2022年高一数学球的体积和表面积 .pdf

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1、课题：球的体积和表面积教学目标：1.熟记球的体积公式和表面积公式；2.会用球的体积公式343VR和表面积公式24SR解决有关问题教学重点：球的体积公式和表面积公式及其应用教学难点：球的体积公式和表面积公式及其应用教学过程：一、创设情景，引入新课：提出问题：球既没有底面，也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，那么怎样来求球的表面积与体积呢？引导学生进行思考。设疑引课：球的大小是与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？激发学生推导球的体积和面积公式。二、探究新知：1探究球的体积公式回顾祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截面的面积都相

2、等,那么这两个几何体的体积一定相等。构造新的几何体,结合祖暅原理推导球的体积公式(见 P32 页)2.探究球的表面积公式：设球O的半径为R，我们把球面任意分割为一些“小球面片”，它们的面积分别用12,iSSS表示，则球的表面积:S12iSSS以这些“小球面片”为底，球心为顶点的“小锥体”的体积和等于球的体积，这些“小锥体”可近似地看成棱锥，“小锥体”的底面积iS可近似地等于“小棱锥”的底面积，球的半径R近似地等于小棱锥的高ih，因此，第i个小棱锥的体积13iiiVhS，当“小锥体”的底面非常小时，“小锥体”的底面几乎是“平的”，于是球的体积:11221(3)iiVhShShS，又ihR，且S1

3、2iSSS可得13VR S，球的体积公式：343VR名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 3 页 -RACCAOABCDDCBAOABCDDCBAOACCAO又343VR，13R S343R，24SR即为球的表面积公式三、例题示范,巩固新知：例1已 知 过 球 面 上,A B C三 点 的 截 面 和 球 心 的 距 离 为 球 半 径 的 一 半，且2A BB CC A，求球的表面积解：设截面圆心为O，连结O A，设球半径为R，则232 32323O A，在Rt O OA中，222OAO AO O，2222 31()34RR，43R，26449SR例 2半球内有一个内

4、接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体棱长为6，求球的表面积和体积解：作轴截面如图所示，6CC，262 3AC，设球半径为R，则222ROCCC22(6)(3)93R，2436SR球，34363VR球例 3表面积为324的球，其内接正四棱柱的高是14，求这个正四棱柱的表面积解：设球半径为R，正四棱柱底面边长为a，则作轴截面如图，14AA，2ACa，又24324R，9R，228 2ACACCC，8a，64 232 14576S表CBAOO名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 3 页 -例 4.如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径.求证：(1)球的体积等于圆柱

5、体积的23；(2)球的表面积等于圆柱的侧面积。四、练习反馈,理解加深：补充练习：1三个球的半径之比为1:2:3，那么最大的球的体积是其余两个球的体积和的倍；2.若球的大圆面积扩大为原来的4倍，则球的体积比原来增加倍；3.把半径分别为3，4，5 的三个铁球，熔成一个大球，则大球半径是；4.正方体全面积是24，它的外接球的体积是，内切球的体积是答案：1.3 2.7 3.6 4.4 3，435球O1、O2、分别与正方体的各面、各条棱相切，正方体的各顶点都在球O3的表面上，求三个球的表面积之比分析：球的表面积之比事实上就是半径之比的平方，故只需找到球半径之间的关系即可解：设正方体棱长为a，则三个球的半径依次为2a、a22，a23三个球的表面积之比是3:2:1:321SSS五、小结归纳：球的表面积公式的推导及应用；球的内接正方体、长方体及外切正方体的有关计算“分割求近似和化为准确和”的方法，是一种重要的数学思想方法极限思想，它是今后要学习的微积分部分“定积分”内容的一个应用；球的体积公式和表面积公式要熟练掌握六、作业布置：证明:(1)设球的半径为R,则圆柱的底面半径为R,高为 2R.因为34,3VR球2322.VRRR圆柱所以,2.3VV球圆柱(2)因为24SR球,2224SRRR圆柱侧,所以,SS球圆柱侧.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 3 页 -