1989-2015考研数学二历年真题word版.doc

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1、2015年考研数学二真题一、选择题 18小题每小题4分，共32分下列反常积分收敛的是（ ）（A） （B） （C） （D）2函数在内（ ）（A）连续 （B）有可去间断点（C）有跳跃间断点 （D）有无穷间断点3设函数 ，若在处连续，则（ ）（A） （B） （C） （D）4设函数在上连续，其二阶导数的图形如右图所示，则曲线在的拐点个数为（A）0 （B）1 （C）2 （D）35设函数满足，则依次为（ ）（）（）（）（）6设D是第一象限中由曲线及直线所围成的平面区域，函数在D上连续，则（ ） （）（）（）（）7设矩阵，若集合，则线性方程组有无穷多解的充分必要条件是（A） （B） （C） （D）8设二次型

2、在正交变换下的标准形为，其中，若，则在下的标准形为（A） （B） （C） （D） 9设，则 10函数在处的阶导数 11设函数连续，若，则 12设函数是微分方程的解，且在处取极值，则 13若函数由方程确定，则 14设三阶矩阵的特征值为，其中为三阶单位矩阵，则行列式 三、解答题15（本题满分10分）设函数，在时为等价无穷小，求常数的取值16（本题满分10分）设，D是由曲线弧及直线所围成的平面区域，分别表示D绕旋转一周所围成的旋转体的体积，若，求的值17（本题满分10分）已知满足，求的极值18（本题满分10分）计算二重积分，其中19（本题满分10分）已知，求的零点个数20（本题满分11分）已知高温物

3、体置于低温介质中，任一时刻物体温度对时间的变化率及该时刻物体和介质的温差成正比，现将一初始温度为，物体在恒温介质中冷却，30分钟后该物体的温度降到若要将物体的温度继续降至，还需要冷却多长时间？21（本题满分11分）已知函数在区间上具有二阶导数，设，曲线在点的切线及轴的交点是，证明：22（本题满分11分）设矩阵，且（1）求的值；（2）若矩阵满足，其中为三阶单位矩阵，求X23（本题满分11分）设矩阵相似于矩阵（1）求的值；（2）求可逆矩阵，使为对角矩阵2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:1-8题,每题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所

4、选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1)曲线的渐近线条数 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3(2) 设函数，其中为正整数,则 ( )(A) (B) (C) (D) (3) 设，则数列有界是数列收敛的 (A) 充分必要条件 (B) 充分非必要条件 (C) 必要非充分条件 (D) 非充分也非必要(4) 设则有 (A) (B) (C) (D) (5) 设函数为可微函数，且对任意的都有则使不等式成立的一个充分条件是 (A) (B) (C) (D) (6) 设区域由曲线围成，则 (A) (B) 2 (C) -2 (D) - (7) 设, , , ,其中为任意常数，则下列向量组线性相关的

5、为 (A) (B) (C) (D) (8) 设为3阶矩阵，为3阶可逆矩阵，且.若，则 (A) (B) (C) (D)二、填空题：9-14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.(9) 设是由方程所确定的隐函数，则 .(10) .(11) 设其中函数可微，则 .(12) 微分方程满足条件的解为 .(13) 曲线上曲率为的点的坐标是 .(14) 设为3阶矩阵，为伴随矩阵，若交换的第1行及第2行得矩阵，则 . 三、解答题：15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分 10 分)已知函数，记，(I)求的值;(II)

6、若时，及是同阶无穷小，求常数的值. (16)(本题满分 10 分)求函数的极值.(17)(本题满分12分)过点作曲线的切线,切点为,又及轴交于点,区域由及直线围成,求区域的面积及绕轴旋转一周所得旋转体的体积.(18)(本题满分 10 分)计算二重积分，其中区域为曲线及极轴围成.(19)(本题满分10分)已知函数满足方程及,(I) 求的表达式;(II) 求曲线的拐点.(20)(本题满分10分)证明,. (21)(本题满分10 分)(I)证明方程，在区间内有且仅有一个实根；(II)记(I)中的实根为，证明存在，并求此极限.(22)(本题满分11 分)设，(I) 计算行列式；(II) 当实数为何值时

7、，方程组有无穷多解，并求其通解.(23)(本题满分11 分)已知，二次型的秩为2，(I) 求实数的值；(II) 求正交变换将化为标准形.2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:1-8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1. 已知当时，函数A k=1,c=4 B k=a, c=-4 C k=3,c=4 D k=3,c=-4A B C D 02. 函数的驻点个数为A 0 B 1 C 2 D 3 3. 微分方程A B C D5设函数具有二阶连续导数，且，则函数在点（0，0）处取得极小值的一个充分条

8、件A B C D 6.设A IJK B IKJ C JIK D KJsC、若向量组II线性无关，则 D、若向量组II线性相关，则rs8.设为4阶对称矩阵,且若的秩为3,则相似于A BCD二填空题9.3阶常系数线性齐次微分方程的通解y=_10.曲线的渐近线方程为_11.函数12.13.已知一个长方形的长l以2cm/s的速率增加，宽w以3cm/s的速率增加，则当l=12cm,w=5cm时，它的对角线增加的速率为_14.设A，B为3阶矩阵，且三解答题15.16.(1)比较及的大小,说明理由.(2)记求极限17. 18.一个高为l的柱体形贮油罐，底面是长轴为2a,短轴为2b的椭圆。现将贮油罐平放，当油

9、罐中油面高度为时，计算油的质量。（长度单位为m，质量单位为kg，油的密度为）19.20.21.设函数f(x)在闭区间0,1上连续，在开区间(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=,证明：存在22.23.设，正交矩阵Q使得为对角矩阵，若Q的第一列为，求a、Q.2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：18小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）函数的可去间断点的个数，则（ ）1.2. 3.无穷多个.（2）当时，及是等价无穷小，则（ ）（3）设函数的全微分为，则点（ ）不是的连续点.不是的极值点. 是

10、的极大值点. 是的极小值点.（4）设函数连续，则（ ）（5）若不变号，且曲线在点上的曲率圆为，则在区间内（ ）有极值点，无零点.无极值点，有零点. 有极值点，有零点.无极值点，无零点.（6）设函数在区间上的图形为：1-2023-1O则函数的图形为（ ）.0231-2-11. 0231-2-11.0231-11.0231-2-11（7）设、均为2阶矩阵，分别为、的伴随矩阵。若，则分块矩阵的伴随矩阵为（ ）（8）设均为3阶矩阵，为的转置矩阵，且，若，则为（ ）二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）曲线在处的切线方程为 （10）已知,则 （11） （12

11、）设是由方程确定的隐函数，则 （13）函数在区间上的最小值为 (14)设为3维列向量，为的转置，若矩阵相似于，则 三、解答题：1523小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分9分）求极限（16）（本题满分10 分）计算不定积分 （17）（本题满分10分）设，其中具有2阶连续偏导数，求及（18）（本题满分10分）设非负函数满足微分方程，当曲线过原点时，其及直线及围成平面区域的面积为2，求绕轴旋转所得旋转体体积。（19）（本题满分10分）求二重积分，其中（20）（本题满分12分）设是区间内过的光滑曲线，当时，曲线上任一点处的法线都过

12、原点，当时，函数满足。求的表达式（21）（本题满分11分）（）证明拉格朗日中值定理：若函数在上连续，在可导，则存在，使得（）证明：若函数在处连续，在内可导，且，则存在，且。（22）（本题满分11分）设，（）求满足的所有向量（）对（）中的任一向量，证明：线性无关。（23）（本题满分11分）设二次型（）求二次型的矩阵的所有特征值；（）若二次型的规范形为，求的值。2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：18小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）设，则的零点个数为（ ） 0 1. 2 3（2）曲线方程为函

13、数在区间上有连续导数，则定积分（ ）曲边梯形ABOD面积.梯形ABOD面积.曲边三角形面积.三角形面积.（3）在下列微分方程中，以（为任意常数）为通解的是（ ）（5）设函数在内单调有界，为数列，下列命题正确的是（ ）若收敛，则收敛. 若单调，则收敛.若收敛，则收敛.若单调，则收敛.（6）设函数连续，若，其中区域为图中阴影部分，则（7）设为阶非零矩阵，为阶单位矩阵. 若，则（ ）不可逆，不可逆. 不可逆，可逆.可逆，可逆. 可逆，不可逆. （8）设，则在实数域上及合同的矩阵为（ ）二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9） 已知函数连续，且，则.（10）

14、微分方程的通解是.（11）曲线在点处的切线方程为.（12）曲线的拐点坐标为_.（13）设，则.（14）设3阶矩阵的特征值为.若行列式，则.三、解答题：1523题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)（本题满分9分）求极限. (16)（本题满分10分）设函数由参数方程确定，其中是初值问题的解.求. (17)（本题满分9分）求积分 . (18)（本题满分11分）求二重积分其中 (19)（本题满分11分）设是区间上具有连续导数的单调增加函数，且.对任意的，直线，曲线以及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周生成一旋转体.若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积

15、的2倍，求函数的表达式. (20)（本题满分11分）(1) 证明积分中值定理：若函数在闭区间上连续，则至少存在一点，使得 (2)若函数具有二阶导数，且满足，证明至少存在一点（21）（本题满分11分）求函数在约束条件和下的最大值及最小值.（22）（本题满分12分） 设矩阵，现矩阵满足方程，其中，（1）求证；（2）为何值，方程组有唯一解，并求；（3）为何值，方程组有无穷多解，并求通解.（23）（本题满分10分）设为3阶矩阵，为的分别属于特征值特征向量，向量满足，（1）证明线性无关；（2）令，求.2007年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：110小题，每小题4分，共40分. 在每小题给

16、出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）当时，及等价的无穷小量是 （A） （B） （C） （D） （2）函数在上的第一类间断点是 （A）0 （B）1 （C） （D）（3）如图，连续函数在区间上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设，则下列结论正确的是： （A） (B) （C） （D） （4）设函数在处连续，下列命题错误的是： （A）若存在，则 （B）若存在，则 . （C）若存在，则 （D）若存在，则.（5）曲线的渐近线的条数为（A）0. （B）1. （C）2. （D）3. （6）设函数在上具有二阶导数，且，令，则下

17、列结论正确的是： (A) 若 ，则必收敛. (B) 若 ，则必发散 (C) 若 ，则必收敛. (D) 若 ，则必发散. （7）二元函数在点处可微的一个充要条件是 （A）. （B）.（C）. （D）.（8）设函数连续，则二次积分等于（A） （B） （C） （D）（9）设向量组线性无关，则下列向量组线性相关的是线性相关，则(A) (B) (C) .(D) . （10）设矩阵，则及 (A) 合同且相似 （B）合同，但不相似. (C) 不合同，但相似. (D) 既不合同也不相似 二、填空题：1116小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.（11） _.（12）曲线上对应于的点处的法线斜率为

18、_.（13）设函数，则_.（14） 二阶常系数非齐次微分方程的通解为_.（15） 设是二元可微函数，则 _.（16）设矩阵，则的秩为 . 三、解答题：1724小题，共86分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（17） (本题满分10分)设是区间上单调、可导的函数，且满足，其中是的反函数，求.（18）（本题满分11分） 设是位于曲线下方、轴上方的无界区域. （）求区域绕轴旋转一周所成旋转体的体积；（）当为何值时，最小？并求此最小值.（19）（本题满分10分）求微分方程满足初始条件的特解.（20）（本题满分11分）已知函数具有二阶导数，且，函数由方程所确定，设，求.（21） (本题满分11

19、分)设函数在上连续，在内具有二阶导数且存在相等的最大值，证明：存在，使得.（22） (本题满分11分) 设二元函数，计算二重积分，其中.（23） (本题满分11分) 设线性方程组及方程有公共解，求的值及所有公共解.（24） (本题满分11分)设三阶对称矩阵的特征向量值，是的属于的一个特征向量，记，其中为3阶单位矩阵. （I）验证是矩阵的特征向量，并求的全部特征值及特征向量；（II）求矩阵. 2006年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、 填空题：16小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.（1）曲线 的水平渐近线方程为 （2）设函数在处连续，则 .（3）广义积分 .（4）微分方

20、程的通解是 （5）设函数由方程确定，则 （6）设矩阵，为2阶单位矩阵，矩阵满足，则 .二、选择题：714小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（7）设函数具有二阶导数，且，为自变量在点处的增量，分别为在点处对应的增量及微分，若，则 (A) . (B) . (C) . (D) . （8）设是奇函数，除外处处连续，是其第一类间断点，则是（A）连续的奇函数.（B）连续的偶函数 （C）在间断的奇函数（D）在间断的偶函数. （9）设函数可微，则等于（A）.（B） （C）（D） （10）函数满足的一个微分方程是（A）（B） （C）（D

21、） （11）设为连续函数，则等于（）. （B）. (C).(D) . （12）设均为可微函数，且，已知是在约束条件下的一个极值点，下列选项正确的是 (A) 若，则. (B) 若，则. (C) 若，则. (D) 若，则. （13）设均为维列向量，为矩阵，下列选项正确的是 (A) 若线性相关，则线性相关. (B) 若线性相关，则线性无关. (C) 若线性无关，则线性相关. (D) 若线性无关，则线性无关. （14）设为3阶矩阵，将的第2行加到第1行得，再将的第1列的倍加到第2列得，记，则（）.（）. （）.（）.三 、解答题：1523小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）

22、（本题满分10分） 试确定的值，使得，其中是当时比高阶的无穷小.（16）（本题满分10分）求 .（17）（本题满分10分）设区域， 计算二重积分（18）（本题满分12分）设数列满足（）证明存在，并求该极限；（）计算.（19）（本题满分10分）证明：当时，. （20）（本题满分12分）设函数在内具有二阶导数，且满足等式.（I）验证；（II）若，求函数的表达式. （21）（本题满分12分）已知曲线L的方程（I）讨论L的凹凸性；（II）过点引L的切线，求切点，并写出切线的方程；（III）求此切线及L（对应于的部分）及x轴所围成的平面图形的面积.（22）（本题满分9分）已知非齐次线性方程组有3个线性无

23、关的解.（）证明方程组系数矩阵的秩；（）求的值及方程组的通解.（23）（本题满分9分）设3阶实对称矩阵的各行元素之和均为3,向量是线性方程组的两个解.()求的特征值及特征向量；()求正交矩阵和对角矩阵,使得.2005年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题二、 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）设，则 = . （2）曲线的斜渐近线方程为 .（3） . （4）微分方程满足的解为 .（5）当时，及是等价无穷小，则k= .（6）设均为3维列向量，记矩阵 ， 如果，那么 .二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题

24、目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）设函数，则f(x)在内 (A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点. (C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. （8）设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，表示“M的充分必要条件是N”，则必有 (A) F(x)是偶函数f(x)是奇函数. （B） F(x)是奇函数f(x)是偶函数.(C) F(x)是周期函数f(x)是周期函数. (D) F(x)是单调函数f(x)是单调函数. （9）设函数y=y(x)由参数方程确定，则曲线y=y(x)在x=3处的法线及x轴交点的横坐标是 (A) . (B) . (C) . (D) . （10）设

25、区域，f(x)为D上的正值连续函数，a,b为常数，则 (A) . (B) . (C) . (D) . （11）设函数, 其中函数具有二阶导数， 具有一阶导数，则必有 (A) . （B） . (C) . (D) . （12）设函数则 (A) x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. （B） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点.（C） x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点. （D）x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点. （13）设是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为，则，线性无关的充分必要条件是 (A) . (B) . (C)

26、 . (D) . （14）设A为n（）阶可逆矩阵，交换A的第1行及第2行得矩阵B, 分别为A,B的伴随矩阵，则 (C) 交换的第1列及第2列得. (B) 交换的第1行及第2行得. (C) 交换的第1列及第2列得. (D) 交换的第1行及第2行得. 三 、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（15）（本题满分11分）设函数f(x)连续，且，求极限（16）（本题满分11分）如图，和分别是和的图象，过点(0,1)的曲线是一单调增函数的图象. 过上任一点M(x,y)分别作垂直于x轴和y轴的直线和. 记及所围图形的面积为；及所围图形的面积为如果总有，求曲线的方程（

27、17）（本题满分11分）如图，曲线C的方程为y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线及分别是曲线C在点(0,0)及(3,2)处的切线，其交点为(2,4). 设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分（18）（本题满分12分） 用变量代换化简微分方程，并求其满足的特解.（19）（本题满分12分）已知函数f(x)在0，1上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1. 证明：（I）存在 使得；（II）存在两个不同的点，使得（20）（本题满分10分）已知函数z=f(x,y) 的全微分，并且f(1,1,)=2. 求f(x,y)在椭圆域上的最大值和最小值.（21）（本题满分9分）计算二重

28、积分，其中.（22）（本题满分9分）确定常数a,使向量组可由向量组线性表示，但向量组不能由向量组线性表示.（23）（本题满分9分）已知3阶矩阵A的第一行是不全为零，矩阵（k为常数），且AB=O, 求线性方程组Ax=0的通解.1989年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(每小题3分,满分21分.把答案填在题中横线上.)(1) . (2) .(3) 曲线在点处的切线方程是.(4) 设,则.(5) 设是连续函数,且,则.(6) 设在处连续,则常数及应满足的关系是.(7) 设,则.二、计算题(每小题4分,满分20分.)(1) 已知,求. (2) 求.(3) 求. (4) 已知求及.(5)

29、已知及,求.三、选择题(每小题3分,满分18分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 设时,曲线 ( )(A) 有且仅有水平渐近线 (B) 有且仅有铅直渐近线(C) 既有水平渐近线,也有铅直渐近线 (D) 既无水平渐近线,也无铅直渐近线(2) 若,则方程 ( )(A) 无实根 (B) 有唯一实根(C) 有三个不同实根 (D) 有五个不同实根(3) 曲线及轴所围成的图形,绕轴旋转一周所成的旋转体的体积为 (A) (B) (C) (D) (4) 设两函数及都在处取得极大值,则函数在处(A) 必取极大值 (B) 必取极小值(C) 不可能取极值 (D

30、) 是否取极值不能确定(5) 微分方程的一个特解应具有形式(式中为常数) ( )(A) (B) (C) (D) (6) 设在的某个领域内有定义,则在处可导的一个充分条件是( )(A) 存在 (B) 存在(C) 存在 (D) 存在四、(本题满分6分)求微分方程满足的解.五、(本题满分7分)设,其中为连续函数,求.六、(本题满分7分)证明方程在区间内有且仅有两个不同实根.七、(本大题满分11分)对函数,填写下表：单调减少区间单调增加区间极值点极值凹()区间凸()区间拐点渐近线八、(本题满分10分)设抛物线过原点,当时,又已知该抛物线及轴及直线所围图形的面积为,试确定使此图形绕轴旋转一周而成的旋转体

31、的体积最小.1990年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1) 曲线上对应于点点处的法线方程是 (2) 设,则.(3) (4) 下列两个积分的大小关系是： . (5) 设函数,则函数.二、选择题(每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 已知,其中是常数,则 ( )(A) (B) (C) (D) (2) 设函数在上连续,则等于 ( )(A) (B) (C) (D) (3) 已知函数具有任意阶导数,且,则当为大于2的正整数时,的阶导数是 ( )(A) (B) (C) (D) (4) 设是连续函数,且,则等于 ( )(A) (B) (C) (D) (5) 设,其中在处可导,则是的 (A) 连续点 (B) 第一类间断点 (C) 第二类间断点 (D) 连续点或间断点不能由此确定三、(每小题5分,满分25分.)(1) 已知,求常数. (2) 求由方程所确定的函数的微分.(3) 求曲线的拐点. (4) 计算.(5) 求微分方程满足条件的特解.四、(本题满分9分)在椭圆的第一象限部分上求一点,使该点处的切线、椭圆及两坐标轴所围图形面积为最小(其中