第6章 多元时间序列分析.pdf

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1、 第一节第一节 平稳多元序列建模平稳多元序列建模 前面介绍的时间序列分析方法都是通过分析序前面介绍的时间序列分析方法都是通过分析序 列本身的变化规律来研究的。这种分析方法称为一列本身的变化规律来研究的。这种分析方法称为一 元时间序列分析方法。元时间序列分析方法。 实际上，很多序列会受到其他序列的影响，例实际上，很多序列会受到其他序列的影响，例 如，消费序列会受到收入序列的影响，如果将收入如，消费序列会受到收入序列的影响，如果将收入 纳入研究范围来研究消费，就能更精确地预测消费。纳入研究范围来研究消费，就能更精确地预测消费。 这就需要研究多个序列之间的关系，这种分析方法这就需要研究多个序列之间的

2、关系，这种分析方法 就是多元时间序列分析。就是多元时间序列分析。 在早期的多元时间序列分析中，对时间序列的在早期的多元时间序列分析中，对时间序列的 要求是比较严格的，即要求输入序列和响应序列都要求是比较严格的，即要求输入序列和响应序列都 是平稳的。这一要求限制了多元时间序列分析的运是平稳的。这一要求限制了多元时间序列分析的运 用和发展，直到用和发展，直到 1987 年年 Engle 和和 Granger 提出了提出了 协整的概念。协整的概念。 在协整理论分析的框架下，并不要求响应序在协整理论分析的框架下，并不要求响应序 列和输入序列自身平稳，只要求它们回归的残差列和输入序列自身平稳，只要求它们

3、回归的残差 序列平稳，而残差序列的平稳性更容易实现。协序列平稳，而残差序列的平稳性更容易实现。协 整概念的提出极大地促进了多元时间序列分析的整概念的提出极大地促进了多元时间序列分析的 发展。发展。 下面我们首先来介绍一下稳多元时间序列的下面我们首先来介绍一下稳多元时间序列的 主要模型。主要模型。 多元平稳序列的建模主要是要解决残差序列多元平稳序列的建模主要是要解决残差序列 的自相关性问题。的自相关性问题。1976 年，年， Box 和和 Jenkins 采用采用 带输入变量的带输入变量的ARIMA 模型为平稳多元序列建模。模型为平稳多元序列建模。 该模型的构造思想是：该模型的构造思想是： 1

4、( ) ( ) i k l i titt i i B yB x B 设响应序列（因变量序列）为设响应序列（因变量序列）为 和输入序列和输入序列 （自变量序列）（自变量序列） 均为平稳序列，均为平稳序列， 首先构建响应序列和输入序列的回归模型：首先构建响应序列和输入序列的回归模型： t y 12 , ttkt xxx （一）动态回归模型（一）动态回归模型（ ARIMAX模型）模型） 式中，式中， 为第为第 i个输入变量的自回归系数多项个输入变量的自回归系数多项 式，式， 为第为第 i个输入变量的移动平均系数多项个输入变量的移动平均系数多项 式，式， 为第为第i个输入变量的延迟阶数，个输入变量的延

5、迟阶数， 为回归为回归 残差序列。残差序列。 ( ) i B ( ) i B i l t 由于响应序列和输入序列均为平稳序列，所由于响应序列和输入序列均为平稳序列，所 以残差序列以残差序列 也是平稳的。因此我们可以使用也是平稳的。因此我们可以使用 ARMA模型继续提取残差序列中的相关信息。模型继续提取残差序列中的相关信息。 t 最终构建如下模型：最终构建如下模型： 1 ( ) ( ) i k l i titt i i B yB x B ( ) ( ) tt B a B 上述模型称为上述模型称为动态回归模型动态回归模型，简记为，简记为ARIMAX。 式中，式中， 为残差序列自回归系数多项式，为残

6、差序列自回归系数多项式， 为残差序列移动平均系数多项式，为残差序列移动平均系数多项式， 为零均值白为零均值白 噪声序列。噪声序列。 ( )B ( )B t a 实际中较为常见的动态回归模型是如下的自实际中较为常见的动态回归模型是如下的自 回归分布滞后模型：回归分布滞后模型： 2 0 10 , (0,) mn tit iit itt ii yyxiid 例例6.1在天然气炉中，输入的是天然气，输出在天然气炉中，输入的是天然气，输出 的是的是 ， 的输出浓度与天然气的输入速率有的输出浓度与天然气的输入速率有 关。现在以中心化后的天然气输入速率为输入序关。现在以中心化后的天然气输入速率为输入序 列，

7、建立列，建立 的输出百分浓度模型。的输出百分浓度模型。 2 CO 2 CO 2 CO 输入序列时序图输入序列时序图 输出序列时序图输出序列时序图 （二）案例分析（二）案例分析 一元分析：一元分析： 输入序列可以拟合输入序列可以拟合 AR(3) 模型：模型： 23 0.1228 1 1.976071.374990.34336 t t a x BBB 输出序列可以拟合输出序列可以拟合 AR(1,2,4) 疏系数模型：疏系数模型： 24 53.90176 13.107031.340050.21274 t t a y BBB 多元分析：多元分析： 输入序列与输出序列的协相关图输入序列与输出序列的协相关

8、图 从协相关图可以看出，从协相关图可以看出， 与与 的相关系数显著非零，则回归模型可以表示为：的相关系数显著非零，则回归模型可以表示为： t y 34567 , ttttt xxxxx 3344556677ttttttt yxxxxx 由于延迟的阶数较多，为减少待估参数的个由于延迟的阶数较多，为减少待估参数的个 数，可以考虑拟合如下的数，可以考虑拟合如下的 ARMA(1,2) 模型：模型： 2 3012 1 1 ttt BB yB x B 2 3 0.56480.425730.29964 53.32256 10.60057 ttt BB yB x B 估计结果为：估计结果为： 拟合残差序列分析

9、拟合残差序列分析 残差序列的偏自相关图：残差序列的偏自相关图： 残差拟合模型：残差拟合模型： 2 1 1 1.530.64 tt a BB 二阶截尾二阶截尾 一元分析与多元分析拟合模型的比较一元分析与多元分析拟合模型的比较 模型结构模型结构 比较比较 一元一元 模型模型 AIC=196.3 SBC=211.1 多元多元 模型模型 AIC=8.3 SBC=34.0 24 53.9 13.11.30.2 t t a y BBB 2 3 2 0.540.380.52 53.26 10.55 1 1 1.530.64 ttt tt BB yB x B a BB 显然多元模型比一元模型拟合效果更好。显然

10、多元模型比一元模型拟合效果更好。 第二节第二节 虚假回归虚假回归 上一节我们介绍了平稳多元时间序列模型：上一节我们介绍了平稳多元时间序列模型： ARIMAX模型，当响应序列和输入序列均为平稳模型，当响应序列和输入序列均为平稳 序列时，我们可以放心地使用序列时，我们可以放心地使用ARIMAX模型来分模型来分 析变量间的因果关系。析变量间的因果关系。 如果序列不满足平稳性条件，使用如果序列不满足平稳性条件，使用ARIMAX 模型就要小心，因为这时容易产生虚假回归问题。模型就要小心，因为这时容易产生虚假回归问题。 一、假回归的概念一、假回归的概念 若若 与与 是非平稳序列，如下回归模型是非平稳序列，

11、如下回归模型 t x t y 01ttt yx 的残差序列是一个非平稳序列，则称上述回归是的残差序列是一个非平稳序列，则称上述回归是 一个一个虚假回归（或伪回归）。虚假回归（或伪回归）。虚假回归反映的是虚假回归反映的是 变量之间的一种虚假的因果关系。变量之间的一种虚假的因果关系。 二、虚假回归产生的后果二、虚假回归产生的后果 若若 与与 是非平稳序列，如下回归模型是非平稳序列，如下回归模型 t x t y 01ttt yx 1 1 t 并不服从并不服从 t 分布，此时估计量分布，此时估计量 的真实方差要远的真实方差要远 远大于远大于 t 分布时的方差。分布时的方差。 1 是一个虚假回归，则检验

12、回归系数是一个虚假回归，则检验回归系数 显著性的检显著性的检 验统计量：验统计量： 1 若仍采用若仍采用 t 分布进行检验就会大大低估估计分布进行检验就会大大低估估计 量量 的真实方差，从而高估的真实方差，从而高估 t 值，增大拒绝原假值，增大拒绝原假 设的概率（增大犯第一类错误的概率）。会导致设的概率（增大犯第一类错误的概率）。会导致 两个没有任何因果关系的序列变量通过了显著性两个没有任何因果关系的序列变量通过了显著性 检验。检验。 1 这样的一种回归有可能拟合优度、显著性水平这样的一种回归有可能拟合优度、显著性水平 等指标都很好，但残差有高度的自相关性，并且极等指标都很好，但残差有高度的自

13、相关性，并且极 不稳定。这种回归关系不能够真实反映因变量与解不稳定。这种回归关系不能够真实反映因变量与解 释变量之间存在的均衡关系，而仅仅是数字上的巧释变量之间存在的均衡关系，而仅仅是数字上的巧 合而已。合而已。 人们在实际研究中发现，当时间序列非平稳人们在实际研究中发现，当时间序列非平稳 时，经常会出现虚假回归现象。这是因为非平稳时时，经常会出现虚假回归现象。这是因为非平稳时 间序列通常都具有趋势性（包括确定性或随机性趋间序列通常都具有趋势性（包括确定性或随机性趋 势），当我们对非平稳序列进行回归时，回归模型势），当我们对非平稳序列进行回归时，回归模型 会错误地把非平稳时间序列之间的共同趋势

14、性作为会错误地把非平稳时间序列之间的共同趋势性作为 它们之间具有相关性的证据，从而误认为变量之间它们之间具有相关性的证据，从而误认为变量之间 具有因果关系。具有因果关系。 假设解释变量假设解释变量 X 与被解释变量与被解释变量 Y 满足如下满足如下 数据生成过程：数据生成过程： 其中，其中， 和和 在任何时刻相互独立。显然在任何时刻相互独立。显然X，Y 是两个是两个 I(1) 过程，且过程，且 11ttt YY （三）伪回归的直观解释（三）伪回归的直观解释 12ttt XX 1t 2t 01 1 , t ti i YY 所以，所以，Y 与与 X 之间不存在相关关系。之间不存在相关关系。 02

15、1 t ti i XX 如果建立如下回归模型：如果建立如下回归模型： 用用OLS估计，检验假设估计，检验假设 ，常常会拒绝，常常会拒绝 否则的话，因为通常回归模型假设残差序列否则的话，因为通常回归模型假设残差序列 是平是平 稳过程，若稳过程，若 ，则意味着，则意味着 是平稳的，与是平稳的，与 是是 单位根过程矛盾。但是，若拒绝零假设意味着单位根过程矛盾。但是，若拒绝零假设意味着 与与 相关，又与相关，又与 Y 与与 X 之间不存在相关关系的真实情况之间不存在相关关系的真实情况 矛盾。矛盾。 ttt YXu 0 :0H 0 H t u 0 t Y t Y t X 实际上，回归模型：实际上，回归模

16、型： ttt YXu 的残差序列的残差序列 ttt uYX 12 11 tt tii ii u 若假定初值若假定初值 ，则，则 00 0YX 显然，残差序列高度自相关且方差趋于无穷大。显然，残差序列高度自相关且方差趋于无穷大。 此时任何的此时任何的 t 检验、检验、F 检验和检验和 R2 值都是不可信的。值都是不可信的。 四、虚假回归的模拟分析四、虚假回归的模拟分析 （1） 利用计算机生成两个相互独立的正态利用计算机生成两个相互独立的正态 白噪声序列白噪声序列 （平稳序列），时序图如下：（平稳序列），时序图如下： . .(0,1) t ui i dN . .(0,1) t vi i dN ,

17、tt uv -3 -2 -1 0 1 2 3 255075100125150175200 U -3 -2 -1 0 1 2 3 255075100125150175200 V 下面我们通过计算机的模拟来看看虚假回归的下面我们通过计算机的模拟来看看虚假回归的 产生过程。产生过程。 将序列将序列 对序列对序列 进行回归：进行回归： t u t v 可以看到，回归系数没有通过显著性检验，可以看到，回归系数没有通过显著性检验， 这说明平稳序列之间的回归不会产生虚假回归问这说明平稳序列之间的回归不会产生虚假回归问 题。题。 01ttt uv 得到如下结果：得到如下结果： （2）利用利用 生成两个非平稳序

18、列生成两个非平稳序列 （随机游动），时序图如下（随机游动），时序图如下: 1 0.1 ttt yyu . .(0,1) t ui i dN 1 0.2 ttt xxv . .(0,1) t vi i dN , tt uv, tt yx -10 0 10 20 30 40 255075100125150175200 Y y=0.1+y(-1)+u -10 0 10 20 30 40 50 255075100125150175200 X x=0.2+x(-1)+v 从时序图可以看出，序列从时序图可以看出，序列 有着相有着相 似的趋势。似的趋势。 , tt yx 计算序列计算序列 和和 的相关系数，

19、却发现的相关系数，却发现 t y 0.976997 xy r ，显示序列，显示序列 和和 有很强的相有很强的相 关性。关性。 t x t x t y 理论上，由于理论上，由于 不相关，不相关， 和和 , tt uv t x t y 应该是不相关的序列，但是应该是不相关的序列，但是 将序列将序列 对序列对序列 进行回归：进行回归： t y t x 01ttt yx 得到如下结果：得到如下结果： 检验结果显示，检验结果显示，R2=0.9545，模型的拟合优度很大，模型的拟合优度很大， 回归系数通过了显著性检验，意味着序列回归系数通过了显著性检验，意味着序列 与序列与序列 存存 在显著性的线性关系。

20、此时在显著性的线性关系。此时 DW= 0.027686，说明残差存，说明残差存 在高度的自相关性。对残差序列的进一步检验发现：在高度的自相关性。对残差序列的进一步检验发现： t y t x -6 -4 -2 0 2 4 255075100125150175200 RESID 残差序列的时序图显示残差序列并没有围绕均残差序列的时序图显示残差序列并没有围绕均 值随机波动，且很少穿越均值线，说明残差序列是值随机波动，且很少穿越均值线，说明残差序列是 非平稳的非平稳的。 从残差序列的自相关函数图来看，自相关系数从残差序列的自相关函数图来看，自相关系数 以直线形式衰减，同样说明残差序列是以直线形式衰减，

21、同样说明残差序列是非平稳的非平稳的。 这说明，序列这说明，序列 和和 之间实际上是一种之间实际上是一种虚假相虚假相 关，关，回归模型是一个回归模型是一个虚假回归模型虚假回归模型。 t y t x 非平稳序列之间伪回归，使得回归模型毫无非平稳序列之间伪回归，使得回归模型毫无 意义。我们不能利用回归结果判定变量之间的因意义。我们不能利用回归结果判定变量之间的因 果关系，从而也得不到经济变量之间的正确的经果关系，从而也得不到经济变量之间的正确的经 济关系。所以，在非平稳序列分析中，我们一定济关系。所以，在非平稳序列分析中，我们一定 要避免产生虚假回归问题。要避免产生虚假回归问题。 四、几种重要的非平

22、稳过程四、几种重要的非平稳过程 0 ( ) d j tttjt j xtB a 由于非平稳序列之间的回归容易产生伪回归由于非平稳序列之间的回归容易产生伪回归 题，对于非平稳序列的建模我们就要特别小心。那题，对于非平稳序列的建模我们就要特别小心。那 么，实践中有那些常见的非平稳序列呢？其形式是么，实践中有那些常见的非平稳序列呢？其形式是 怎样的？根据怎样的？根据Cramer分解定理分解定理 只要序列只要序列 的确定性趋势与随机波动这两方面中的确定性趋势与随机波动这两方面中 有一方面是不稳定的，则序列就是非平稳的。有一方面是不稳定的，则序列就是非平稳的。 t x 所以，非平稳序列之间主要有如下几种

23、情况：所以，非平稳序列之间主要有如下几种情况： 0 d j tttjt j xt （1） + tt xC = ， tt C 是非平稳过程。是非平稳过程。 t x 其中，其中， 是平稳过程，这时是平稳过程，这时 有确定性趋势，有确定性趋势， 但随机波动是平稳的，此时序列但随机波动是平稳的，此时序列 是非平稳过是非平稳过 程，这种过程称为趋势平稳过程。程，这种过程称为趋势平稳过程。 t t x t x （2） 是非平稳过程，这时是非平稳过程，这时 没有没有 确定性趋势，但随机波动是非平稳的。此时确定性趋势，但随机波动是非平稳的。此时 （3） 01 + tttt xt 其中，其中， 是非平稳过程，这

24、时是非平稳过程，这时 既有确定性趋既有确定性趋 势，同时随机波动也是非平稳的，此时序列势，同时随机波动也是非平稳的，此时序列 所受到的两方面都是不稳定的，是非平稳过程。所受到的两方面都是不稳定的，是非平稳过程。 t t x t x 实际中最为常见得非平稳序列主要有如实际中最为常见得非平稳序列主要有如 下四种情形。下四种情形。 1. 随机游走过程随机游走过程 2 10 , 0, . .(0,) tttt xxxi i dN 定义：定义：称如下随机时间序列是随机游走过程：称如下随机时间序列是随机游走过程： 1,2,tT 之所以将此模型称为随机游走过程，是因为，如果我之所以将此模型称为随机游走过程，

25、是因为，如果我 们将们将 xt 理解为数轴上的一个质点在理解为数轴上的一个质点在 t 时刻所在的位置，则时刻所在的位置，则 质点在数轴上的移动过程是：质点在任意时刻的位置都是质点在数轴上的移动过程是：质点在任意时刻的位置都是 在前一时刻的位置上加一独立同分布的随机变量，类似如在前一时刻的位置上加一独立同分布的随机变量，类似如 在前一时刻的位置上再随机地游走一步。所以称此过程为在前一时刻的位置上再随机地游走一步。所以称此过程为 随机游走过程随机游走过程 由于随机游走过程是由于随机游走过程是AR(1)过程：过程： 1ttt xx 时的情形，而系数时的情形，而系数 恰好是恰好是AR(1)模型的特征模

26、型的特征 方程的根，所以随机游走过程含有单位根，也称为方程的根，所以随机游走过程含有单位根，也称为 单位根过程。单位根过程。 1 迭代计算可以得到：迭代计算可以得到： 1 t ti i x 可见，随机游走过程具有可见，随机游走过程具有长记忆特征长记忆特征，这也是随，这也是随 机游走过程非平稳的本质所在。机游走过程非平稳的本质所在。 随机游走过程有如下数字特征：随机游走过程有如下数字特征： ()0 t E x 2 () t Var xt 可见，可见， 是时间是时间 t 的函数，而且随时间的函数，而且随时间 t 发散到无穷大，这是随机游走过程长记忆性所导发散到无穷大，这是随机游走过程长记忆性所导

27、致的结果。致的结果。 () t Var x 11 cov(,)cov, TT k TT kii ii xx 2 ()Tk , (,) ()() TT k TT k xx TT k Cov xx Var xVar x 2 22 () () Tk TTk Tk T 1/k T , 1 2 TT k xx k T 由此可见，在小样本条件下，由此可见，在小样本条件下， 和和 之间之间 的相系数随着滞后期的相系数随着滞后期 k 的增加有所衰减。的增加有所衰减。 在大样在大样 本条件下，本条件下， 和和 之间的相关系数衰减较为缓之间的相关系数衰减较为缓 慢，近似地以慢，近似地以线性速度线性速度衰减，这也是

28、非平稳序列衰减，这也是非平稳序列 的本质特征。的本质特征。 T x T k x T x T k x 当样本容量当样本容量 T 充分大时，有充分大时，有 实际上，纯随机游走过程的所有状态都是实际上，纯随机游走过程的所有状态都是 零常返态，虽然序列能够返回其零常返态，虽然序列能够返回其0均值状态，但均值状态，但 是其平均返回时间却是无穷大。所以，随机游是其平均返回时间却是无穷大。所以，随机游 走过程虽然会围绕其均值波动，但却很少穿越走过程虽然会围绕其均值波动，但却很少穿越 其均值，并不具有其均值，并不具有均值回复特征均值回复特征，从而使得其，从而使得其 均值没有使用价值。均值没有使用价值。 对序列

29、对序列 进行一阶差分运算得：进行一阶差分运算得： tt x 可见，随机游走的差分序列是白噪声序列，随可见，随机游走的差分序列是白噪声序列，随 机游走过程可以通过差分的方法平稳化。因此，随机游走过程可以通过差分的方法平稳化。因此，随 机游走过程也称为机游走过程也称为差分平稳过程差分平稳过程。 t x 时序图显示，时间序列的移动轨迹表现出偏时序图显示，时间序列的移动轨迹表现出偏 离其均值的“长期摆动”，且很少穿越其均值离其均值的“长期摆动”，且很少穿越其均值0。 -8 -4 0 4 8 12 16 20 255075100125150175200 X x=x(-1)+u 10 , 0, . .(0

30、,1) tttt xxuxui i dN 下图是下图是EViews生成的随机游走时序图：生成的随机游走时序图： -15 -10 -5 0 5 10 15 255075100125150175200 X x=-x(-1)+u 由由xt = -xt-1+ ut, ut IID(0, 1)生成的序列生成的序列 负单位根情形负单位根情形 纯随机游走过程：纯随机游走过程： 与平稳过程：与平稳过程： 1ttt yy 的比较。的比较。 为正态白噪声。为正态白噪声。 t 1 0.8 ttt xx 随机游走过程随机游走过程 平稳的一阶自回归过程平稳的一阶自回归过程 方差方差 t u2 (无限的 无限的) u2/

31、(1-12) (有限的 有限的) 自相关系数自相关系数 1, k, T k =1k 穿越零均值点穿越零均值点 的期望时间的期望时间 无限的无限的 有限的有限的 记忆性记忆性 永久的永久的 暂时的暂时的 1 ( /) k k T 随机游走过程和平稳的一阶自回归过程统计特征比较随机游走过程和平稳的一阶自回归过程统计特征比较 2. 有漂移项的随机游走过程有漂移项的随机游走过程 2 10 , 0, . .(0,) tttt xxxi i dN 1,2,tT 其中，其中， 是漂移项（位移项）。是漂移项（位移项）。 称如下随机时间序列是带称如下随机时间序列是带有漂移项的随机游走有漂移项的随机游走 过程过程

32、： 带漂移项的随机游走与纯随机游走的主要区别在于，带漂移项的随机游走与纯随机游走的主要区别在于， 带漂移项的随机游走过程每次移动都有一个固定的跳动带漂移项的随机游走过程每次移动都有一个固定的跳动 ， 当当 0 时，会使过程有向上漂移的趋势。时，会使过程有向上漂移的趋势。 反复迭代可得反复迭代可得 1 t ti i xt 由此可见，由此可见， xt 由由 t 和和 组成。其中组成。其中 t 是是 确定性时间趋势项，确定性时间趋势项， 是随机游走过程。可以是随机游走过程。可以 把随机游走过程把随机游走过程 看作随机的截距项。每一个看作随机的截距项。每一个 冲击冲击 对截距项的影响是持久的，从而导致

33、序列对截距项的影响是持久的，从而导致序列 的条件均值发生变化。所以，这种过程也称的条件均值发生变化。所以，这种过程也称随机随机 趋势过程。趋势过程。 1 t i i 1 t i i 1 t i i i 随机游走过程随机游走过程 () t E xt 2 () t Var xt , 1/1 2 TT k xx k k T T 容易得到有漂移项的随机游走过程有如下数容易得到有漂移项的随机游走过程有如下数 字特征：字特征： 所以，带漂移项的随机游走过程有线性的随所以，带漂移项的随机游走过程有线性的随 机趋势，且序列的波动会随时间的推移逐步变大，机趋势，且序列的波动会随时间的推移逐步变大， 序列的延迟自

34、相关系数衰减的十分缓慢。序列的延迟自相关系数衰减的十分缓慢。 tt x 即差分后的序列是平稳序列，所以，带漂移项的即差分后的序列是平稳序列，所以，带漂移项的 随机游走过程含有单位根，也是差分平稳过程。随机游走过程含有单位根，也是差分平稳过程。 下图是由下图是由 EViews 生成的带漂移项的随机游走过生成的带漂移项的随机游走过 程时序图：程时序图： 对序列进行一次差分运算可得：对序列进行一次差分运算可得： -5 0 5 10 15 20 25 30 255075100125150175200 X x=0.1+x(-1)+u 10 0.1, 0, . .(0,1) tttt xxuxui i d

35、N 从时序图我们可以看出，时间序列的运动轨从时序图我们可以看出，时间序列的运动轨 迹同样表现出偏离其均值的“长期摆动”，且很少迹同样表现出偏离其均值的“长期摆动”，且很少 穿越其均值线。如果漂移项为正，会使时间序列随穿越其均值线。如果漂移项为正，会使时间序列随 着时间的推移更倾向于上升而非下降，且漂移项着时间的推移更倾向于上升而非下降，且漂移项 对序列的影响越来越大。对序列的影响越来越大。 有漂移的随机游走过程：有漂移的随机游走过程： 与平稳过程：与平稳过程： 1 0.2 ttt yy 1 0.20.4 ttt xx 的比较。的比较。 为正态白噪声。为正态白噪声。 t 3. 趋势平稳过程趋势平

36、稳过程 ( ), 1,2, tt xf tutT 称如下随机时间序列是趋势平稳称如下随机时间序列是趋势平稳过程过程： 2 1 , 1, . .(0,) tttt uui i dN 其中，其中， 。 前面介绍的两种非平稳序列（随机游走和有漂前面介绍的两种非平稳序列（随机游走和有漂 移项的随机游走）都具有一种随机趋势，时间序列移项的随机游走）都具有一种随机趋势，时间序列 的非平稳性是由序列的随机趋势导致的。实际中还的非平稳性是由序列的随机趋势导致的。实际中还 有一种非平稳序列，它的非平稳性是由序列的确定有一种非平稳序列，它的非平稳性是由序列的确定 性趋势导致，这种序列称为性趋势导致，这种序列称为趋

37、势平稳趋势平稳过程过程，它的定，它的定 义如下：义如下： 这里，这里， 是确定性趋势，是确定性趋势， 是一个零均值是一个零均值 的平稳序列。注意到的平稳序列。注意到 ( )f t t u ( ) tt xf tu 即在原序列中减去序列的确定性趋势后为平稳过即在原序列中减去序列的确定性趋势后为平稳过 程，所以程，所以趋势平稳过程趋势平稳过程也称为也称为退势平稳过程退势平稳过程。 ()( ) t E xf t 2 () tu Var x 容易得到趋势平稳过程的如下数值特征：容易得到趋势平稳过程的如下数值特征： , 1 k k k 对照平稳序列的定义我们可以看到，趋势平稳对照平稳序列的定义我们可以看

38、到，趋势平稳 过程主要是过程主要是不满足序列均值为常数不满足序列均值为常数的条件，其余的的条件，其余的 条件均满足。所以，序列的非平稳性是由序列的均条件均满足。所以，序列的非平稳性是由序列的均 值函数非常数导致的，序列并不含有单位根。值函数非常数导致的，序列并不含有单位根。 所以，趋势平稳过程会围绕其均值做平稳所以，趋势平稳过程会围绕其均值做平稳 波动，序列不会长期偏离其均值。这就意味着波动，序列不会长期偏离其均值。这就意味着 趋势平稳过程的均值具有重要价值。对于趋势趋势平稳过程的均值具有重要价值。对于趋势 平稳过程，只要我们找到其均值，就意味着我平稳过程，只要我们找到其均值，就意味着我 们找

39、到了其变化发展规律。如果其确定性趋势们找到了其变化发展规律。如果其确定性趋势 是线性的，实际中我们就可以利用回归的方法是线性的，实际中我们就可以利用回归的方法 提取其确定性趋势。提取其确定性趋势。 -4 0 4 8 12 16 20 24 255075100125150175200 X x=0.05+0.1t+u u=0.8u(-1)+nrnd 10 0.0501, 0.8, 0,. .(0,1) tttttt xtuuuui i dN 下图是由下图是由 EViews 生成的生成的趋势平稳过程时序图：趋势平稳过程时序图： 从时序图可以看到，序列围绕它的均值作平稳从时序图可以看到，序列围绕它的均

40、值作平稳 的随机波动，序列只会暂时背离其均值，具有的随机波动，序列只会暂时背离其均值，具有均值均值 回复特征回复特征。 对趋势平稳过程的进行一次差分运算得对趋势平稳过程的进行一次差分运算得 11ttt xuu 所以，趋势平稳过程的差分过程是一个过度差所以，趋势平稳过程的差分过程是一个过度差 分过程。这意味着，趋势平稳过程只能通过退势的分过程。这意味着，趋势平稳过程只能通过退势的 方法而非差分的方法平稳化。方法而非差分的方法平稳化。 4. 趋势非平稳过程趋势非平稳过程 前面介绍了两类非平稳过程：一类是趋势非平稳前面介绍了两类非平稳过程：一类是趋势非平稳 过程（随机游动和有漂移项的随机游动）；另一

41、类是过程（随机游动和有漂移项的随机游动）；另一类是 趋势平稳过程。更一般的非平稳过程是既含有趋势平稳过程。更一般的非平稳过程是既含有确定性确定性 趋势又含有趋势又含有随机趋势随机趋势的非平稳过程，这种非平稳过程的非平稳过程，这种非平稳过程 称为称为趋势非平稳过程趋势非平稳过程，它的定义如下：，它的定义如下： 1 , 1,2, ttt xtxtT 称如下随机时间序列是趋势称如下随机时间序列是趋势非平稳非平稳过程过程： 其中其中 是位移项（漂移项），是位移项（漂移项）， t 是趋势项，是趋势项， 是是 白白 噪声序列噪声序列。 t 迭代运算可得：迭代运算可得： 2 0 1 () 22 t ti i

42、 xxtt 2 0 ()(), 22 t E xxtt 2 (), t Var xt , 1/1 2 TT k xx k k T T 所以趋势非平稳过程含有时间所以趋势非平稳过程含有时间 t 的的 1 次趋势和次趋势和 2 次趋势，次趋势， 且且 2 次趋势起主导作用，随时间的推移，序列的波动将越来次趋势起主导作用，随时间的推移，序列的波动将越来 越大且趋势对序列的影响也越来越大。越大且趋势对序列的影响也越来越大。 趋势非平稳过程的数值特征为：趋势非平稳过程的数值特征为： 随机游走过程随机游走过程 tt xt 对序列进行一次差分运算得对序列进行一次差分运算得 所以，趋势非平稳过程的平稳化方法是

43、：先对时所以，趋势非平稳过程的平稳化方法是：先对时 间序列进行差分运算，然后用回归的方法提取差分后间序列进行差分运算，然后用回归的方法提取差分后 序列的确定性趋势。序列的确定性趋势。 0 10 20 30 40 50 60 70 80 255075100125150175200 X x=0.01+0.005t+x(-1)+u 10 0.010.005, 0, . .(0,1) tttt xtxxi i dN 下图是由下图是由 EViews 生成的生成的趋势非平稳过程时序图：趋势非平稳过程时序图： 趋势非平稳过程：趋势非平稳过程： 1 0.10.01 ttt xtx 与退势平稳过程：与退势平稳过

44、程： 的比较。的比较。 1 0.10.010.8 ttt yty 通过前面的分析我们可以发现，对于随机趋通过前面的分析我们可以发现，对于随机趋 势过程势过程 （差分平稳）来说，由于过程会完全记录（差分平稳）来说，由于过程会完全记录 每个随机冲击，导致序列都具有长记忆性，使得方每个随机冲击，导致序列都具有长记忆性，使得方 差趋于无穷大，从而使得我们不能利用其均值进行差趋于无穷大，从而使得我们不能利用其均值进行 预测，其均值概念变得毫无意义预测，其均值概念变得毫无意义 (即没有均值回复即没有均值回复 特性特性)。 对于对于退势平稳过程退势平稳过程，随机成分是一个白噪声或，随机成分是一个白噪声或 平稳的过程，所以接受冲击后只具有平稳的过程，所以接受冲击后只具有有限记忆有限记忆能能 力，其影响会很快消失，由其引起的对趋势的偏离力，其影响会很快消失，由其引起的对趋势的偏离 只是暂时的具（只是暂时的具（有均值回复特性）有均值回复特性）。对退势平稳序。对退势平稳序 列，只要正确估计出其确定性趋势，即可实现长期列，只要正确估计出其确定性趋势，即可实现长期 趋势与平稳波动部分的分离。趋势与平稳波动部分的分离。 五、退势平稳过程与随