2022年点到直线的距离公式 .docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 点与直线 直线方程一. 教学内容：点到直线的距离；点关于点、关于直线的对称点；直线关于点、关于直线的对称直线；直线方程复习；二. 学问点：1. 点到直线距离公式及证明d|Ax0A2By02C|B关于证明：依据点斜式,直线PQ 的方程为不妨设A 0yy 0Bxx0,A即BxAyBx 0Ay 0,解方程组AxByC0,BxAyBx 0Ay 0,得x2 B x0ABy0ACA2B2这就是点 Q 的横坐标,又可得xx02 B x0ABy0AC2 A x002 B x0A2B2yy0A Ax0By0C,C ,A2B2B Ax0ByBxx0AA2B2所以,

2、名师归纳总结 dxx 02yCy02第 1 页,共 16 页Ax02By 02AB2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - |Ax0By0C|A2B2；的距离公式；这就推导得到点Px 0,y 0到直线 l ：Ax+By+C=0假如 A=0 或 B=0,上式的距离公式仍旧成立；下面再介绍一种直接用两点间距离公式的推导方法；设点 Q 的坐标为 x1,y1,就Ax 1By 1BC0 ,y 1y 0A0 x 1x 0A把方程组作变形,A x 1x0B y 1y 00Ax 0By 0C ,B x 1x0A y 1y 0把,两边分别平方后相加,得A2B2x 1x 02B

3、2A2y 1y 02Ax 0By0C 2 ,所以,x1x02y 1y02Ax0A2By02C2,B所以,d|x1A2x022y 1y02Ax0By0C|B此公式仍可以用向量的有关学问推导,介绍如下：设P x 1 1,y 1、P x 22,y2是直线 上的任意两点,就Ax1By1C0Ax2By2C0把、两式左右两边分别相减,得A x 1x 2B y 1y20,由向量的数量积的学问,知名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - nP P 10,这里 n=A ,B；所以 n=A, B是与直线 l 垂直的向量；当 与 P P 1 0

4、 的夹角 为锐角时,d | P P 0 |cos,如下图当 与P P 1 0的夹角为钝角时,d|P P 0|cos 180|P P 2|cos|P P 0|cos |如下图所以,都有d|P P 0|cos |,由于nP P 0| |P P 0|cos,所以名师归纳总结 d| nPP 0|第 3 页,共 16 页| |- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - |A Bx0x 1,y 0y 1| A x02A2B2y1|Ax 1By 1C x1B y0|Ax0A2B20,所以By0C|AB2C由于Ax 1By 12. 平行线间的距离公式3. 点关于点的对称点中点坐

5、标公式4. 已知 P0x 0,y0直线 l： Ax+By+C=0 B 0点 P x 0 0,y 0 关于直线 的对称点：设为 P x 1,y 1 A x 0 x 1 B y 0 y 1 C 0就 2 2y 1 y 0 A 1x 1 x 0 B特殊地关于特殊直线的对称点；x 轴、 y 轴、直线 y=x ,直线 y=x5. 直线 l 关于点 P0 x0,y0对称直线三种方法6. 直线 关于直线l 1A x 1B y 1C 10 的对称直线三种方法特殊地直线l 关于特殊直线y= x+b 的对称直线；【典型例题】名师归纳总结 例 1. 求与直线 ：5 x12y60 平行且到 的距离为2 的直线的方程；

6、第 4 页,共 16 页解法一：设所求直线的方程为5 x12yc0,在直线5x12y60上取一点P 00,1,2点P 0到直线5x12yc0 的距离为- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - d|121 2c |c6 |2 512 213由题意,得|c6 |2；13c=32 或 c=20,所求直线方程为5 x12y320 和5x12y200；解法二： 设所求直线的方程为5 x12yc0,由两平行直线间的距离公式,得2| c6 |2,解之,2 512 得c32 或c20；故所求直线的方程为5 x12y320 和5 x12y200；小结： 求两条平行线之间的距离,

7、可以在其中的一条直线上取一点,求这点到另一条直线 的距离,即把两条平行线之间的距离,转化为点到直线的距离；也可以直接套两平行线间的距离公式d|C2C 1|；x+3y 5=0,求其他三边所A2B2例 2. 已知正方形的中心为G 1,0,一边所在直线的方程为在的直线方程；名师归纳总结 解： 正方形中心G 1,0到四边距离均为第 5 页,共 16 页|15 |6；123210设正方形与已知直线平行的一边所在直线的方程为x+3y+c 1=0；就|1c 1|6,即| c11 |6；1010解得c 15 或c 17；故与已知边平行的边所在直线的方程为x+3y+7=0 设正方形另一组对边所在直线的方程为3x

8、y+c2=0；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 就| 31 2c|6,1010即| c223 |6,3；解得c9 或c 2所以正方形另两边所在直线的方程为：3 xy90 和3 xy30；综上所述,正方形其他三边所在直线的方程分别为：x3y70、3xy90、3 xy30；小结： 本例解法抓住正方形的几何性质,利用点到直线的距离公式,求得了正方形其他三 边所在直线的方程；例 3. 求直线xx2yy10 关于直线xy10对称的直线的方程；由210,得x1,xy10,y0解法一：点 1,0为两已知直线的交点；设所求直线的斜率为k,由一条直线到一条直线的角的公式

9、,得11k1,k2；2 111k2故所求直线方程为名师归纳总结 y2 x1 ,即2xy20；,就第 6 页,共 16 页解法二： 由解法一知两已知直线的交点为A 1,0；在直线x2y10上取一点B0,1,2设点B 关于直线xy10的对称点为C x 0,y 0- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 0x0112y0110,22y01 2 0x0解得 x 02 3,y 0 1；C 点的坐标为 3,1 ；2直线 AC 的方程为 y 0 x 1,2 x y 2 0,1 0 3 12即直线 x 2 y 1 0 关于直线 x y 1 0 对称的直线的方程为 2 x y

10、2 0；解法三： 设 Px,y是所求直线上的任一点,P 关于直线 xy10 对称的点为 P0x0,y 0,名师归纳总结 就P 0在直线x2y10上；2y0；第 7 页,共 16 页x 02y010,kPP0yy0,xx0线段PP 0的中点是Mx2x0,y点P 与点P 0关于直线xy10 对称,y2y 01 01,0；xx 0xx 0yy12x01y,y 01x；代入x02y010,得- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1y2 1x 10,即2xy20 为所求；k=1 解法四：直线 x+y 1=0 x1y由 x+y1=0y1x代入 x2y1=0 得1y21

11、x 1=0 2x y2=0 即为所求；小结： 求直线 l 关于直线 l 1 对称的直线的方程,只要在 l 上取两点 A、 B,求 A、B 关于 l 1的对称点 A、B,然后写出直线 AB 的方程即为所求；解法二和解法三中,都用到了求一个点 P关于某直线 l 的对称点 P0 的问题； 这个问题的解法就是依据：直线 P0P 与直线 l 垂直；线段P0P 的中点在直线 l 上,列出方程组解出 x 0、y 0,代入 x 0、y 0 所满意的方程,整理即得所求直线的方程；例 4. 求经过直线3 x2y60 和2x5 y70 的交点,且在两坐标轴上的截距相等的直线方程；解法一：由方程组3x2y60,2x5

12、 y70得x4,y3；4,3；两已知直线的交点为当所求直线在两坐标轴上的截距都是0 时,直线的横截距、纵截距相等；所求直线的方程为 y 3 x,4即 3 x 4 y 0；当所求直线不过原点时,设所求直线方程为 x y a,由于点 4,3在直线 x+y=a 上,名师归纳总结 43a,a1,0；4y0 或xy10；第 8 页,共 16 页故所求直线方程为xy1综上所述,所求直线方程为3 x- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解法二：所求直线经过直线3x2y60和直线2x5y70 的交点,所以可设所求直线的方程为3 x2y62x5y7 0 *；在*式中,令x0

13、 得y756；2令y0得x726；3由题意,得756726；23所以6或1；73把6和1分别代入*式整理,73即得3 x4y0 和xy10；小结： 解法一设直线的截距式时留意了截距为0 的情形；故而没有直接设成xy1 的形式,解法二中用到了过两直线A xB yC 10与A xB yC2aa 的交点的直线系方程：A x 1B y 1C 1A x 2B y 2C 20；例 5. 已知两条直线l1：axby40, ：2 a1 xyb0,求分别满意下列条件的 a、 b 的值；1直线 l 1 过点 3, 1,并且直线 l 1 与直线 l2 垂直；2直线 l 1 与直线 l 2 平行,并且坐标原点到 l1

14、、l2 的距离相等；分析： 考查直线与直线平行及垂直的问题的处理方法；解： 1l2,a a1 b 10a2ab0又点 3, 1在 l1 上,3 ab40由、解得a=2,b=2；2 l 1 l2 且 l 2 的斜率为 1a；l 1的斜率也存在,a1a,b1aab故 l1 和 l2 的方程可分别表示为名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - l1：a1 xy4a1 00,al2：a1 xya；1a原点到 l 1 和 l 2 的距离相等,4 |aa1| |1aa|,a2或a2l 1有斜率,即b 0；3因此a2,或a2,3b2,b

15、2小结： 在 2中由于 l 1 l 2,l2 有斜率,从而得出例 6. 已知函数f x x22 x2x24x8,求f x 的最小值,并求取得最小值时 x 的值；解：f x x22x20x 24xx822022x1 21 2它表示点 Px,0与点 A1,1的距离加上点Px,0与点 B2,2的距离之和,即在 x 轴上求一点 Px,0与点 A1,1、B2,2的距离之和的最小值；由以下图可知,转化为求两点 A1, 1和 B2,2间的距离,其距离为函数 fx 的最小值；f 的最小值为12212210再由直线方程的两点式得A B 方程为3 xy40；令y0得x4；当x4时,f 的最小值为10；33小结：

16、数形结合是解析几何最根本的思想,因此此题联系图形求解,使解法直观、简捷而且精确,易于入手；例 7. 用解析法证明：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高；证明： 建立如下图的坐标系,名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - A a,0,B0,b,C a,0,a0,b0,就直线AB 的方程为bxayab0,2h直线BC 的方程为bxayab0设底边 AC 上任意一点为Px, 0 a xa,就P到AB的距离|PE|bxab|b axa2b2a2b2P 到BC的距离为 |PF| bxab|b axa2b2a2b

17、2A 到BC的距离h| baab|2abb2a2b2a2 |PE| |PF|b axb ax2abba2b2a2b2a2原命题得证；名师归纳总结 例 8. 等腰直角三角形斜边所在直线的方程是3xy0,一条直角边所在直线l 经过点 4,2,且此三角形的面积为10,求此直角三角形的直角顶点的坐标；解： 设直角顶点为C,C 到直线 y=3x 的距离为 d,就1d2d10,2d10,设 的斜率为k,就3ktan451k113 k2第 11 页,共 16 页 的方程为y21x4,即x2y802设l是与直线y3x 平行且距离为10的直线,就l与 的交点就是C 点,设l的方程是3 xym0,- - - -

18、- - -精选学习资料 - - - - - - - - - 就|m |10,m10,10l的方程是3 xy100由方程组xx2y80及xx2y80 得0C 点坐标是12,14或3y1003y105528,3455例 9. 已知直线 ：2m x 12 m y43 m0,1求证：不管m 为何实数,直线l 恒过肯定点M ；2过定点 M 作一条直线l 1,使 l 1 夹在两坐标轴之间的线段被M 点平分,求l1 的方程；3假设直线l 2 过点 M ,且与 x 轴负半轴、 y 轴负半轴围成的三角形面积最小,求l2 的方程；解： 化原直线方程为2xy4m x2y3 0,k44由2x2y40,定点M的坐标为1

19、,2 xy3021 2 设过点M的直线方程为xy1,ab它与 x 轴、 y 轴分别交于Aa, 0,B0,b；M 为 AB 中点,由中点坐标公式得a=2,b=4,所求直线方程为 2xy40 设所求直线l2的方程为y2k x1 k0 ,它在 轴, 轴上的截距分别为a, ,就易得：S1| | |1|21 |k2 |1 122k22k2kk当且仅当 k 2 时,围成的三角形面积最小,所求的直线方程为y22 x1 ,即2 xy40【模拟试题】1. 已知直线 l 经过点 P 5,10,且原点到它的距离为5,就直线 l 的方程为 _；名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 16 页精选学习

20、资料 - - - - - - - - - 2. 设0,2, 就 点P 1 , 1 到 直 线xcosysin2 的 最 大 距 离 是_；3. 已知点P 1,cos到直线xsinycos1 的距离等于1,且0,2,就4_ ；4. 如图,已知正方形ABCD 的中心为 E 1,0,一边 AB 所在的直线方程为x3y50 ,求其他三边所在直线的方程；5. 求平行线2x7y80 和2x7y60的距离；26. 求过点 A 1,2且与原点的距离为2 的直线方程；x3y60截得的线段7. 求过点 P1,2且被两平行直线l 1：4x3 y10 与l2：4长为2 的直线方程；l 方程；8. 求过点 P0,2且与

21、点 A 1,1,B 3,1等距离的直线9. 原点关于直线8 x6y25的对称点坐标是A. 2,3B. 25,25C. 3,4 286D. 4,31991 年全国高考题名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【试题答案】1. 3 x4y250 或x5l 的方程为ykxb ；提示：1当直线 l 的斜率存在时,可设105 kb,k3 4,依据题意,得| |15, 解得b25k24所求的直线l 的方程为3 x4y250；2当直线 l 的斜率不存在时,直线的倾斜角为依据题意,得所求直线l 的方程为 x5；2. 222 ,即直线

22、l 与 x 轴垂直；提示：点 P1,1到直线xcosysin20的距离为d|cossin22 |sincos2 | |2sin42 |；2 cossin0,2,5时,d|22 |22最大；当sin41,即43. 提示：名师归纳总结 由|sincos 21 |1,0,2,得sin2sin10,第 14 页,共 16 页44 sin1 2 ；x3 ym0,4. 解：可设 CD 所在直线方程为：就|m5 |2|1035 |,2 1322 12- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - m7或17；点 E 在 CD 上方, m 17；经检验不合题意,舍去；m=7 , C

23、D 所在直线方程为x3y70；AB BC,可设 BC 所在直线方程为3xyn0,0,3 xy90,3 xy30；|30n|105 |就2 1321232, n=9 或 3；经检验, BC 所在直线方程为3 xy90,AD 所在直线方程为3xy30；综上所述,其他三边所在直线方程为x3 y75. 分析：在直线上任取一点,求这点到另始终线的距离；解： 在直线2x7y6x0上任取一点,如P 3,0,就点 P3,0到直线28 |7y80的距离就是两平行线间的距离；因此d| 237021414 532275353；留意用上面方法可以证明如下结论：名师归纳总结 d一 般 地 , 两 平 行 直 线AxBy

24、C10 和 AxByC20 C 1C 2间 的 距 离 为|C 1C2|k；第 15 页,共 16 页A2B2；6. 分析：设直线的点斜式方程,利用点到直线的距离公式求出斜率解：设直线方程为y2k x1 ,就 kxy2k0 ；| 2k|2k212,解之得k1 或k7；故所求直线的方程为y2x1 或 y27x1 ,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 即xy10或7xy50；7. 分析：先画图,由图形易求得两平行直线间的距离为1,就所求直线与两平行直线成45角,就由夹角公式求得所求直线的斜率k7或k1；7解：易求得两平行直线间的距离为1,就所求直线与两平行直

25、线成45 角,设所求直线的斜率为k,就|k4|tan 4513 4 k 31,解之得k7或k1；7所求直线方程为x7y150 或7xy50；留意在寻求问题解的过程中,数形结合可优化思维过程；8. 分析：画图分析,可知符合题意的直线l 有 2 条；AB 的中点；其二直线与AB解：画图分析,可知符合题意的直线l 有 2 条；其始终线经过所在的直线平行；又由AB 的中点为 1,1得所求直线为yx2 ；当所求直线与AB 所在的直线平行时,得所求直线方程为y2 ；3 4 ,因此原点关于此直线9. 解：直线8x6y25的斜率为4,与它垂直的直线斜率为3对称的点应在直线y3x上；4对比选项,只有4,3在直线上,应选D；评注此题考查直线方程和对称点的有关学问；名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 16 页