2022年圆锥曲线硬解定理借鉴 .pdf

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1、圆锥曲线硬解定理介绍：圆锥曲线硬解定理，又称CGY-EH 定理或 JZQ-EH定理，其是一套求解椭圆 双曲线与直线相交时12xx,12x x,及相交弦长的简便算法。定理简介：在将 圆锥曲线 的方程 与直线 方程联立求解时人们发现了可消项的存在。但其一般化的推导结果不具有普适性,且一直无法用一个简洁的形式表示.。由 CGY(2010)以椭圆 曲线推导,重新排列分组形式,并引入,从而得出了较为简洁的表示形式。后再由CGY成功引入弦长计算公式,并将适用范围扩大到对y 值求解与对x 的求解,从而奠定了CGY-EH定理强大的通用性与普适性。定理内容:若曲线221xymn与直线0AxByC相交于 E、F

2、两点,则:122ACmxx2212m CB nx x2mnC222ABEF其中22A mB n，为一与同号的值，214B定理说明:应用该定理于椭圆22221xyab时,应将22manb代入。应用于双曲线22221xyab时,应将22manb代入,同时22()A mB n不应为零,即不为零。求解12yy,12y y既是求解2210 xymnAxByC，只须将 A 与 B 的值互换且m 与 n 的值互换，可知与的值不会因此而改变。定理补充:联立曲线方程与ykx是现行高考中比联立”0AxByC“更为普遍的现象。其中联立后的二次方程是标准答案中必不可少的一项，12xx，12x x都可以直接通过该方程与

3、韦达定理求得，唯独弦长的表达式需要大量计算。这里给出一个CGY-EH 的斜率式简化公式，以减少记忆量，以便在考试中套用。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 3 页 -若曲线221xymn与直线ykx相交于 E、F 两点,则:224mn nmk这里的既可以是常数，也可以是关于k的代数式。由这个公式我们可以推出：若曲线221xymn为椭圆22221xyab,则2222224a bba k若曲线221xymn为双曲线22221xyab,则2222224a bba k由于在高考中CGY-EH 定理不可以直接应用，所以学生如此解答才可得全步骤分：联立两方程得 （二次式子）所以1

4、2xx=，12x x=；所以21212124xxxxx x（此时代入、式得到一个大式子，但不必化简）化简得122xxnmk(偷偷地直接套公式，不必真化简)下面就可求弦长2121lkxx了。定理简证:设曲线221xymn与直线0AxByC相交于 E、F 两点，联立式可得最终的二次方程：22222()20A mB n xACmxC mmnB应用韦达定理，可得:12222ACmxxA mB n221222C mmnBx xA mB n224mnBC名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 3 页 -对于等价的一元二次方程的数值不唯一,且的意义仅在于其与零的关系,故由240B恒成立,则可取与同号的22mnBC作为的值由2222121212122(1)4AEFxxyyxxx xB可得22222224mn ABA mB nCEFA mB n令22A mB n则得到 CGY-EH 定理:122ACmxx2212m CB nx x2mnC222ABEF名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 3 页 -