大学课件 高等数学 格林公式及其应用.ppt

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1、1,第三节 格林公式及其应用,小结 思考题 作业,格林(Green)公式,平面上曲线积分与路径无关的条件,二元函数的全微分求积,第十章 曲线积分与曲面积分,2,1. 区域连通性的分类,设D为平面区域,复连通区域,单连通区域,一、格林公式,否则称为,则称D为平面,复连通区域.,成的部分都属于D,如果D内任一闭曲线所围,单连通区域,3,格林定理(定理1),设闭区域D由分段光滑的,曲线L围成,在D上具有,一阶连续偏导数,则有,2. 格林公式,公式(1)称,其中L是 D的取正向的边界曲线.,格林公式.,4,当观察者沿边界行走时,(1) P、Q在闭区域D上一阶偏导数的连续性;,(2) 曲线L是封闭的,并

2、且取正向.,注,规定,边界曲线L的正向,区域D总在他的,左边.,5,(1)先对简单区域证明:,证明,若区域D既是,又是,即平行于坐标轴的直线,和L至多交于两点.,6,同理可证,7,(2) 再对一般区域证明:,若区域D由按段光,(如图),将D分成三个既是,又是,的区域,滑的闭曲线围成.,8,9,(3) 对复连通区域证明:,由(2)知,若区域不止由一条闭曲线,添加直线段,则D的边界曲线由,及,构成.,所围成.,对复连通区域D,格林公式,且边界的方向对区,的曲线积分,右端应包括沿区域D的全部边界,域D来说都是正向.,G,F,10,便于记忆形式:,格林公式的实质,之间的联系.,沟通了沿闭曲线的积分与,

3、二重积分,11,(1) 计算平面面积,3. 简单应用,格林公式,得,闭区域D的面积,12,例 求椭圆,解,由公式,得,D,所围成的面积.,13,(2) 简化曲线积分,例,其中L为圆周,解,由格林公式有,的正向.,14,对平面闭曲线上的对坐标曲线积分,比较简单时,常常考虑通过格林,公式化为二重积分来计算.,15,例,计算,分析,但由,可知,非常简单.,的上半圆周,到点,此积分路径,不是闭曲线!,16,为应用格林公式再补充一段曲线,因在补充的曲线上还要算曲线积分,补充的曲线要简单,使之构成,闭曲线.,所以,因而这里补加直线段,直线段.,通常是补充与坐标轴平行的,L不闭合+边L,使L+ L闭合,再用

4、格林公式.,由格林公式,解,的方程为,故,所以,17,(3) 简化二重积分,则,解,令,例,为顶点的三角形闭区域.,格林公式,18,1987年研究生考题,填空(3分),解,由格林公式,19,解,记L所围成的闭区域为D,其中L为一条无重点,分段光滑且不经过原点的连续闭曲线,L的方向为逆时针方向.,例,令,有,20,即L为不包围原点,的任一闭曲线.,即L为包围原点在内的任一,闭曲线.,由格林公式,应用由格林公式,得,作位于D内圆周,21,注意格林公式的条件,其中l 的方向取,逆时针方向,22,练习,计算,L是圆周:,如把圆周写成参数方程:,再将线积分化为定积分计算,用格林公式易求.,答案:,分析,

5、则过程较麻烦.,23,2003年研究生考题(数学一)(10分),已知平面区域,L为D的正向边界.,试证:,证,左边 =,右边 =,法一,(1),24,2003年研究生考题(数学一)(10分),已知平面区域,L为D的正向边界.,试证:,证,(2),由于,故由(1)得,25,2003年研究生考题(数学一)(10分),已知平面区域,L为D的正向边界.,试证:,证,法二,(1),根据格林公式,得,左边 =,右边 =,因为D关于,对称,所以,26,2003年研究生考题(数学一)(10分),已知平面区域,L为D的正向边界.,试证:,证,法二,由(1)知,27,B,如果在区域G内有,二、平面上曲线积分与路径

6、无关的条件,A,L1,L2,1. 平面上曲线积分与路径无关的定义,否则与路径有关.,则称曲线积分,在G内,与路径无关,28,定理2,设开区域G是一个单连通域,在G内恒成立.,函数P(x,y),Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数,则曲线积分,在G内与路径无关,(或沿G内任意闭,曲线的曲线积分为零)的,充要条件是,2.平面上曲线积分与路径无关的条件,两条件缺一不可,29,三、二元函数的全微分求积,考虑表达式,如果存在一个函数,使得,则称,并将,全微分式,为一,原函数.,30,由,例,可知:,都是,分别是上面的,原函数.,全微分式.,31,定理3,设开区域G是一个单连通域,函数P(x,y),Q(x

7、,y) 在G内具有一阶连续偏导数,则,下面说明一般怎样,在G内恒成立.,在G内为某一函数,的全微分的,充要条件是等式,求原函数,判断全微分式,32,必要性.,由设P、Q的偏导数连续,因而,即,设存在某一函数,证,于是,连续.,所以,使得,33,充分性.,设已知条件,由定理2可知:,当起点M0(x0,y0)固定时,在G内恒成立.,则,于是把曲线积分写作:,上述积分x, y的函数,记为,即,曲线积分在区域G内与路径无关.,M(x,y).,起点为M0(x0,y0),终点为M(x,y)的,此积分的值取决于终点,34,下面证明函数u(x,y)的全微分就是:,因为P(x,y),Q(x,y)都是,因此只要证

8、明,(1) 偏导数定义,(3) 积分中值定理.,(2) 曲线积分与路径无关,其中用到下面的知识点:,连续的.,35,D(x0 , y1),或,则,36,例,问 是否为全微分式?,用曲线积分求其一个原函数.,如是,解,在全平面成立,所以上式是全微分式.,因而一个原函数是：,全平面为单连通域，,法一,(x,y),37,这个原函数也可用下法“分组”凑出:,法二,38,因为函数u满足,故,从而,所以,问 是否为全微分式?,用曲线积分求其一个原函数.,如是,由此得,y的待定函数,法三,39,解,原式=,原积分与路径无关.,例,40,解,积分与路径无关,1989年研究生考题, 计算,5分,设曲线积分,与路

9、径无关,具有连续的导数,例,即,41,(1,0),法一,设曲线积分,与路径无关,具有连续的导数,42,法二,设曲线积分,与路径无关,具有连续的导数,43,2002研究生考题(数学一) 8分,内具有一阶连续导数,L是上半平面 (y 0)内的有向分段光滑曲线,其起点为(a, b),终点为(c, d).,记,(1) 证明曲线积分I 与路径L无关;,(2) 当ab = cd 时,求I 的值.,练习,证,因为,所以在上半平面内曲线积分I 与路径L无关.,(1),44,解,(2),由于曲线积分I 与路径L无关,L是上半平面 (y 0)内的有向分段光滑曲线,起点(a, b),终点(c, d).,所以,(2)

10、 当ab = cd 时,求I 的值.,法一,45,解,(2),L是上半平面 (y 0)内的有向分段光滑曲线,起点(a, b),终点(c, d).,(2) 当ab = cd 时,求I 的值.,法二,设F(x)为f(x)的一个原函数,则,由此得,46,格林公式,四、小结,单(复)连通区域的概念,格林公式的三个应用,格林公式的实质,的联系.,沟通了沿闭曲线的积分与二重积分之间,注意使用条件,47,与路径无关的四个等价命题,条件,在单连通开区域D上,具有,连续的一阶偏导数,则以下四个命题成立.,48,思考题,是非题,解,因为,故曲线积分与路径无关.,?,49,非,因为在曲线积分与路径无关的定理中,要求,所考虑区域G是单连通的,且函数P(x,y),及其偏导数在G上连续,Q(x,y),对本题来说,当且仅当,及其偏导数连续,上述解法中点,在直线,从而不满足曲线积分与,路径无关的条件.,50,作 业,习题10-3(153页),1.(1) (2) 2.(1) (3) 3. 4.(1) (3) 5.(1) (3) (4) 6.(2) (4) 7.,