2022年人教高一数学函数奇偶性和周期性讲义 .pdf

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1、第三节一、求函数解析式的方法：1、待定系数法：若已知函数)(xf解析式的类型，设出其一般形式，根据特殊值，确定相关系数即可。例 1、若已知函数)(xf为一次函数，且34)(xxff，则)(xf的解析式为2、解方程法：利用已给定的关系式，构造出一个新的关系式，通过解关于)(xf的方程组求出)(xf。例 2、已知函数)(xf满足方程xxfxf)1(2)(，则)(xf的解析式是。3、配凑法：对)(xgf的解析式进行配凑变形，使它能用)(xg来表示，再用 x 来替代两边名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 7 页 -所有的)(xg即可。4、换元法：设)(xgt，解出,x 带入)

2、(xgf，求出)(tf，注意换元后新元的范围。例 3、已知xxxf2)1(，则)(xf的解析式。例 4、已知221)1(xxxxf，求)(xf的解析式。5、赋值法：给变量赋予某些特殊值，从而求出其解析式。例 5、已知1)0(f，对任意的实数yx,都有)12()()(yxyxfyxf，求)(xf的解析式。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 7 页 -二、函数的奇偶性：（一）图象关于 y 轴对称 的函数即是 偶函数，图象关于原点对称 的函数即是 奇函数1偶函数（一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有 f(x)=f(x)，那么f(x)就叫做 偶函数2奇函数一般

3、地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有 f(x)=f(x)，那么f(x)就叫做 奇函数注意：（1）函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是相对于函数的整个定义域而言的，是函数的整体性质；（2）函数的奇偶性考察的是f(x)和 f(-x)的关系，所以 f(x)和 f(-x)都应该有意义，即x 和-x 都应该在函数的定义域内，所以定义域在数轴上必须关于原点对称，否则，这个函数一定不具有奇偶性，即函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则 x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。（3）函数的奇偶性必须具有任意性，即对于任意一个x，都有 f(-

4、x)=f(x)或者 f(-x)=-f(x)。（二）具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称（三）奇偶函数的 性质：1、奇函数关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数关于原点对称的区间名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 7 页 -上的单调性相反。2、任何一个关于原点对称的函数f(x)均可写成一个奇函数)(xg和一个偶函数)(xh和 的 形 式，即)()()(xhxgxf，其 中2)()()(xfxfxg，2)()()(xfxfxh。3、运算性质：根据性质可以判定，奇偶偶；奇奇偶；奇偶奇；偶奇奇4、奇函数和偶函数的特有性质：若奇函数

5、在 x=0 处有定义，则必有0)(xf；若函数)(xf为偶函数，则有)()()()(xfxfxfxf奇偶性题型：判断函数奇偶性一般方法：首先确定函数的定义域，看它是否关于原点对称，若不是关于原点对称，则必不是奇偶函数；对于解析式较复杂的函数，有时需将函数化简之后再判定其奇偶性，但一定要考虑其定义域；对于分段函数，必须是分段判断它的奇偶性，只有在每一段都满足奇偶函数定义时，才能下结论。例 6、判断下列函数的奇偶性：（1）)1lg()(2xxxxf（2）xxxxf11)1()(名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 7 页 -（3）)0(12)0(12)(22xxxxxxxf

6、（4）)0(),1()0(),1()(xxxxxxxf（5）334)(2xxxf二、函数的图像画法：1、对称：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 7 页 -（1）将函数)(xf关于 x 轴对称，则其函数解析式变为-)(xf；将函数)(xf关于 y轴对称，即此函数解析式为)-(xf，因为此时有)()-(xfxf；若将函数)(xf关于原点对称，则函数变为-)-(xf；（2）若将函数)(xf保留 x 轴上方的部分，再将x 轴下方的图像翻折到x 轴上方，即变为)(xf；若将函数)(xf图象 y 轴右边的部分保留，并将 y 轴右侧的部分对称的翻折到y轴左侧，则函数解析式为)(x

7、f，即此函数为偶函数。（3）函数的平移：函数)(xf向右平移 a 个单位长度，则其解析式变为)a-(xf；函数)(xf向上平移 b 分单位，则其解析式变为)(xf+b。即函数平移的规律为：左加右减，（针对于 x 而言，无论其系数是什么）；上加下减，针对于 y。例 6、对于任意实数21xx、，min21xx、表示二者中较小的那个数，对于xxgxxf)(,-2)(2，则 min)(),(xgxf的最大值为。三、函数的周期性：1、定义：如何存在一个非零常数T，使得函数)(xf定义域的任意x，都有名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 7 页 -)()(Txfxf,则称)(xf为

8、周期函数，T 为这个函数的周期。若所有的周期中存在一个最小正数，则这个最小正数为函数的周期。2、由函数周期性的定义知:(1)若函数)(xf满足)()(xfaxf，则函数)(xf为周期函数，且其周期为 2a；(2)若函数0)-()(aaxfaxf，恒成立，则函数)(xf为一周期函数，且其周期为 2a；(3)若函数)(xf满足)(1)(xfaxf，则函数)(xf定为一周期函数，且其周期为a2；求一般函数的周期性常用递推法和换元法。例 7、已知定义在 R上的函数)(xf满足)1()1(,0)()(xfxfxfxf且，若)2015(5)1(ff，则。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 7 页 -