矩阵的初等变换讲稿.ppt

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1、关于矩阵的初等变换第一页，讲稿共四十三页哦)1(,97963,42264,42,224321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx13422 第二页，讲稿共四十三页哦)(1B)1()(2B2 132 ,97963,232,22,424321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx13422 132 33 14 ,3433,6355,0222,424324324324321xxxxxxxxxxxxx1342第三页，讲稿共四十三页哦)(3B)(4B ,3,62,0,42444324321xxxxxxxxx13425 221 33 422 ,00,3,0,42443

2、24321xxxxxxxx134232 443用“回代”的方法求出解：第四页，讲稿共四十三页哦于是解得 33443231xxxxx.3为任意取值为任意取值其中其中x方方程程组组的的解解可可记记作作或或令令,3cx ,3344321 cccxxxxx.为为任任意意常常数数其其中中c 30340111cx即即 (2)第五页，讲稿共四十三页哦1 (1)；(3)ji)(A若若),(B)(B则则);(Ajik)(A若若),(Bji)(A若若),(Bik)(B则则);(Aik)(B则则).(Ak ji第六页，讲稿共四十三页哦 97963422644121121112)(bAB第七页，讲稿共四十三页哦1(1

3、),iji jrr对对调调两两行行(对对调调两两行行 记记作作)；(2)0(,);ikikrk 以以数数乘乘以以某某一一行行的的所所有有元元素素 第第 行行乘乘记记作作 (3).ijkjkirkr 把把某某一一行行所所有有元元素素的的 倍倍加加到到另另一一行行对对应应的的元元素素上上去去(第第 行行的的 倍倍加加到到第第 行行上上记记作作)第八页，讲稿共四十三页哦 jirr kri;jirr;)1(krkrii 或或jikrr .)(jijikrrrkr 或或 ABABAB如如果果矩矩阵阵 经经有有限限次次初初等等变变换换变变成成矩矩阵阵，就就称称矩矩阵阵 与与 等等价价,记记作作(1)AA反

4、反身身性性；(2),;ABBA对对称称性性 若若则则第九页，讲稿共四十三页哦(3),.AB BCAC传传递递性性 若若则则(1)：97963422644121121112B197963211322111241211B 21rr 23 r第十页，讲稿共四十三页哦331000620000111041211B 979632113221112412111B13322rrrr 143rr 234330635500222041211B 13322rrrr 143rr 23252rrr 243rr 310006200001110412113B43rr 342rr 4 00000310000111041211

5、B 43rr 342rr 第十一页，讲稿共四十三页哦5B 对对应应的的方方程程组组为为 33443231xxxxx方方程程组组的的解解可可记记作作或或令令,3cx 3344321cccxxxxx 30340111c.为为任任意意常常数数其其中中c5 00000310003011040101B 21rr 32rr 第十二页，讲稿共四十三页哦.54都称为行阶梯形矩阵都称为行阶梯形矩阵和和矩阵矩阵BB5 00000310003011040101B 第十三页，讲稿共四十三页哦 500031000121 000000033000010420100131:.第十四页，讲稿共四十三页哦5 1.B行行阶阶梯梯

6、形形矩矩阵阵还还称称为为行行最最简简形形矩矩阵阵,即即非非零零行行的的第第一一个个非非零零元元为为,且且这这些些非非零零元元所所在在的的列列的的其其它它元元素素都都为为零零m n ,.A 对对于于任任何何矩矩阵阵总总可可经经过过有有限限次次初初等等行行变变换换把把它它变变为为行行阶阶梯梯形形和和行行最最简简形形：第十五页，讲稿共四十三页哦 000003100030110401015 B214ccc 3215334cccc ，F 00000001000001000001 0000030100310104100143 cc 00000301003001040001.FB矩矩阵阵称称为为矩矩阵阵 的

7、的标标准准形形 .F特特点点:的的左左上上角角是是一一个个单单位位矩矩阵阵,其其余余元元素素全全为为零零第十六页，讲稿共四十三页哦标标准准形形总总可可经经过过初初等等变变换换化化为为矩矩阵阵 Anm nmrOOOEF ,.m n rr此此标标准准形形由由三三个个数数唯唯一一确确定定,其其中中 就就是是行行阶阶梯梯形形矩矩阵阵中中非非零零行行的的行行数数 B,、：第十七页，讲稿共四十三页哦 000006200001110412111B 000003100030110401012B 000000010000010000013B 特点：阶梯线以下的元素全是0，台阶数即为非零行数,竖线后面的第一个元素

8、为非零元.特点：非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在的列的其他元素都为0.特点：左上角为一个单位矩阵,其他位置上的元素全都为 0.第十八页，讲稿共四十三页哦 第十九页，讲稿共四十三页哦 1.2.03.kk 对对调调两两行行或或两两列列；以以数数乘乘某某行行或或某某列列；以以数数乘乘某某行行(列列)加加到到另另一一行行(列列)上上去去第二十页，讲稿共四十三页哦,()ijEi jrr对对调调中中第第两两行行，即即，得得初初等等矩矩阵阵 1101111011),(jiE行行第第 i行行第第 j1.第二十一页，讲稿共四十三页哦，得得左左乘乘阶阶初初等等矩矩阵阵用用nmijmaAjiEm )(),

9、(mnmminiijnjjnmaaaaaaaaaaaaAjiE21212111211),(行行第第 i行行第第 j).(jirrjiAA行对调行对调行与第行与第的第的第把把：施行第一种初等行变换施行第一种初等行变换相当于对矩阵相当于对矩阵第二十二页，讲稿共四十三页哦，右右乘乘矩矩阵阵阶阶初初等等矩矩阵阵以以类类似似地地，AjiEnn),(mnmimjmnijnijnaaaaaaaaaaaajiAE12222111111),().(jiccjiAA列对调列对调列与第列与第的第的第把把：施行第一种初等列变换施行第一种初等列变换相当于对矩阵相当于对矩阵第二十三页，讲稿共四十三页哦20 k .以以数数

10、乘乘某某行行或或某某列列).()(0 kiEkriki矩矩阵阵，得得初初等等行行乘乘单单位位矩矩阵阵的的第第以以数数 1111)(kkiEi第第 行行第二十四页，讲稿共四十三页哦；行行的的第第乘乘相相当当于于以以数数)(kriAki mnmminiinmaaakakakaaaaAkiE212111211)(i第第 行行，左左乘乘矩矩阵阵以以AkiEm)()().niEi kAkAick 类类似似地地,以以右右乘乘矩矩阵阵,其其结结果果相相当当于于以以数数 乘乘 的的第第 列列第二十五页，讲稿共四十三页哦30()()k .以以数数乘乘某某行行 列列 加加到到另另一一行行 列列 上上去去 ()()

11、ijjikEjirkrkEijckc 以以 乘乘 的的第第 行行加加到到第第 行行上上或或以以乘乘 的的第第 列列加加到到第第 列列上上，1111)(kkijE行行第第 i行行第第 j第二十六页，讲稿共四十三页哦，左左乘乘矩矩阵阵以以AkijEm)(mnmmjnjjjninjijinmaaaaaaaakaakaaaaaAkijE2121221111211)().(jikrrikjA 行行上上加加到到第第行行乘乘的的第第把把第二十七页，讲稿共四十三页哦 ()().njiEij kAAikjckc 类类似似地地,以以右右乘乘矩矩阵阵,其其结结果果相相当当于于把把 的的第第 列列乘乘 加加到到第第

12、列列上上1111112122221()ijinijinnmmimjmimnaaakaaaaakaaAE ij kaaakaa 第二十八页，讲稿共四十三页哦 nm 初等变换初等矩阵初等逆变换初等逆矩阵第二十九页，讲稿共四十三页哦1 (,)(,)ijrrE i jE i j 变变换换的的逆逆变变换换是是其其本本身身,则则；111 ()();iirkrkE i kE ik 变变换换的的逆逆变变换换为为，则则1()()().ijijrkrrk rE ij kE ijk 变变换换的的逆逆变变换换为为,则则 性质2 设A为可逆方阵,则存在有限个初等方阵.,2121llPPPAPPP 使使 .rAAE推推论

13、论 方方阵阵 可可逆逆的的充充要要条条件件是是第三十页，讲稿共四十三页哦 1:,.mnABmPnQPAQB 定定理理矩矩阵阵的的充充分分必必要要条条件件是是 存存在在阶阶可可逆逆方方阵阵 及及 阶阶可可逆逆方方阵阵使使A B，rB,P,PA=B.PA=BPA=BPE=PP(A,E)=(B,P)(A,E)(B,P)，r(A,E)AB,EP.第三十一页，讲稿共四十三页哦B=E,P=A-1，(A,E)(E,A-1)r第三十二页，讲稿共四十三页哦例 264211112AF,P,PA=F.AF,P,P(A,E)=(F,P).211 1 0 0,)112 0 1 04620 0 1A E （第三十三页，讲

14、稿共四十三页哦21 rr 232rr 122rr 11-20100-331-2 00-44-20 1 101011000F 21rr 234rr 32-rr1 0-1-3310 1-13-2-10 00 10-8-3 A，3313211083P .P.第三十四页，讲稿共四十三页哦.,343122321 1 AA求求设设 103620012520001321 100343010122001321EA122rr 133rr 11110001252001120121rr 23rr 第三十五页，讲稿共四十三页哦 11110001252001120121rr 23rr 11110056302023100

15、1312rr 325rr .111253232311 A 11110025323010231001）（22 r）（13 r第三十六页，讲稿共四十三页哦.1BA 矩矩阵阵的的方方法法，还还可可用用于于求求利利用用初初等等行行变变换换求求逆逆阵阵E)()(11BAEBAA )(BABA1 即第三十七页，讲稿共四十三页哦.341352,343122321 ,BABAXX，其其中中使使求求矩矩阵阵.1BAXA 可可逆逆，则则若若 343431312252321)(BA 1226209152052321122rr 133rr 第三十八页，讲稿共四十三页哦 1226209152052321 3110091

16、52041201 311006402023001122rr 133rr 21rr 23rr 312rr 325rr ，311003201023001）（22 r）（13 r32 23.13X 第三十九页，讲稿共四十三页哦.1 CAY即即可可得得作初等行变换，作初等行变换，也可改为对也可改为对),(TTCA,1作作初初等等列列变变换换，则则可可对对矩矩阵阵如如果果要要求求 CACAY,CA 1 CAE列变换),)(,(),1TTTTCAECA（列变换1()CTTTYA 即即可可得得1()C,TTA .Y即可求得即可求得第四十页，讲稿共四十三页哦1.(1)();ijijrr cc(2)();iirk ck(3)().ijijrkr ckc 3.(1);反反身身性性(2);对对称称性性(3).传传递递性性2.AB.BA第四十一页，讲稿共四十三页哦.(1)();AA EE 构构造造矩矩阵阵或或11 (2),(,).A EAEAEAEAEEA 对对()()施施行行初初等等行行变变换换 将将 化化为为单单位位矩矩阵阵后后 右右边边 对对应应部部分分即即为为或或对对施施行行初初等等列列变变换换将将 划划为为单单位位阵阵 后后对对应应部部分分即即为为第四十二页，讲稿共四十三页哦感谢大家观看第四十三页，讲稿共四十三页哦