2022年电大作业工程数学考核作业 .docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 第 3 章 线性方程组第 4 章 矩阵的特点值及二次型一、单项挑选题x 1 2 x 2 4 x 3 1 x 11 用消元法得 x 2 x 3 0 的解 x 2 为（ C）x 3 2 x 3A 1 0 2 B 7 2 2 C 11 2 2 D 11 2 2x 1 2 x 2 3 x 3 22 线性方程组 x 1 x 3 6（B）3 x 2 3 x 3 4 A 有无穷多解 B 有唯独解 C 无解 D 只有零解注：经初等行变换,有 r A r A B 3 , 线性方程组有唯独解 . 1 0 0 1 33 向量组 0,1,0,2,0 得秩为（ A）1

2、0 1 1 4A 3 B 2 C 4 D 5 4 设向量组为11,20,31,41,就（ B）是极100101110101大无关组；注A 1,2 B 1,2,3 C 1,2,4 D 1：1 / 13 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 101110111011101110010,03103,40010011101110111011100100101001000000000极大无关组为：12,或1,. 5 A 与A 分别代表一个线性方程组的系数矩阵和增广矩阵,如这个 方程组有解,就（ A）A 秩（A）秩（A B秩（A秩

3、 A1C 秩A秩AD 秩A秩A6 如某个线性方程组相应的齐次方程组只有零解,就该线性方程组（A） A 可能无解 B 有唯独解 C 有无穷多解 D 无解 注：如线性方程组相应的齐次方程组只有零解只能说明：系数矩阵的秩等于未知量的个数,至于系数矩阵的秩与增广矩阵的秩是否相等不得而知；例x 1x 2x 31与x 1x 2x 311111x 1x 22x 1x 23x 3x 37 以下结论正确选项（ D） A 方程个数小于未知量个数的线性方程组肯定有解 B 方程个数等于未知量个数的线性方程组肯定有唯独解 C 方程个数大于未知量个数的线性方程组肯定有无穷多解2 / 13 名师归纳总结 - - - - -

4、 - -第 2 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - D 齐次线性方程组肯定有解（至少有零解,所以正确）8 如向量组1,2,s线性相关,就向量组内（A）可被该向量组内其余向量线性表出； A 至少有一个向量 B 没有一个向量C 至多有一个向量 D 任何一个向量P 160 定理 3.6 9 设 A,B 为 n 阶矩阵,既是 A 又是 B 的特点值, x既是 A 又是 B的属于 的特点向量,就结论（ A）成立； A 2是 AB 的特点值 B 是 A B 的特点值C 是 A B 的特点值 D x 是 A B 的属于 的特点向量注：由已知得, AX X , BX X ,2从而

5、 ABX A BX A X AX X 选 A A B X AX BX 2 X B 和 D 不正确10 设 A,B,P 为 n 阶矩阵,如等式（ C）成立,就称 A 和 B 相像；A ABBA B ABABC PAP1B D PAPBP 230定义 4.2 二、填空题1 当1 时,齐次线性方程组x 1x 20有非零解 . x 1x 20注：110线性相关 . 12 向量组10 0, , 0,21,1,13 / 13 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 注：p 157第五行：包含零向量的向量组肯定是线性相关的. 3 向量

6、组 2,1 3,1 2 0,1 ,0 0,0 ,0 0 得秩是 3. 4 设齐次线性方程组 1 x 1 2 x 2 3 x 3 0 的系数行列式 1 2 3 0,就这个方程组有非零解,且系数列向量 1 , 2 , 3 是线性相关的 . 5 向量组 1 0,1 , 2 1,0 , 3 0 , 0 的极大线性无关组是 1, 2 . 6 向量组 1 , 2 , s 的秩与矩阵 1 , 2 , s 的秩相等 . 注：P 169 定理 3.9 7 设线性方程组 AX 0 中有 5 个未知量,且秩 A=3, 就其基础解系中线性无关的解向量有 2 个. 8 设线性方程组 AX b 有解,X 是它的一个特解,

7、且 AX 0 的基础解系为 X 1, X 2,就 AX b 的通解为：X 0 K 1 X 1 K 2 X 2（K 1,K 2 为任意常数） . 9 如是 A 的特点值,就是方程IA0的根. P 220（3）注：10 如矩阵A 满意A 为方阵且 A A注：P 240定义 4.5 三、解答题I ,就称A为正交矩阵 . 1 用消元法解线性方程组x13x22x3x4603x 18x2x35 x42x 1x24x 3x412x 14x2x33x 42解：将增广矩阵通过初等行变换化为阶梯阵：4 / 13 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - -

8、- - - 1321613216381500178182141120581014132013481321613216013480134805810002321400178180010122610111330101113300134801348000339900232140550010122600161310017555510002010210100155001010016130001355000131,x43,为唯独解 . 于是知x 12,x 21,x311x12 设有线性方程组11y,为何值时,方程组有唯11z2一解？或有无穷多解？解：方法一：当1110时,有rA rA3,方程组有唯独1解1

9、于1是有,5 / 13 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 112111111111121211r1201301121111121122112101于是当1且2 时,方程有唯独解；A rA1,知有无穷当1时,有11 1 11111A11 1 10000,有11 1 10000多解. 当22时,有2122231111124A12121212由r11242111112411240336033603390003A 2 ,rA,3rA rA,方程组无解 . 于是,当11时,方程组有无穷多解 . 111112方法二：11111

10、12111121101120110112130026 / 13 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1120 1 1 120 0 2 1 1 1于是当 2时,r A ,2 r A ,3 r A r A ,方程组无解 . 当 1时,方程组有无穷多解 . 当 1且 2时,方程有唯独解；3 判定向量 能否由向量组 1 , 2 , 3 线性表出,如能,写出一种表出方式.其中：82357373,17,25,36710310321解：如能由向量组1,2,3线性表示,有,x 11x22x332x 13x25x38写作线性方程组即为

11、：7x 15x26x 331x 10x23x37233x 12x21 x31035810于是有A7563756310372358321103211010371037100527520062177017250316017250062177028310022810022817 / 13 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 10371000017250011770100620010rA0r0056400,0131不能由12,3线性表出 . A ,所以4 运算以下向量组的秩,并且判定该向量组是否线性相关？1 3 1 11 7

12、 3 91 2,2 8,3 0,4 63 9 3 34 13 3 6解：由矩阵（以 1 , 2 , 3 , 4 为列）进行初等行变换,有1 3 1 1 1 3 1 1 1 3 1 11 7 3 9 0 4 4 10 0 2 2 52 8 0 6 0 2 2 4 0 1 1 23 9 3 3 0 0 0 0 0 0 0 04 13 3 6 0 1 1 2 0 0 0 01 3 1 1 1 3 1 00 0 0 9 0 1 1 00 1 1 2 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0知向量组 1 , 2 , 3 , 4 的秩为 3,由于 r 1 , 2 , 3

13、, 4 34,所以向量组线性相关 . x 1 3 x 2 x 3 2 x 4 05 求齐次线性方程组 5 x 1 x 2 2 x 3 3 x 4 0的一个基础解系 . x 1 11 x 2 2 x 3 5 x 4 03 x 1 5 x 2 4 x 4 08 / 13 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解：将系数矩阵进行初等行变换,有1312即1031211x3125123014370143711125014370003350401431000005 1401131001430013 140x 3,得50001000

14、1000000005x 1x305 x 3143 x 3140,令x 1于是有1414 33x 2x30x2x41414 x 4010化简,令Y53140,就 Y 为齐次线性方程组的一个基础解系 . x15x22x33x4116 求线性方程组3x1x2x4x3x2x45的全部解 . 5x 1x 192441713x 26x 3x4解：将增广矩阵进行初等行变换,有152311152311314250142728190417014272853611028414569 / 13 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1523

15、1110911720111201211727200000000000000000000令x3,1x 40,得相应的解向量,X121911077令x3,0x 41,得相应的解向量,X110122令x3,0x 40,得相应的特解,X0200于是线性方程组的全部解为：X 0 K X 1 1 K X （其中 2 2 K 1, K 2 为任意常数） . 7 试证：任一 4 维向量 a 1 , a 2 a 3 , a 4 都可由向量组1 1 1 10 1 1 11,2,3,4 0 0 1 10 0 0 1线性表出,且表出方式唯独,写出这种表出方式 . 证：由已知 可由 1 , 2 , 3 , 4 线性表示

16、,有x 1 1 x 2 2 x 3 3 x 4 4写作线性方程组,有x1x2x33x 4a10x 1x2x3x4a20x 10x2x 3x4a30x 10x20xx4a410 / 13 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1111由于系数行列式A01111000110001所以由克拉默法就,线性方程组有唯独解又由于Aa 11111a 121030a04a 1a 201110100a2a2a 300110010a 3a 3a4所以00010001a4a 4.且表出方式唯独；a 21a 2a 3a 3a 448 试证：

17、线性方程组有解时,它有唯独解的充分必要条件是：相应的齐次线性方程组只有零解 . 证：此题前提条件为：线性方程组有解第一证明“” 即：“ 有唯独解 对应齐次线性方程组只有零解”由 P 193 线性方程组有解判定定理,有当 r A r A n,即满秩时,线性方程组有唯独解 . 这时当然有对应齐次方程组 r A n,即满秩,所以,对应齐次线性方程组只有零解 . 其次证明“” 即: “对应齐次线性方程组只有零解 有唯独解“第一,由线性方程组有解,有 r A r A；又对应齐次线性方程组只有零解,有 r A n,即满秩；于是有 r A r A n,有结论：线性方程组有唯独解 . 9 设 是可逆矩阵 A

18、的特点值,且 0 ,试证：1是矩阵 A 1 的特点值. 11 / 13 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 证；由已知条件有非零向量 X ,使得AXX即1 AXX上式两端左乘A ,得 - A11AX1 A X即1 A AX1 A X整理得A1X1X2x2x 3化为由定义可知,1 是矩阵A 的特点值,命题得证 . 10 用配方法将二次型fx 1,x2.x 32 x 1x222 x 32x 1x 22x 1x32标准型,并写出满秩的线性变换. 解：先将含x 的各项配成一个含1x的一次式的完全平方,即fx 1,x2,x

19、32 x 12 x 22x22 x 1x 22x 1x 32x 2x 332 x 12x 1x 22x 1x32 x 222 x 32x 2x 32 x 12x 1x2x 3x2x 32x2x 322 x 222 x 32x2x 3x 1x2x 32x22 2x 33x 1x 2x 32x23令y 1x 1x2x 3,y2,0y 3x 3,有fx 1,x2,x 32 y 12 y 3y 1x 1x2x3x 1y 1y2y 3由y2x2有x2y2y3x3x3y312 / 13 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - x 1y1y2y3即满秩的线性变换为：x2y2. x3y313 / 13 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 13 页