正定二次型和正定矩阵课件.ppt

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1、关于正定二次型和正定矩阵第1页，此课件共29页哦22一、基本概念定义定义 设设A A为实为实n n阶对称矩阵，如果对于任意非零阶对称矩阵，如果对于任意非零向量向量X X，二次型，二次型f f=X XT TAXAX均为正数，则称二次型均为正数，则称二次型f f为正为正定的，其矩阵定的，其矩阵A A 称为正定矩阵称为正定矩阵.定义定义 如果对于任意向量如果对于任意向量X X，二次型，二次型f f=X XT TAXAX均为非负均为非负(非正非正)数，则称二次型数，则称二次型f f为半正为半正(负负)定的，其矩阵定的，其矩阵A A 称为半正称为半正(负负)定矩阵定矩阵.定义定义 如果实二次型如果实二次

2、型f f=X XT TAXAX对于某些向量对于某些向量X X为正数为正数,并且对于对于某些向量并且对于对于某些向量X X为负数为负数,则称二次型是则称二次型是不定的不定的.第2页，此课件共29页哦33例例222212211222221221122212()221112()22111210.01fghfxxxxx xxAgxxxxx xxAhxxA 正定二次型,正定矩阵;负定二次型,负定矩阵;不定二次型不定矩阵第3页，此课件共29页哦44二、正定矩阵的充分必要条件定理定理 实对称矩阵A正定的充分必要条件是其特征值都是正数.证明证明 设实对称矩阵A的特征值 都是正数.存在正交矩阵Q,使得 QTAQ

3、=,为对角矩阵,其对角线元素为 ,对于 令 1,n 1,nTTTTT21()()0.niiifX AXQYAQYYQ AQ YYYy 10,0,n,XO 1,YQ X 即 ,显然 又 故XQY,YO 这就证明了条件的充分性.第4页，此课件共29页哦5设A是正定矩阵,而 是其任意特征值,X是属于 的特征向量,则有,AXX 于是TTT0,0,0.X AXX XX X 故必要性得证.推论推论 若A是正定矩阵,则|A|0.证明证明 TTT111,|0.nQ AQQ AQQA QQA QQA QA 5第5页，此课件共29页哦66例例 判断下列矩阵是否为正定矩阵622250.207A 解解62262225

4、0250207207EA 第6页，此课件共29页哦7 722123(6)(5)(7)4(5)4(7)(6)(5)(7)848(6)(1235)8(6)(6)(1227)=(3)(6)(9).3,6,9.第7页，此课件共29页哦8 8定理定理 实对称矩阵A正定的充分必要条件是它与单位矩阵合同.证明 充分性.设实对称矩阵A合同与E,即存在可逆矩阵C,使得 对于任意向量XO,由于C可逆,可从 解出Y O,于是T,C ACE CYX TT210,niiX AXYYy 故A是正定的.必要性.设实对称矩阵A是正定的.由于A是实对称的,A合同于一个对角矩阵 ,其对角线元素是A的特征值 由于A是正定的,这些特

5、征值大于零,而这样的对角矩阵与单位矩阵合同,故A合同于单位矩阵.,1,n第8页，此课件共29页哦9定理定理实对称矩阵A 正定的充分必要条件是存在可逆矩阵P，使得A=PTP.证明设A=PTP,P可逆.对于任意 ,由于P可逆,PXo,故Xo ,Xo 2TTT()0.X P PXPXPXPX设A正定,则A合同于单位矩阵,即存在可逆矩阵,使得A=PTEP=PTP.第9页，此课件共29页哦10例例 A正定,B实对称,则存在可逆矩阵R,使得RTAR和RTBR同时为对角形.证明证明存在P,使得PTAP=E,PTBP实对称,存在正交矩阵Q,使得 QTPTBPQ=D为对角形,令R=PQ,则TTTTT,R ARQ

6、 P APQQ EQER BR为对角形.第10页，此课件共29页哦11例A,B正定,AB正定的充分必要条件是A,B可交换.证明必要性设AB正定,则AB对称,充分性 设A,B可交换,则AB是实对称矩阵,A正定,A=CCT,AB=CCTBCTBC,CTBC是正定矩阵,特征值为正,AB特征值也为正数,故AB正定.TTT().ABABB ABA 第11页，此课件共29页哦1212为了叙述下一个正定矩阵充分必要条件，我们引进定义定义 给定实对称矩阵则其前s行前s列元素组成的行列式称为A的顺序主子式.即(),ijn nAa|,1,sijs sAasn 111213111211123212223212231

7、3233(),aaaaaAaAAaaaaaaaa 第12页，此课件共29页哦131311111111,.snsnsssnnnaaaaAAAaaaa的行列式的行列式.定理定理 实对称矩阵 正定的充分必要条件是其顺序主子式全大于零.()ijn nAa 第13页，此课件共29页哦1414例例 用顺序主子式判断上例的矩阵的正定性.622250.207A 解解123|60,62|304260,25622|25021020281620.207AAA 故A正定.第14页，此课件共29页哦1515实对称矩阵实对称矩阵A A正定正定的充分必要条件是的充分必要条件是1.1.其特征值都是正数其特征值都是正数.2.2

8、.A A合同于合同于3.可逆可逆.4.4.A A的顺序主子式全是正数的顺序主子式全是正数.5.A A的主子式全是正数的主子式全是正数.nET,AP P P 第15页，此课件共29页哦1616例例 判断下列二次型是否正定:2221121322339912481306071fxx xx xxx xx1299624613030,990,24371996333661302651111818(65 11 2)18 7130,265AAA :=detA832176第16页，此课件共29页哦17222123222222121323222123222222121323222123123991307111112

9、()48()60()22299130716()24()30()6994170,(,)0.ffxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx x x222222()0,1().2aabbababab 第17页，此课件共29页哦18例例 t在什么范围取值时二次型222123123121323(,)32224f xxxxxxx xx xx x 是正定二次型?解解1232221111132.|10,|20,132211100|13212222222(2)(2)tAAAttAttttttt 第18页，此课件共29页哦1922212424434(34)0.(34)0,4/3,0.4/30.ttttttttt

10、ttt 第19页，此课件共29页哦20定义定义 实对称矩阵A的第 行和第 列的元素组成的行列式称为主子式.例如1,kii1,kii12312 45 13245,24 52 32352A 是2阶主子式.其中只有 是2阶顺序主子式.1224第20页，此课件共29页哦2121实对称矩阵A半正定半正定的充分必要条件是1.其特征值都是非负数.2.A合同于3.A的正惯性指数p=r.4.A的所有主子式非负.,().rEOrr AOO 第21页，此课件共29页哦22定理定理 实对称矩阵实对称矩阵A A半正定的充分必要条件是所有半正定的充分必要条件是所有主子式非负主子式非负.证明 设A半正定.则A+tE正定.其

11、所有主子式1 11 212 12 2211210.00.kkkkkk kki ii ii ii ii ii iniikki ii ii iiiataaaaaAtECaaattA 个.第22页，此课件共29页哦23设A的所有主子式非负.考虑矩阵 其顺序主子式.tAAtE 111212122212110|.kktkkkkkkkataaaataAaaattc tc ic 是A的 阶主子式之和,故 ki 0,|0,kitkcAt tA正定,对于任意非零向量X,令 得T0,tX A X 0t T0.X AX 故A半正定.第23页，此课件共29页哦24例例112112.221A 但A并非半正定，事实上，A

12、对应的二次型222123121323221233123244(2)3,1,1,30.1230.21fxxxx xx xx xxxxxxxxf 主子式1231110,0,|0.11AAAA顺序主子式第24页，此课件共29页哦2525三、正定矩阵的性质1.1.若若A A为正定矩阵为正定矩阵,则则|A A|0,|0,A A可逆可逆.2.2.若若A A为正定矩阵为正定矩阵,则则A A-1-1也是正定矩阵也是正定矩阵.证明证明 A A为正定矩阵为正定矩阵,其全部特征值为正数其全部特征值为正数,A A-1-1的全部的全部特征值是它们的倒数特征值是它们的倒数,也全是正数也全是正数,故故A A-1-1正定正定

13、.3.3.正定矩阵的对角线元素都是正数正定矩阵的对角线元素都是正数.4.4.A A为正定矩阵为正定矩阵,A Ak k也是正定矩阵也是正定矩阵.5.5.A A,B B为同阶正定矩阵为同阶正定矩阵,则则A A+B B是正定矩阵是正定矩阵.6.6.若若A A为正定矩阵为正定矩阵,则存在可逆矩阵则存在可逆矩阵P P,使得使得A=PPA=PPT T.7.7.A A为正定矩阵为正定矩阵,A,A 的所有主子式大于零的所有主子式大于零.第25页，此课件共29页哦2626证明证明 由于A合同于单位矩阵,存在可逆矩阵Q,使得A=QTEQ=QTQ=QT(QT)T=PPT,P=QT.8.若A为n阶正定矩阵,则 正定.

14、(),n mr Pmn TP AP证明证明 对于任意m维列向量 由于,XO(),n mr Pmn 矩阵P的列向量组线性无关,是P的列向量的非零线性组合,故 而A正定,故PXTTT()()()0,XP AP XPXA PX 故 是正定矩阵.TP AP,PXO 第26页，此课件共29页哦2727TT,A A AA的若干性质1.若A为n阶可逆矩阵,则 为正定矩阵.TT,A A AA证明 是实对称矩阵.对于任意 A可逆,否则 TTTTTT()(),A AAAA A TA A,XO,AXO 1,.AXO XA XO 2TTT()()0.X A AXAXAXAX 故 正定.TA A2.若A为 矩阵,且 则 为m阶正定矩阵,为n阶半正定矩阵,但非正定矩阵.nm(),r Amn TA ATAA证明 任意 A的列向量组线性无关,XO(),r Am,AXO 2TTT()0.X A AXAXAXAX 第27页，此课件共29页哦28(),Tr Amn 的列向量组线性相关，存在n维列向量使得 ,于是,Xo0,TTTX AA XX AoTA Xo2,()0,nTTTTTTTXRX AA XA XA XA XA X故故 不是正定矩阵。TAATA第28页，此课件共29页哦2022-9-8感谢大家观看感谢大家观看第29页，此课件共29页哦