已知25461321X，求 X.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师

23、精心整理-第 12 页，共 18 页 -此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流2.求阶 n 行列式 D=xabcaxbcabxc3.求矩阵201034011A的特征值和特征向量4.设线性方程组123123123(1)0,(1)3,(1),xxxxxxxxx问取何值时，此方程组（1）有唯一解；(2)无解;(3)有无限多解？并在有无限多解时求其通解.5.试求向量组A:T1(1,1,2,2),T2(0,2,1,5),T3(2,0,3,-1),T4(1,1,0,4)的秩和该向量组 A的一个最大无关组，并将其他向量用此最大无关组表示.6.求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程

24、组的基础解系,并用基础解系表示方程的通解1234123412340311232xxxxxxxxxxxx三(4)、计算题 1.计算 4 阶行列式2141312112325062D2.求矩阵的逆121111110A 3.求矩阵3113A的特征值和特征向量.4.问a取什么值时向量组a1(a 1 1)Ta2(1 a1)T a3(11 a)T1)线性相关,2)线性无关.5.求下向量组的秩和一个最大无关组，并把不属于最大无关组的列向量用最大无名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 13 页，共 18 页 -此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流关组线性表示123421234,

25、1,3,5.20126.求方程组1212341234522153223xxxxxxxxxx的全部解，并用齐次线性方程组的基础解系表示出来.三(5)、1、812784194213211112、011101110nD（主对角线为0，其余为 1）3、判断矩阵011012111A是否可逆，并求其逆矩阵.4、设矩阵12213121A，请讨论矩阵A 的秩.5、求 向 量 组A:T)2,1,1(1，T)1,3,0(2，T)7,0,3(3，T)2,2,1(4，T)5,1,2(5的一个极大无关组，并将其余向量由它线性表示.6、求非齐次线性方程组5793583332154321432143214321xxxxxx

26、xxxxxxxxxx的通解.三(6)、计算题1、yyxx11111111111111112、81278419421321111名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 14 页，共 18 页 -此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流3、判断矩阵201013121A是否可逆，若可逆请求其逆矩阵.4、已知矩阵12243311At的秩3)(AR，请求t的值.5、求 向 量 组A：T)-2,6,2,0(1，T)1,-2,-1,0(2，T)-2,-4,0,2(3，T)22,10,0(4，的一个极大无关组，并将其余向量由它线性表示.6、求齐次线性方程组7793183332154

27、321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx的通解.三（7）计算题1设3312A，1121B ,求2TABB。2计算四阶行列式41241202105200117D的值。3.设25461321X,求矩阵 X。4求矩阵3223A的特征值和特征向量。5。求向量组1=(1,-2,3,-1,2)T,2=(3,-1,5,-3,-1)T,3=(5,0,7,-5,-4)T,4=(2,1,2,-2,-3)T的秩和该向量组的一个最大无关组，并将不在最大无关组中的向量用最大无关组线性表示。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 15 页，共 18 页 -此文档仅供收集于网络，如有侵权请联

28、系网站删除只供学习与交流6。求非齐次线性方程组214321432143212201xxxxxxxxxxxx的通解,并求其对应的齐次线性方程组的基础解系。三（8）计算题1设3122A，2132B ,求 BAAB。2.计算五阶行列式1111098010000710605413020015D3.求矩阵1234012300120001A的逆矩阵1A.4求矩阵 A 的特征值与特征向量,其中110430.102A5 试求向量组1=(1,1,2,2)T,2=(0,2,1,5)T,3=(2,0,3,-1)T,4=(1,1,0,4)T 的秩和该向量组的一个最大无关组，并将其他向量用此最大无关组表示。6 取为何值

29、时,线性方程组12312321231xxxxxxxxx有唯一解,无穷多解,无解?四(1)证明题1.若A是反对称矩阵，B是对称矩阵，求证:AB是反对称矩阵的充要条件是ABBA.2.已知向量组123,a aa线性无关，1223132+2,+2,线性无关.四(2)证明题名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 16 页，共 18 页 -此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流1.设0是非齐次线性方程组bAX的一个特解，1，2是其导出组0AX的一个基础解系，试证明：（1）101，202均是bAX的解；（2）0，1，2线性无关四(3)、证明题1.设方阵 A满足 A2A 2E O

30、 证明 A 及 A 2E 都可逆并求 A1及(A 2E)12.已知 R(a1a2a3)2 R(a2a3a4)3证明(1)a1能由 a2a3线性表示(2)a4不能由 a1a2a3线性表示四(4)、证明题1.设方阵 A满足 A22A 4E O证明 A E 都可逆并求(A E)12.已知向量组123,a aa线性无关，112223331,baa baa baa，试证明向量组123,b bb线性无关.四(5)、证明题1、设向量组A：321,线性无关，求证：31，12，32线性无关.2、设A为为n阶可逆矩阵，*A为A的伴随矩阵，求证：nAR)(*.四(6)、证明题1、设向量组A：321,线性无关，求证：

31、212，1323，133线性无关.2、设A为为n阶可逆矩阵，*A为A的伴随矩阵，求证*A为满秩矩阵.四（7）证明题 1设 n 阶方阵 A 满足320AAAE,证明：矩阵 A 可逆,并求出其逆矩阵。2若向量组123,线性无关，而1123，21232，四（8）证明题1 已 知 向 量 组 A1(0,1,1)Ta，2(1,1,0)Ta，向 量 组 B1(1,0,1)Tb，2(1,2,1)Tb，3(3,2,1)Tb，证明：向量组 A与向量组 B等价。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 17 页，共 18 页 -此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流2（4 分）设 A是n阶矩阵，若方阵 A 满足 A2-2A-4E=O，证明：A+E 可逆，并求矩阵1AE。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 18 页，共 18 页 -