2022年难点空间向量的应用 .pdf

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1、专题空间向量的应用本试卷分为第I 卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.满分 90 分.考试时间60 分钟.第 I 卷（选择题共 40 分）一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.(空间向量的平行与坐标运算，改编)已知(2,4,5)a，(3,)bx y，若/ab，则xy（）A9B.92C.3D.32【解析】A 由/ab得：3245xy，解得156,2xy，故153622xy.2.（空间向量的垂直与坐标运算，改编）已知(1,1,0)a，(1,0,3)b，且ka b与2ab垂直，则k的值为（）A215B12C214D21

2、2【解析】C(1,3)kabkk，2(3,1,6)ab，由题意得(1)313(6)0kk，解得214k.3.（空间向量的数量积运算及其应用，改编）若直线l的方向向量为l，直线m的方向向量为m，已知lbc（,R），ma，ab，ac，则直线m与直线l（）A共线B相交C垂直D.不共面【解析】C 由ma可得()mta tR，故()m lmbcm bm c0ta bta c，故m与l垂直，即直线m与直线l垂直.4.（空间向量数量积的坐标运算，改编）已知 向量(1,2,3)a，(2,2 2,6)b，|2 3c，若()6abc，则a与c的夹角为（）A30B60C120D150【解 析】C(1,2,3)aba

3、，故()6abcac，得6a c，而2222|1(2)323a，所以1cos,2|a ca cac，,120a c.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 9 页 -5.（空间向量数量积的坐标运算与函数的最值，改编）已知(1,2,1)a，(2,1,1)b，则|atb的最小值是（）A2 3B3 22C6D3 2【解析】B(21,2,1)abtt t，故222222|(21)(2)(1)6666()6atbttttttt21996()222t，故|atb的最小值为3 22.6.（空间向量求线线角，2011 届金华十二校一联）如图，已知三棱柱111ABCABC的各条棱长都相等，

4、且1CC底面ABC，M是侧棱1CC的中点，则异面直线1AB和BM所成的角的大小是（）A2B4C6D3解析：A 由题意可知该三棱柱为正三棱柱，设其棱长为2，设B Aa，1BBb，BCc，则|2abc，且,3a c，,2a bb c，所 以22cos23a c，0a bb c.而1ABba，12BMcb，所以，21111()()0222ABBMbacbb cba ca b，故12ABBM，即1ABBM.7(空间向量求解点到面的距离，江西省南昌市2011 届高三第一次模拟理科)在棱长为a的正方体ABCD A1B1C1D1中，M 为 AB 的中点，则点C 到平面 A1DM 的距离为（）A63aB66a

5、MD1C1B1A1DCBA名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 9 页 -A C1A1B1E C B D C22aD12a解析：A 如图建立直角坐标系，则1(,0,0)A a，(0,0,)Da，(,)2aM aa，(0,)Ca a.1(0,)2aA Ma，1(,0,)ADaa，(0,0)DCa，设平面1AMD的法向量为(,)nx y z，则由1100n A Mn A D，得020ayazax az，即20yzxz，令1x，则2y，1z，所以(1,2,1)n为平面1AMD的一个法向量.所以点C到面1AMD的距离等于222|10(2)1 0|263|61(2)1DC naa

6、an.8.(空间向量求直线和平面所成的角，辽宁省丹东市四校协作体2011 年高三第二次联合考试文科)如图，在直三棱柱111ABCA B C中，1AB，2AC，3BC，D，E分别是1AC和1BB的中点，则直线DE与平面11BBC C所成的角为()A.6 B.4C.3 D.2解析：C 由1AB，2AC，3BC可得222ABBCAC，故ABBC.又由直棱柱的性质可知1BB面ABC.如图建立空间直角坐标系，设棱1BB长为h，则(0,0,)2hE，(0,1,0)A，1(3,0,0)C，13(,)222hD，故13(,0)22DE.因为1BB面ABC，所以1BBAB，又因为ABBC，所以AB平面11BBC

7、C，故(0,1,0)BA是平面11BBC C的一个法向量.(O)zyxMD1C1B1A1DCBAzyxC1CA1AB1B名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 9 页 -设直线DE与平面11BBCC所成的角为，则222332sin|cos,|2|13()()0122BA DEBA DEBADE.所以3.第卷（非选择题共 50 分）二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分.把答案填在题中横线上。.9（空间向量的坐标运算，改编题）已知(2,1,1)a，(1,4,2)b，(11,5,)c，若向量a、b、c共面，则.【解析】1 向量a、b、c共面可得cxayb，故

8、有1122542xyxyxy，解得73xy，故761.10.（空间向量的数量积与坐标运算，改编题）已知2(0,3,10)ab，(1,2,2)c，4a c，|b|=12，,b c.【解析】3(2)01(3)(2)(1 0)(2abc，而(2)28abca cb cb c，故18b c，222|2213c，故181cos,12 32|b cb cbc，所以,3b c.11.（空间向量求点到平面的距离与几何体结构特征的综合，改编题）如图，BCD与MCD都是边长为2 的正三角形，平面MCD平面BCD，AB平面BCD，2 3AB，则求点A到平面MBC的距离等于.【解析】2 155取 CD 中点 O，连

9、OB，OM，则 OBCD，OMCD又平面MCD平面BCD,则 MO平面BCD.取 O 为原点，直线OC、BO、OM 为 x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系如图OB=OM=3，则各点坐标分别为C（1，0，0），M（0，0，3），B（0，MDCBA名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 9 页 -3，0），A（0，-3，2 3）.设(,)nx y z是平面MBC的法向量，则(1,3,0)BC,(0,3,3)BM.由nBC得30 xy；由nBM得330yz取(3,1,1)n(0,0,23)BA，则2 32 1555BA ndn12.（空 间 向 量 求 线 面 角，改

10、编 题）已 知 空 间 不 共 面 四 点,O A B C，0OA OBOA OCOB OC，且|O AO BO C，AMMB，则OM与平面ABC所成角的正切值是_.【解析】2由题意可知，,OA OB OC两两垂直，如图建立空间直角 坐 标 系，设1OAOBOC，则(1,0,0)A，(0,1,0)B，(0,0,1)C，1 1(,0)2 2M.故(1,1,0)AB，(1,0,1)AC，1 1(,0)2 2OM.设平面ABC的法向量为(,)nx y z，则由nABnAC，得00 xyxz，令1x，得平面ABC的一个法向量为(1,1,1)n.故16cos,3232n OM，所以OM与平面ABC所成角

11、的正弦值为63，其正切值为2.MCBAOzyxOMDCBAzyx名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 9 页 -二、解答题：本大题共3 小题，共 30 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.13（本小题满分10 分）(山东省济南市2011 年 2 月高三教学质量调研理科)三棱锥ABCP中，90BAC，22ABBCPCPBPA.（1）求证：面PBC面ABC（2）求二面角CAPB的余弦值【解析】本题主要考查空间面面垂直的证明以及空间向量的基本运算及应用其求解二面角.证明：（1）取BC中点O，连接,AO PO,由已知ABC为直角三角形，所以可得OAOBOC,又知PAPB

12、PC，则POAPOBPOC所以POAPOBPOC，2 分所以,POOB POOA OBOAO，所以PO平面.BCD PO面ABC，平面PBC平面ABC.4 分（2）解：过O作OD与BC垂直，交AC于D点，如图建立坐标系Oxyz则)0,21,23(A，)0,1,0(B，)0,1,0(C，)3,0,0(P，)3,1,0(),0,21,23(BPBA.设面PAB的法向量为1,nx y z，由110,0,nBAn BP可知11,3,1n.7 分同理可求得面PAC的法向量为23,3,1n9 分所以12121265cos,.65nnn nn n10 分14.（本小题满分10 分）(江西省新余市2011 年

13、高三第二次模拟理科)在四棱锥PABCD中，侧面PCD底面ABCD，PDCD，底面ABCD是直角梯形，/ABCD，ADC=90,1ABADPD，2CD.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 9 页 -EzyDPCBAx（1）求证：BC平面PBD；（2）设E为侧棱PC上一点，PEPC，试确定的值，使得二面角PBDE的大小为45.【解析】本题主要考查空间向量的基本运算及其应用，考查空间线面垂直的证明以及二面角的探索性问题.（1）平面 PCD底面 ABCD，PD CD，所以 PD平面 ABCD，所以 PD AD.如图，以 D 为原点建立空间直角坐标系Dxyz.则 A（1，0，0

14、），B（1，1，0），C（0，2，0），P（0，0，1）2 分).0,1,1(),0,1,1(BCDB所以,0DBBCDBBC又由 PD平面 ABCD，可得 PD BC，所以 BC平面 PBD.4 分（2）平面 PBD 的法向量为),0,1,1(BC)1,0(,),1,2,0(PCPEPC，所以)1,2,0(E，6分设平面 QBD 的法向量为n=（a，b，c），)1,2,0(),0,1,1(DEDB由 n0DB，n0DQ，得所以，0)1(20cbba)12,1,1(n，8 分由CBnCBn4cos，解得1210 分15.（本小题满分10 分）（山东省淄博市2011 年 3 月高三下学期模拟考试

15、理科）已知在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，且2AD，1AB，PA平面ABCD，E、F分别是线段AB、BC的中点（1）证明：PFFD；（2）判断并说明PA上是否存在点G，使得EG平面PFD；（3）若PB与平面ABCD所成的角为45，求二面角APDF的余弦值名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 9 页 -【解析】本题主要考查空间向量的基本运算以及应用空间向量证明线线垂直、空间线面平行关系的探索性问题以及二面角的求解.（1）PA平面ABCD，90BAD，1AB，2AD，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则0,0,0,1,0,0,(1,1,0),(0,2,0)AB

16、FD 1 分不妨令(0,0,)Pt(1,1,)PFt，(1,1,0)DF1 1 1(1)()00PF DFt，即PFFD3 分（2）设平面PFD的法向量为,nx y z，由00n PFn DF，得00 xytzxy，令1z，解得：2txy,12 2ttn5 分设G点坐标为(0,0,)m，1,0,02E，则1(,0,)2EGm，要使EG平面PFD，只需0EGn，即1()0102224tttmm，得14mt，6 分从而满足14AGAP的点G即为所求7 分（3）ABPAD平面，AB是平面PAD的法向量，易得1,0,0AB，8 分又PA平面ABCD，PBA是PB与平面ABCD所成的角，得45PBA，1PA，平面PFD的法向量为1 1,12 2n 9 分名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 9 页 -162cos,611144AB nAB nABn，故所求二面角APDF的余弦值为6610 分名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 9 页 -