2022年初中数学分类讨论问题专题 .pdf

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1、-1-中考数学专题复习分类讨论问题一、教学目标使学生养成分类讨论思想，并掌握一定的分类技巧，以及常见题型的分类方法。形成一定的分类体系，对待问题能有更严谨、缜密的思维。二、教学重点对常见题型分类方法的掌握；能够灵活运用一般的分类技巧。三、教学难点对于分类的“界点”、“标准”把握不准确，容易出现重复解、漏解等现象。四、板书设计1：分式方程无解的分类讨论问题；2：“一元二次”方程系数的分类讨论问题；3：三角形、圆等几何图形相关量求解的分类讨论问题；4：分类问题在动点问题中的应用；4.1 常见平面问题中动点问题的分类讨论；4.2 组合图形（二次函数、一次函数、平面图形等组合）中动点问题的分类。1：分

2、式方程无解的分类讨论问题例题 1：（2011武汉）a349332无解，求xxaxx解：去分母，得：1.6,801a31-a21-31-a21-211-a)3(4)3(3aaaxxaxx或者或或由已知）（猜想：把“无解”改为“有增根”如何解？68aa或例题 2：（2011郴州）a2112无解，求xax2：“一元二次”方程系数的分类讨论问题例题 3：（2010上海）已知方程01)12(22xmxm有实数根，求 m 的取值范围。（1）当02m时，即 m=0 时，方程为一元一次方程x+1=0，有实数根 x=1名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 5 页 -2-A B C（2）当

3、02m时，方 程 为 一 元 二 次 方 程，根 据 有 实 数 根 的 条 件 得：41-m,0144)12(22即mmm，且02m综（1）（2）得，41m常见病症：（很多同学会从（2）直接开始而且会忽略02m的条件）总结：字母系数的取值范围是否要讨论，要看清题目的条件。一般设置问题的方式有两种（1）前置式，即“二次方程”；（2）后置式，即“两实数根”。这都是表明是二次方程，不需要讨论，但切不可忽视二次项系数不为零的要求，本题是根据二次项系数是否为零进行讨论的。例题 4：（2011 益阳）当m 是什么整数时，关于x 的一元二次方程0442xmx与0544422mmmxx的根都是整数。解：因为

4、是一元二次方程，所以二次项系数不为0，即02m，0m，1.m,01解得同理，.45m,02解得1m45且0m，又因为 m 为整数.11或取m（1）当 m=1 时，第一个方程的根为222x不是整数，所以m=1 舍去。（2）当 m=1 时，方程 1、2的根均为整数，所以m=1.练习：已知关于的一元二次方程01)1(2xxm有实数根，则的取值范围是：1m45001且mm3：三角形、圆等几何图形相关量求解的分类讨论问题例题:5：（2011青海）方程01892xx的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（）12 12 或 15 15 不能确定例题 6：（2011武汉）三角形一边长AB 为 13

5、cm，另一边 AC 为 15cm，BC 上的高为 12cm,求此三角形的面积。（54 或 84）例题 8：（2011 四校联考）一条绳子对折后成右图A、B,A.B 上一点 C，且有 BC=2AC,将其从 C 点剪断，得到的线段中最长的一段为40cm,请问这条绳子的长度为：60cm 或 120cm 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 5 页 -3-A B 1pC D 2p4p3p4：动点问题的分类分类讨论问题4.1：常见平面问题中动点问题的分类讨论；例题 9：（2011 永州）正方形 ABCD 的边长为 10cm，一动点 P从点 A 出发，以 2cm/秒的速度沿正方形的

6、边逆时针匀速运动。如图，回到A 点停止，求点 P运动 t 秒时，P，D 两点间的距离。解：点 P 从 A 点出发，分别走到B，C，D，A 所用时间是秒，秒，秒，秒，即 5 秒，10 秒，15秒，20 秒。（1）当0t5 时，点P 在线段AB上，|PD|=|P1D|=(cm)（2）当 5 t10 时，点 P 在 线段 BC 上，|PD|=|P2D|=（3）当 10t15 时，点 P在线段 CD 上，|PD|=|P3D|=30-2t（4）当 15t20 时，点 P在线段 DA 上，|PD|=|P4D|=2t-30 综上得：|PD|=总结：本题从运动的观点，考查了动点P与定点 D 之间的距离，应根据

7、P点的不同位置构造出不同的几何图形，将线段PD 放在直角三角形中求解或直接观察图形求解。4.2：组合图形（一次函数、二次函数与平面图形等组合）中动点问题的分类。例题 10：（2010福建）已知一次函数3333xy与 x 轴、y 轴的交点分别为 A、B，试在x 轴上找一点 P，使 PAB 为等腰三角形。分析：本题中 PAB 由于 P 点位置不确定而没有确定，而且等腰三角形中哪两条是腰也没有确定。PAB 是等腰三角形有几种可能？我们可以按腰的可能情况加以分类：（1）PA=PB；（2）PA=AB；（3）PB=AB。先可以求出B 点坐标()03 3，A 点坐标（9，0）。设 P 点坐标为)0(，x，利

8、用两点间距离公式可对三种分类情况分别列出方程，求出P 点坐标有四解，分别为)0369()0369()03()09(，、，、，、，。（不适合条件的解已舍去）总结：解答本题极易漏解。解答此类问题要分析清楚符合条件的图形的各种可能位置，紧扣条件，分类画出各种符合条件的图形。另外，由点的运动变化也会引起分类讨论。由于运动引起的符合条件的点有不同位置，从而需对不同位置分别求其结果，否则漏解。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 5 页 -4-M E A B CA OA Q A B C D N 例 11：(2010湖北)如图，正方形 ABCD 的边长是 2，BE=CE，MN=1，线

9、段 MN 的两端在 CD、AD上滑动当 DM=时，ABE与以 D、M、N为项点的三角形相似。分析与解答勾股定理可得 AE=5当 ABE 与以 D、M、N 为项点的三角形相似时，DM 可以与 BE 是对应边，也可以与AB是对应边，所以本题分两种情况：（1）当 DM 与 BE是对应边时，DMMNABAE，即15,155DMDM（2）当 DM与 AB是对应边时，DMMNABAE，即12 5,255DMDM故 DM 的长是52 555或例题 12：（2011 湘潭）如图，直线y=3x+3 交 x 轴于 A 点，交 y 轴于 B 点，过 A,B 两点的抛物线交 x 轴于另一点 C（3,0）.(1)求抛物

10、线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使三角形 ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q 点坐标；若不存在，请说明理由。说明从以上各例可以看出，分灯思想在几何中的较为广泛这类试题的解题思路是：对具有位置关系的几何图形，要有分类讨论的意识，在熟悉几何问题所需要的基础知识的前提下，正确应用分类思想方法，恰当地选择分类标准，是准确全面求解的根本保证解析：（1）抛物线解析式的求法：1，三点式；2，顶点式（h,k）；3，交点式。易得：32)3,0()3)(1(2xxyBxxay在抛物线上再结合点（2）依题意得10AB，抛物线的对称轴为x=1,设 Q(1，y)1)以 AQ 为底，则有 AB

11、=QB,及22)3(110y解得，y=0 或 y=6,又因为点（1,6）在直线 AB 上(舍去)，所以此时存在一点Q(1,0)2)以 BQ 为底，同理则有AB=AQ,解的 Q(1,6)Q(1,6)3)以 AB 为底，同理则有QA=QB,存在点 Q(1,1).综上，共存在四个点分别为：(1,0)、(1,1)、(1,6)、(1,6)名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 5 页 -5-【作业训练】1已知等腰 ABC的周长为 18，BC=8若 ABC A B C，则 A B C中一定有一定有条边等于（）A7 B2或 7 C5 D2或 7 2.（2010衡阳）若等腰三角形的两个角

12、度的比是1:2，则这个三角形的顶角为（）度。30 60 30 或 90 60 3A、B 两地相距 450千米，甲、乙两车分别从A、B 两地同时出发，相向而行已知甲车速度为 120千米/时，乙车速度为 80 千米/时，以过t小时两车相距 50千米，则t的值是（）A2 或 25 B2 或 10 C10 或 125 D2 或 125 4已知 O的半径为 2，点 P是O外一点，OP的长为 3，那么以 P这圆心，且与 O相切的圆的半径一定是（）A1 或 5 B1 C5 D不能确定5.（2011株洲市）两圆的圆心距 d=5,他们的半径分别是一元二次方程0452xx的两根，判断这两圆的位置关系：.6已知点是半径为2 的外一点，PA 是O的切线，切点为 A，且 PA=2，在O内作了长为2 2的弦 AB，连续 PB，则 PB的长为7.（2010 四校联考）在等腰三角形ABC 中，AB=AC,一边上的中线 BD 将这个三角形的周长分为 15 和 12两部分，则这个三角形的底边长为：.8:变换例题 12，请问是否在 x 轴，y 轴上存在点 P,使得 P,B,C 三点组成的图形为等腰三角形，请说明理由。【参考答案】1D 2.C 3.A 4A 5外切6.2或2 57.7 或 11 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 5 页 -