大学课件 高等数学 傅里叶(Fourier)级数 2.ppt

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1、1,三角函数系的正交性,函数展开成傅里叶级数,问题的提出,第七节 傅里叶(Fourier)级数,2,一、问题的提出,在自然界和人类的生产实践中,周而复始,的现象,周期运动是常见的.,如行星的飞转,飞轮的旋转,蒸气机活塞的,往复运动,物体的振动,声、光、电的波动等.,数学上,用周期函数来描述它们.,最简单最基本,的周期函数是,谐函数,周期,振幅,时间,角频率,初相,简谐波,简谐振动,正弦型函数,3,如矩形波,不同频率正弦波,除了正弦函数外,常遇到的是非正弦周期函数,较复杂的周期现象,逐个叠加,分解,4,5,6,7,8,9,设想,一个较复杂的周期运动(如矩形波)分解,为简谐振动的迭加.,会给分析问

2、题带来方便.,是把一个复杂的周期函数 f(t),反映在数学上,的迭加,表示为各类正弦函数,谐波分析,或再利用三角恒等式,变形为,即,10,三角级数,？,函数 f (t) 满足什么条件,系数,才能展为,如何确定?,为简便计,先来讨论以 为周期的函数 f(x),解决上述问题起着关键作用的是:,三角函数系的正交性(orthogonality).,三角级数?,11,三角函数系,二、三角函数系的正交性,的正交性是指:,其中任何两个不同的函数的乘积,在一个周期长的区间,而任,一个函数的自乘(平方)在,即有,12,13,1.傅里叶系数,两边积分,三、函数展开成傅里叶级数,14,15,16,傅里叶系数,由这些

3、系数作成的三角级数,则,17,称为函数 f(x)(诱导出)的傅里叶级数,f(x) ,f(x)的傅里叶级数不见得收敛；,即使收敛，,级数的和也不一定是 f(x).,不能无条件的,下面的傅里叶级数收敛定理回答了我们.,所以,把符号“”,它的傅里叶级数收敛，,记为,当 f(x)满足什么条件时，,并收敛于f(x)本身?,换为“=”.,18,2. 狄利克雷(Dirichlet)充分条件,(收敛定理),19,当x是f (x)的连续点时,当x是f (x)的间断点时,当 时,由定理可知:,即:,20,(1)函数展开成傅里叶级数的条件比展开成,(2) 周期函数的三角级数展开是唯一的,就是,常说把 f (x)在

4、上展开成傅氏级数.,(3) 要注明傅氏级数的和函数与函数f (x)相等,幂级数的条件低得多;,其傅里叶级数,的区域.,就是函数,在一个周期内的平均值;,21,周期函数的傅里叶级数解题程序:,并验证是否满足狄氏条件,(画图目的: 验证狄氏条件;,由图形写出收敛域;,易看出奇偶性可减少求系数的工作量);,(2) 求出傅氏系数;,(3) 写出傅氏级数,并注明它在何处收敛于f (x).,(1) 画出 f (x)的图形,22,解,计算傅里叶系数,例1,将 f (x) 展开为傅里叶级数.,f (x) 的图象,23,24,故 f (x)的傅里叶级数,25,由于f (x)满足狄利克雷充分条件,由收敛定理得,2

5、6,27,上有定义;,(3) F(x)可展为傅氏级数;,作 法,对于非周期函数,如果 f (x)只在区间,上有定义,并且满足狄氏充要条件,也可展开成,傅氏级数.,(1) f (x) 在,(周期延拓);,级数收敛于,28,解,例2 将函数,展开为傅氏级数.,拓广的周期函数的傅氏级数展开式在,计算傅里叶系数,所给函数在区间,满足狄氏充要条件,收敛于 f (x).,29,偶函数,奇函数,30,所求函数的傅氏展开式为,31,基本概念(三角级数、三角函数系的正交性),函数展开成傅里叶级数(傅里叶系数、 傅里叶级数 、按狄利克雷收敛定理写出傅里叶级数的和),傅里叶级数的意义 整体逼近,小结,特点：,问题明确，,解法固定,32,思考题,是非题,则必有,是,因为,即意味着所论的级数收敛于 f (x).,由级数收敛的,必要条件知,由于,是线性无关的,从而有,