2022年圆与相似三角形、三角函数专题 .pdf

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1、圆与相似三角形、解直角三角形及二次函数的综合类型一：圆与相似三角形的综合1如图，BC 是 A 的直径，DBE 的各个顶点均在A 上，BFDE 于点 F.求证：BD BEBC BF.2如图，在RtABC 中，ACB 90，以 AC 为直径的 O 与 AB 边交于点D，过点 D作 O 的切线，交BC 于点 E.(1)求证：点E 是边 BC 的中点；(2)求证：BC2BD BA；(3)当以点 O，D，E，C 为顶点的四边形是正方形时，求证：ABC 是等腰直角三角形解：(1)连结 OD，DE 为切线，EDCODC90.ACB 90，ECD OCD90.又 ODOC，ODC OCD，EDC ECD，ED

2、EC.AC 为直径，ADC 90，BDE EDC 90，B ECD90，B BDE，EDEB，EBEC，即点 E 为边 BC 的中点(2)AC 为直径，ADC ACB 90.又 B B，ABC CBD，ABBCBCBD，BC2BD?BA(3)当四边形ODEC 为正方形时，OCD 45.AC 为直径，ADC 90，CAD90 OCD 90 45 45，RtABC 为等腰直角三角形名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 3 页 -2-类型二：圆与解直角三角形的综合3如图，在ABC 中，以 AC 为直径作 O 交 BC 于点 D，交 AB 于点 G，且 D 是 BC 的中点，D

3、EAB，垂足为点E，交 AC 的延长线于点F.(1)求证：直线EF 是 O 的切线；(2)已知 CF5，cosA25，求 BE 的长解：(1)连结 OD.CDDB，COOA，OD 是ABC 的中位线，ODAB，AB2OD.DEAB，DEOD，即 ODEF，直线 EF 是 O 的切线(2)OD AB，COD A，cosCODcosA25.在 RtDOF 中，ODF 90，cosFODODOF25.设 O 的半径为 r，则 rr 525，解得 r103，AB 2ODAC203.在 RtAEF 中，AEF 90，cosA AEAF AE520325，AE143，BEAB AE 2031432 4(2

4、015 资阳)如图，在 ABC 中，BC 是以 AB 为直径的 O 的切线，且 O 与 AC 相交于点 D，E 为 BC 的中点，连结DE.(1)求证：DE 是 O 的切线；(2)连结 AE，若 C45，求 sinCAE 的值解：(1)连结 OD，BD，ODOB，ODB OBD.AB是直径，ADB 90，CDB 90.E 为 BC 的中点，DEBE，EDB EBD，ODB EDB OBD EBD，即 EDO EBO.BC 是以 AB 为直径的 O 的切线，AB BC，EBO90，ODE90，DE是 O 的切线(2)过点 E 作 EFCD 于点 F，设 EFx，C45，CEF，ABC 都是等腰直

5、角三角形，CFEFx，BECE2x，ABBC22x.在RtABE 中，AEAB2 BE2 10 x，sinCAE EFAE1010 5如图，ABC 内接于 O，直径 BD 交 AC 于点 E，过点 O 作 FGAB，交 AC 于点 F，交 AB 于点 H，交 O 于点 G.(1)求证：OF DEOE 2OH；(2)若 O 的半径为 12，且 OEOFOD236，求阴影部分的面积(结果保留根号)解：(1)BD 是直径，DAB 90.FGAB，DA FO，FOE ADE，FOAD OEDE，即OF?DEOE?AD.O是 BD 的中点，DA OH，AD 2OH，OF?DEOE?2OH(2)O 的半径

6、为12，且 OEOF OD236，OE4，ED8，OF6，OH6.在 RtOBH 中，OB2OH，OBH30，BOH 60，BH BO?sin60 123263，S 阴影 S 扇形 GOBSOHB 60 1223601266324 183 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 3 页 -3-类型三：圆与二次函数的综合6如图，在平面直角坐标系中，已知A(4，0)，B(1，0)，且以 AB 为直径的圆交y 轴的正半轴于点C(0，2)，过点 C 作圆的切线交x 轴于点 D.(1)求过 A，B，C 三点的抛物线的解析式；(2)求点 D 的坐标；(3)设平行于x 轴的直线交抛物线

7、于E，F 两点，问：是否存在以线段EF 为直径的圆，恰好与 x 轴相切？若存在，求出该圆的半径，若不存在，请说明理由解：(1)y 12x232x2(2)以 AB 为直径的圆的圆心坐标为O(32，0)，OC52，OO32.CD 为圆 O的切线，OCCD，OCO DCO90.又 COO OCO90，COO DCO，OCO CDO，OOOCOCOD，3222OD，OD83，点D 的坐标为(83，0)(3)存在 抛物线的对称轴为直线x 32，设满足条件的圆的半径为|r|，则点 E 的坐标为(32 r，r)或 F(32r，r)，而点 E 在抛物线y 12x232x2 上，r 12(32|r|)232(3

8、2|r|)2，r1 1292，r2 1292(舍去)故存在以线段EF 为直径的圆，恰好与x 轴相切，该圆的半径为1292 7如图，抛物线yax2bx3 与 x 轴交于 A，B 两点，与y 轴交于点C，经过 A，B，C三点的圆的圆心M(1，m)恰好在此抛物线的对称轴上，M 的半径为.设 M 与 y 轴交于点D，抛物线的顶点为E.(1)求 m 的值及抛物线的解析式；(2)设 DBC ，CBE ，求 sin()的值；(3)探究坐标轴上是否存在点P，使得以 P，A，C 为顶点的三角形与 BCE 相似？若存在，请指出点P 的位置，并直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)由题意，可知C(0

9、，3)，b2a1，抛物线的解析式为 y ax22ax3(a0)过点 M 作 MN y轴于点 N，连结 CM，则 MN 1，CM5，CN2，于是 m 1.同理，可求得B(3，0)，a322a3 30，解得 a1.抛物线的解析式为y x22x3(2)由(1)得，A(1，0)，E(1，4)，D(0，1)，BCE 为直角三角形，BC32，CE2，OBOD 313，BCCE3223，OBODBCCE，即 OBBC ODCE，RtBODRtBCE，得 CBE OBD，因此sin()sin(DBC OBD)sinOBCCOBC22(3)显然 RtCOA RtBCE，此时点O(0，0)过点 A 作 AP2AC 交 y 轴的正半轴于点P2，由 RtCAP2RtBCE，得 P2(0，13)过点 C 作 CP3AC 交 x 轴的正半轴于点P3，由 RtP3CARtBCE，得 P3(9，0)故在坐标轴上存在三个点P1(0，0)，P2(0，13)，P3(9，0)，使得以P，A，C 为顶点的三角形与BCE 相似名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 3 页 -