2022年全国初中数学联赛金牌教练讲座：等腰三角形的性质 .pdf

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1、第1页（共 8页）兰州第十中学数学组2013 年最新八年级数学竞赛讲座第十一讲等腰三角形的性质若按边(角)是否相等分类，两边(角)相等的三角形是等腰三角形等腰三角形是一类特殊三角形，它的两底角相等；等腰三角形是轴对称图形，底边上的高、中线、顶角的平分线互相重合(简称三线合一)，特别地，等边三角形的各边相等，各角都为60解与等腰三角形相关的问题，全等三角形依然是重要的工具，但更多的是思考运用等腰三角形的特殊性质，这些性质为角度的计算、线段相等的证明、直线位置关系的证明等问题提供了新的理论依据，因此，重视全等三角形的运用，又不囿于全等三角形，善于运用等腰三角形的性质探求新的解题途径例题求解【例 1

2、】如图 AOB是一钢架，且AOB=10，为使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管 EF、FG、GH 添加的钢管长度都与OE相等，则最多能添加这样的钢管根(山东省聊城市中考题)思路点拨通过角度的计算，确定添加钢管数的最大值注角是几何中最活跃的元素，与角相关的知识异常丰富，在三角形中，角又有独特的等量关系，如三角形内角和定理、内外角关系定理等腰三角形两底角相等，利用这些定理可以找到角与角之间的“和”、“差”、“倍”、“分”关系随着知识的丰富，我们分析问题、解决问题的方法和工具随之增加，因此，在使用什么方法解决问题时，需要综合与选择【例 2】如图，若AB=AC，BG BH，AK=KG，则 BAC的度

3、数为（)A 30 D32 C 36 D40(武汉市选拔赛试题)思路点拨图中有很多相关的角，用BAC的代数式表示这些角，建立关于BAC的方程名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 8 页 -第2页（共 8页）【例 3】如图，在 ABC中，已知 A=90，AB=AC，D 为 AC上一点，AEBD于 E，延长AE交 BC于 F，问：当点D满足什么条件时，ADB CDF，请说明理由 (安徽省竞赛题改编题)思路点拨本例是探索条件的问题，可先假定结论成立，逐步逆推过去，找到相应的条件，若ADB CDF，这一结论如何用?因 ADB与 CDF对应的三角形不全等，故需构造全等三角形，而作顶

4、角的平分线或底边上的高(中线)是等腰三角形中一条常用辅助线【例 4】如图，在 ABC中，AC BC，ACB=90，D是 AC上一点，AE BD交 BD的延长线于E，且 AE=21BD 求证：BD是 ABC的角平分线(北京市竞赛题)思路点拨 AE 边上的高与 ABC的平分线重合，联想到等腰三角形，通过作辅助线构造全等三角形、等腰三角形注若巳知图形中不存在证题所需的全等三角形，我们需要添加辅助战，构造全等三角形，使欲证的线段或角转移位置，最终使问题得以解决名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 8 页 -第3页（共 8页）结论探索型、条件探索型、存在性判断是探索型问题的基本形

5、式，相应的解题策略是：(1)通过对符合条件的特例或简单情形的分析、观察、猜想结果，再给出证明；(2)假设结论成立，逆推追寻相应的条件；(3)假设在题设条件下的某一数学对象存在，进行推理，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定的结论【例 5】如图，在 ABC中，已知 C60，ACBC，又 ABC、BCA、CAB 都是 ABC形外的等边三角形，而点D在 AC上，且 BCDC (1)证明：CBD BDC；(2)证明：AC D DBA；(3)对 ABC、ABC、BCA、CAB，从面积大小关系上，你能得出什么结论?(江苏省竞赛题)思路点拨 (1)是基础，(2)是(1)的自然推论，(3)由角的不等，导

6、出边的不等关系，这是探索面积不等关系的关键学力训练1如图，ABC中，已知 AD AC，要使 AD=AE，需要添加的一个条件是 (济南市中考题)2等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm 和 21cm 两部分，则这个等腰三角形底边的长为3 ABC中，AB AC，A=40，BP=CE，BD=CP，则 DPF=度4如图，ABC中，ADBC于 D，BE AC于 E，AD与 BE相交于点 F，若 BFAC，则ABC的大小是 (烟台市中考题)5 ABC的一个内角的大小是40，且 A=B，那么 C的外角的大小是()A140 B 80或 100 C 100或 140 D 80或 140名师资料总结

7、-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 8 页 -第4页（共 8页）6已知 ABC中，AB AC，BAC=90，直角 EPF的顶点 P 是 BC中点，两边PE、PF分别交 AB、AC于点 F、F，给出以下四个结论：AE=CF；EPF是等腰直角三角形，SAEPF四边形=21 SABC；EF=AP 当EPF在 ABC内绕顶点P旋转时(点 E不与 A、B重合)，上述结论中始终正确的是()A 1 个 B2 个 C3 个 D 4 个 (苏州市中考题)7如图，在ABC中，ACB=90，AC AE，BC BF，则 ECF()A60 B45 C30 D不确定8如图，在等边ABC中，BD CE，AD与

8、 BE相交于点 P，则 APE的度数是()A45 D55 C60 D 75 (菏泽市中考题)9在 ABC中，已知AB AC，且过 ABC某一顶点的直线可将ABC分成两个等腰三角形，试求厶ABC各内角的度数 (广州市中考题)10如图，已知A、D两点分别是正三角形DEF、正三角形ABC的中心，连结GH、AD，延长 AD交 BC于 M，延长 DA交 EF于 N，G是 FD与 AB的交点，H是 ED与 AC的交点 (1)请写出三个不同类型的、必须经过至少两步推理才能得到的正确结论（不要求写出证明过程）；(2)问 FE、GH、BC有何位置关系?试证明你的结论(江西省中考题)名师资料总结-精品资料欢迎下载

9、-名师精心整理-第 4 页，共 8 页 -第5页（共 8页）11如图，在RtABC中，已知 ACB=90，AC=BC，D为 DC的中点，CE AD于 E，BFAC交 CE的延长线于点 F求证：AB垂直平分DF(河南省中考题)12如图，O为等边三角形ABC内一点，BD DA，BE AB，DBE DBC，则 BED的度数是(河南省竞赛题)13如图，AA、BB 分别是 EAO、DBC的平分线，若 AA=BB AB，则 BAC的度数为 (全国初中数学联赛题)14周长为100，边长为整数的等腰三角形共有种 (“华杯赛”试题)15已知等腰三角形的两边a、b 满足2)1332(532baba=0，则此等腰三

10、角形的周长为16如图，在ABC中，BAC=120，AD BC于 D，且 AB+BD DC，则 C的大小是()A 20 B25 C30 D 4517如图，在等腰直角ABC中，AD为斜边上的高，以D为端点任作两条互相垂直的射线与两腰相交于E、F，连结 EF与 AD相交于 G，则 AED与 AGF的关系为()名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 8 页 -第6页（共 8页）A AED AGF B AED AGF C AED AGF D 不能确定（“学习报）公开赛试题）18如图，直线1l、2l、3l 表示三条相交的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选

11、择的地址有()A一处 B两处 C 三处 D四处(安徽省中考题)19 ABC的三边为a、b、c，且满足25.1225.3222bacba，则 ABC是()A直角三角形 B等腰三角形 C 等边三角形 D以上答案都不对 (河南省竞赛题)20如图，在ABC中，AB=AC，P底边 BC上一点，PDAB于 D，PE AC于 E，CFAB于 F (1)求证：PD+PE=CF；(2)若 P点在 BC的延长线上，那么PD、PE、CF存在什么关系?写出你的猜想并证明21如图，在等腰直角ABC中，BAC 90，AD=AE，AFBE交 BC于点 F，过 F 作 FG CD交 BE延长线于 G，求证：BG=AF+FG

12、(重庆市竞赛题)22如图，在 ABC中，AB AC，BAC 80，O为 ABC内一点，且 OBC=10，OCA=20，求 BAO的度数 (天津市竞赛题)名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 8 页 -第7页（共 8页）23如图，等边ABC中，AB=2，点 P是 AB边上的任意一点(点 P可以与点A重合，但不与点B重合)，过点 P作 PE BC于 E，过点 E作 EFAC于 F，过点 F作 FQ AB于 Q，设 BP=x，AQ y(1)用 x 的代数式表示y；(2)当 PB的长等于多少时，点P与点 Q重合?(福州市中考题)24如图，ABC是边长为l 的等边三角形，BDC是顶角 BDC 120的等腰三角形，以D为顶点作一个 60角，角的两边分别交AB于 M，交 AC于 N，连结 MN，形成一个三角形，求证：AMN 的周长等于2名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 8 页 -第8页（共 8页）名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 8 页 -