2022年大一下学期高等数学期末考试试题及答案 .pdf

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1、高数第 1 页 共 2 页高等数学 A(下册)期末考试试题【A 卷】院（系）别班级学号姓名成绩大题一二三四五六七小题1 2 3 4 5 得分一、填空题：（本题共 5小题，每小题4 分，满分20 分，把答案直接填在题中横线上）1、已知向量ar、br满足0abrrr，2ar，2br，则a brr2、设ln()zxxy，则32zx y3、曲面229xyz在点(1,2,4)处的切平面方程为4、设()f x是周期为2的周期函数，它在,)上的表达式为()f xx，则()f x的傅里叶级数在3x处收敛于，在x处收敛于5、设L为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则()Lxy ds以下各题在答题纸上作答，

2、答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级二、解下列各题：（本题共 5 小题，每小题7 分，满分35 分）1、求曲线2222222393xyzzxy在点0M(1,1,2)处的切线及法平面方程2、求由曲面2222zxy及226zxy所围成的立体体积3、判定级数11(1)lnnnnn是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？4、设(,)sinxzf xyyy，其中f具有二阶连续偏导数，求2,zzxx y5、计算曲面积分,dSz其中是球面2222xyza被平面(0)zhha截出的顶部名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 5 页 -高数第 2 页

3、共 2 页三、（本题满分 9 分）抛物面22zxy被平面1xyz截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值四、（本题满分 10 分）计算曲线积分(sin)(cos)xxLeym dxeymx dy，其中m为常数，L为由点(,0)A a至原点(0,0)O的上半圆周22(0)xyaxa五、（本题满分 10 分）求幂级数13nnnxn的收敛域及和函数六、（本题满分 10 分）计算曲面积分332223(1)Ix dydzy dzdxzdxdy，其中为曲面221(0)zxyz的上侧七、（本题满分 6 分）设()fx为连续函数，(0)fa，222()()tF tzf xyzdv，其中t是由曲面

4、22zxy与222ztxy所围成的闭区域，求30()limtF tt-备注：考试时间为2 小时；考试结束时，请每位考生按卷面答题纸草稿纸由表及里依序对折上交；不得带走试卷。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 5 页 -高数第 3 页 共 2 页高等数学 A(下册)期末考试试题【A 卷】参考解答与评分标准一、填空题【每小题4 分，共 20 分】1、4；2、21y；3、2414xyz；4、3，0；5、2.二、试解下列各题【每小题 7 分，共 35 分】1、解：方程两边对x求导，得323dydzyzxdxdxdydzyzxdxdx，从而54dyxdxy，74dzxdxz.【

5、4】该曲线在1,1,2处的切向量为5 71(1,)(8,10,7).4 88Tu r.【5】故所求的切线方程为1128107xyz.【6】法平面方程为81101720 xyz即810712xyz.【7】、解：2222226zxyzxy222xy，该立体在xOy面上的投影区域为22:2xyDxy.【2】故所求的体积为Vdv222262200202(63)6dddzd.【7】、解：由11limlimln(1)lim ln(1)10nnnnnn unnn，知级数1nnu发散【3】又111|ln(1)ln(1)|1nnuunn,1lim|lim ln(1)0nnnun.故所给级数收敛且条件收敛【7】、

6、解：121211()0zfyfyffxyy，【3】2111122212222211()()zxxfy fxfffxfx yyyyy111222231.xfxyfffyy【7】、解：的方程为222zaxy，在xOy面上的投影区域为2222(,)|xyDx yxyah又222221xyzzaaxy，.【】名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 5 页 -高数第 4 页 共 2 页故2222222200 xyahDdSadxdydadzaxya2222012ln()2ln2ahaaaah.【7】三、【9 分】解：设(,)M x y z为该椭圆上的任一点，则点M到原点的距离为22

7、2dxyz【1】令22222(,)()(1)L x y zxyzzxyxyz，则由22220220201xyzLxxLyyLzzxyxyz，解得132xy，23zm于是得到两个可能极值点1213131313(,23),(,23).2222MM【7】又由题意知，距离的最大值和最小值一定存在，所以距离的最大值与最小值分别在这两点处取得故max2min1|95 3,|95 3.dOMdOM【9】四、【10 分】解：记L与直线段OA所围成的闭区域为D，则由格林公式，得22(sin)(cos)8xxDLOAIeym dxeymx dymdma?【5】而10(sin)(cos)axxOAIeym dxey

8、mx dymdxma【8】221(sin)(cos).8xxLeym dxeymx dyIImama【10】五、【10 分】解：1131limlim31 33nnnnnnanRan，收敛区间为(3,3)【2】又当3x时，级数成为11nn，发散；当3x时，级数成为11nnn，收敛 【4】故该幂级数的收敛域为3,3【5】令13nnnxs xn（33x），则名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 5 页 -高数第 5 页 共 2 页11111111()()33331/33nnnnnxxs xxx,(|3x)【8】于是000()()ln 3ln3ln 33xxxdxs xs x

9、dxxxx，（33x）.【10】六、【10 分】解：取1为220(1)zxy的下侧，记与1所围成的空间闭区域为，则由高斯公式，有133222222316Ix dydzy dzdxzdxdyxyz dv.【5】2211200062ddzdz.【7】而221133221122313133xyIx dydzy dzdxzdxdyzdxdydxdy.【9】2123.III.【10】七、【6 分】解：2224000sincostF tddrfrr dr.【2】3224400002sincossinttdr drdfrr dr4220228ttr frdr.【4】故32223200022()22222limlimlim().333ttttt f tF tf tatt【6】名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 5 页 -