2022年递推最小二乘辨识 .pdf

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1、实验 4 递推最小二乘法的实现实验报告哈尔滨工业大学航天学院控制科学与工程系专业：自动化班级：1040101 姓名：日期：2013年 10 月 23 日名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 10 页 -1 1实验题目：递推最小二乘法的实现2实验目的：熟悉并掌握递推最小二乘法的算法原理。3实验主要原理给定系统12()(1)(2)()ny ka y ka y ka y kn01()(1)()()nb u kbu kb u knk（1）其中12,na aa，012,nb b bb 为待辨识的未知参数，()k是不相关随机序列。y为系统的输出，u 为系统的输入。分别测出nN 个输

2、出、nN 输入值(1),(2),(3),(),(1),(2),()yyyy nNuuu nN，则可写出 N 个方程，具体写成矩阵形式，有10(1)()(1)(1)(1)(1)(2)(1)(2)(2)(2)(2)()(1)()()()()nnay ny nyu nunay ny nyu nunby nNy nNy Nu nNu NnNb（2）设10(1)(1)(2)(2),()()nnay nnay nnyby nNnNb，()(1)(1)(1)(1)(2)(2)(2)(1)()()()y nyu nuy nyu nuy nNy Nu nNu N则式（2）可写为y（3）式中：y 为 N 维输出向

3、量；为 N维噪声向量；为21n维参数向量；为(21)Nn测量矩阵。为了尽量减小噪声对估值的影响，应取21Nn，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 10 页 -2 即方程数目大于未知数数目。的最小二乘估计为1()TTy（4）为了实现实时控制，必须采用递推算法，这种辨识方法主要用于在线辨识。设已获得的观测数据长度为N，将式（3）中的y、和分别用,NNNY来代替，即NNNY（5）用N表示的最小二乘估计，则1TTNNNNNY（6）令1TNNNP，则TNNNNPY（7）如果再获得一组新的观测值(1)u nN和(1)y nN，则又增加一个方程111TNNNy（8）式中11(1),

4、(1)NNyy nNnN1()(1)(1)(1)TNy nNy Nu nNu N将式（5）和式（8）合并，并写成分块矩阵形式，可得T111NNNNNYy（9）于是，类似地可得到新的参数估值1TT1TTT1111NNNNNNNNNYyT1T11111NNNNNTNNNNNYPyPYy（10）式中名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 10 页 -3 1T1TT111T11NNNNNTNNNNP11T11NNNP（11）应用矩阵求逆引理，从求得1NP与NP 的递推关系式出发，经过一系列的推导，最终可求得递推最小二乘法辨识公式：T1111NNNNNNKy（12）1T11111N

5、NNNNNKPP（13）1TT111111NNNNNNNNNPPPPP（14）为了进行递推计算，需要给出NP 和N的初值0P 和0。推荐 取 值 方 法 为：假 定2000,Pc I，c 是 充 分 大 的 常 数，I为(21)(21)nn单位矩阵，则经过若干次递推之后能得到较好的参数估计。4实验对象或参数给定系统12012()(1)(2)()(1)(2)()y ka y ka y kb u kbu kb u kk（15）即2n。假设实际系统的参数为12a，21.3a，00.4b，10.88b，22.2b，但是不已知，即不可测。取()0.1,0.1k的零均值白噪声。输入信号取为()1.5sin

6、 0.2u kk（16）要求编制 MATLAB 程序，运用递推最小二乘法对这一系统的参数进行在线辨识，并将辨识结果与实际参数进行对比。5程序框图名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 10 页 -4 6程序代码名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 10 页 -function shiyan4 Y(1)=0;Y(2)=0;n=2;theta=2;1.3;0.4;0.88;2.2;c=1000;U(1)=1.5*sin(0.2*1);U(2)=1.5*sin(0.2*2);U(3)=1.5*sin(0.2*3);Pn0=c*c*eye(5);Tn0=z

7、eros(5,1);num=30;data=zeros(num,5);%生成白噪声M=2147483647;a=65539;b=10000;X=;R=;X(1)=35;nn=12*(num+5);for j=1:1:nn x0=(a*X(j)+b);X(j+1)=mod(x0,M);R(j)=X(j+1)/M;endv=;for jj=0:1:num+4 jj1=jj*12+1;jj2=jj*12+11;x2=R(jj1);for ii=jj1:1:jj2 x2=x2+R(ii+1);endv(jj+1)=x2-6;V(jj+1)=v(jj+1)/30;end%递推函数while(num=0)

8、HL(1)=-Y(n);HL(2)=-Y(n-1);HL(3)=U(n+1);HL(4)=U(n);HL(5)=U(n-1);Y(n+1)=HL*theta+V(n+1);K=Pn0*HL*(inv(1+HL*Pn0*HL);Pn=Pn0-K*HL*Pn0;Tn=Tn0+K*(Y(n+1)-HL*Tn0);data(n-1,:)=Tn;Pn0=Pn;Tn0=Tn;n=n+1;KK=Tn(2)-16 Tn(1)-4;U(n+1)=KK*Y(n);Y(n-1)+Tn(3)Tn(4)Tn(5)*1.5*sin(0.2*(n+1);1.5*sin(0.2*n);1.5*sin(0.2*(n-1);nu

9、m=num-1;enddata%画图a1=data(:,1);a2=data(:,2);b0=data(:,3);b1=data(:,4);b2=data(:,5);k=0:1:length(a1)-1;subplot(2,1,1);stairs(k,a1,r-);xlabel(time k);ylabel(a1);subplot(2,1,2);stairs(k,a2,r-);xlabel(time k);ylabel(a2);subplot(3,1,1);stairs(k,b0,r-);xlabel(time k);ylabel(b0);subplot(3,1,2);stairs(k,b1,

10、r-);xlabel(time k);ylabel(b1);subplot(3,1,3);stairs(k,b2,r-);xlabel(time k);ylabel(b2);名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 10 页 -1 7实验结果及分析本实验给定系统为12012()(1)(2)()(1)(2)()y ka y ka y kb u kbu kb u kk要求运用递推最小二乘法对所给系统参数进行在线识别，其主要目的是设计状态反馈控制律，因此首先采用状态空间分析法对系统进行分析。闭环系统原理图如下图所示。根据系统辨识模型，对于该二阶系统，不妨设状态量1()xy k，2

11、1(1)xxy k，所以该系统状态空间表达式为：12(1)0(2)1xy kXAXBVxy kYCX其中：2101Aaa，01B，10C，012(2)(1)()u kVbbbu ku k。暂不考虑干扰信号，设状态反馈控制律为：()U kKXV名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 10 页 -2 1 212Kkk为反馈增益系数矩阵，1 1V为系统参考输入，则状态反馈闭环系统的状态空间表达式为()XABK XBVYCX闭环系统传递函数：121221()()1()()kWsC sIABKBsaksak设期望闭环极点1,222 3sj，解得1216ka，214ka。通过最小二乘

12、法辨识出1?a、2?a、0?b、1?b、2?b，即可以得到实际控制律：12012?()164(2)(1)()TU kaaXbbbu ku ku k在实验给定的系统辨识模型以及参数下，按照实验要求的正弦信号参考输入与白噪以及理论计算获得的控制律基础上进行MATLAB 仿真，具体得到以下结果分析。输出 data：下面为循环次数为25，c 为 1000 时的参数收敛情况：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 10 页 -3 由上图可知，在第14 步时，参数基本稳定。当 c 取不同值的时候，探索对系统辨识的影响。如下表：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，

13、共 10 页 -4 C 收敛步数0 0 1 2 0.01 20 2.0 1.30 0.40 0.880 2.20 0.1 18 2.0 1.30 0.40 0.880 2.20 1 16 2.0 1.30 0.40 0.880 2.20 10 14 2.0 1.30 0.40 0.880 2.20 100 14 2.0 1.30 0.40 0.880 2.20 1000 14 2.0 1.30 0.40 0.880 2.20 10000 14 2.0 1.30 0.40 0.880 2.20 100000 14 2.0 1.30 0.40 0.880 2.20 从表中可以看出，无论 c 取多大

14、的值，最终都能得到系统参数真实值，参数收敛的快慢不同，c 较小时所需步数较多，c 较大时所需步数较少。当 c 达到一定程度之后，收敛递推步数逐渐稳定，但是不可能小于N=2n+1=5 步。方程个数N只需要满足 N=2n+1 的条件即可以获得方程的解；同样的，在递推最小二乘法中，递推步数同样要大于 2n+1 才能获得较为准确的结果。8结论本实验中，递推最小二乘法的在线算法需要设计状态反馈控制规律。经过状态反馈后，无论 c 取值多少，都能在一定的步数后得到真实的辨识参数。c 值越大，收敛越迅速。但是收敛步数不可能小于N=2n+1=5 步。相对最小二乘法，递推最小二乘法可以实现实时控制，所需要的数据量较少。经过这次实验，不仅最小二乘法的递推过程更加熟悉，而且认识了状态反馈控制规律在辨识中的重大作用。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 10 页 -