等比数列前项和公式的推导课件.ppt

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1、关于等比数列前项和公式的推导现在学习的是第1页，共87页复习等差数列等差数列等比数列等比数列定义定义通项通项公式公式性质性质Sndnaan)(1111nnqaadaann1qaann1dmnaamn)(mnmnqaa*(,)mnrsm n r sNmnrsaaaamnrsa aa a2)(1nnaanS1(1)2nn nSnad现在学习的是第2页，共87页预备知识：预备知识：Sn=a1+a2+an Sn-1=a1+a2+an-1(n 2)an=Sn Sn-1(n 2)你能得出吗你能得出吗?现在学习的是第3页，共87页现在学习的是第4页，共87页问题：如何来求麦子的总量？问题：如何来求麦子的总量

2、？得得:2S:2S6464=2+2=2+22 2+2+23 3+2+26363+2+26464错位相减得：错位相减得：S S6464=2=264 64 1 1.8 1 1.8 10101919即求：即求：1 1，2 2，2 22 2，2 26363的和；的和；令：令：S S6464=1+2+2=1+2+22 2+2+26262+2+26363，以小麦千粒重为以小麦千粒重为4040麦子质量超过麦子质量超过70007000亿吨！亿吨！麦粒总质量达麦粒总质量达70007000亿吨亿吨国王是拿不出的。国王是拿不出的。现在学习的是第5页，共87页q,得nqS.11121211nnnqaqaqaqaqa，

3、得,111nnqaaSq由此得q1时，qqaSnn111等比数列的前n项和nnaaaaS321设等比数列,321naaaa它的前n项和是.11212111nnnqaqaqaqaaS即说明：这种求和方法称为错位相减法现在学习的是第6页，共87页当q1时，qqaSnn111,111qaqqaqannnqqaaSnn11显然，当q=1时，1naSn现在学习的是第7页，共87页,11111qqaaqqannnS,1na(q=1).(q1).等比数列的前n项和表述为：现在学习的是第8页，共87页)1()1(1)1(11qnaqqqaSnn已知a1、n、q时已知a1、an、q时)1()1(111qnaqq

4、qaaSnn等比数列的前n项和公式现在学习的是第9页，共87页(1)(1)等比数列前等比数列前n n项和公式：项和公式：等比数列前等比数列前n项和公式你项和公式你了解多少？了解多少？Sn=1-q(q=1)(q=1)qaan11naSn=1-q(q=1)(q=1)1(1nqa1na(2)(2)等比数列前等比数列前n n项和公式的应用：项和公式的应用：1.1.在使用公式时在使用公式时.注意注意q q的取值的取值是利用公式的前提；是利用公式的前提；.在使用公式时，要根据题意，适当选择公式。在使用公式时，要根据题意，适当选择公式。利用“错位相减法”推导现在学习的是第10页，共87页例1、求下列等比数列

5、前8项的和,81,41,21)1(0,2431,27)2(91qaa解：时所以当8n 256255211211218nS:,2431,2791可得由aa)2(8272431q)1(因为21,211qa可得：又由,0q31q时于是当8n 811640)31(1311278nS现在学习的是第11页，共87页:a2n量中，求满足下列条件的、在等比数列例nnsaanq和求.21,5,2)2(1nqsaann和求.341,512,1)3(1nsaa求,2)1(31解：21,5,2)2(1anq得：代入qqasqaannnn11,11182214415qaa2311221212121555s可得代入将qq

6、aannnnSSaa111341,512,1)3(2.1)512(1341qqq解得：10)2(1512,111nqaannn解得：所以因为112)1(231qqaa即nnaSqn222211，所以，时，数列为常数列当nqqannnSq)1(11)1(1)1(1 21)1(1时，当说明：选择适当的公式。并且要根据具体题意，中，只知三可求二，在五个变量nnSanqa,1.作为第一要素来考虑。的取值，应把它意在利用公式，一定要注q现在学习的是第12页，共87页 1数列2n1的前99项和为()A21001 B12100 C2991 D1299答案：C现在学习的是第13页，共87页 2在等比数列an中

7、，已知a13，an96，Sn189，则n的值为()A4 B5 C6 D7答案：C现在学习的是第14页，共87页 3已知等比数列an中，an0，n1,2,3，a22，a48，则前5项和S5的值为_答案：31现在学习的是第15页，共87页 4求Snx2x23x3nxn(x0)现在学习的是第16页，共87页现在学习的是第17页，共87页(一)用等比定理推导 合比定理合比定理：现在学习的是第18页，共87页1)(q 递推公式递推公式：现在学习的是第19页，共87页 答案：B现在学习的是第20页，共87页 2在等比数列an中，公比q2，S544，则a1的值为()A4 B4 C2 D2 答案：A现在学习的

8、是第21页，共87页 3在等比数列an中，已知a1a2an2n1，则a12a22an2等于_现在学习的是第22页，共87页 4设数列an是等比数列，其前n项和为Sn，且S33a3，求公比q的值现在学习的是第23页，共87页？台（结果保留到个位）可使总销售量达到几年，那么从今年起，大约比上一年的销售量增加售量台，如果平均每年的销某商场今年销售计算机30000%105000：例3分析：第1年产量为 5000台第2年产量为 5000(1+10%)=50001.1台第3年产量为5000(1+10%)(1+10%)台21.15000第n年产量为台11.15000n则n年内的总产量为：121.151.15

9、1.155n现在学习的是第24页，共87页？台（结果保留到个位）可使总销售量达到几年，那么从今年起，大约比上一年的销售量增加售量台，如果平均每年的销某商场今年销售计算机30000%105000：例3解：30000,1.1%)101(,50001nSqa数列，每年的销售量成等比由题意可知，从今年起 值。的，求满足比数列分析：本例相当于在等nSann300001.11)1.11(500030000n由公式得：6.11.1n整理得,6.1lg1.1lgn两边取对数，得5041.02.06.1lg1.1lgn用计算器算得台。年可使总销售量达到答：从今年起，大约300005现在学习的是第25页，共87页

10、现在学习的是第26页，共87页现在学习的是第27页，共87页现在学习的是第28页，共87页现在学习的是第29页，共87页现在学习的是第30页，共87页 分析由题目可获取以下主要信息：已知等比数列的前3项和前6项的和，求其通项解答本题可直接利用前n项和公式，列方程求解现在学习的是第31页，共87页现在学习的是第32页，共87页 点评在等比数列an的五个量a1，q，an，n，Sn中，a1与q是最基本的元素，在条件与结论间的联系不明显时，均可以用a1与q列方程组求解现在学习的是第33页，共87页 迁移变式2设等比数列an的前n项和为Sn，若S3S62S9，求公比q的值现在学习的是第34页，共87页现

11、在学习的是第35页，共87页现在学习的是第36页，共87页现在学习的是第37页，共87页 点评在求含有参数的等比数列的前n项和时，容易忽略对a1和q1的讨论，从而丢掉一种情况现在学习的是第38页，共87页现在学习的是第39页，共87页现在学习的是第40页，共87页现在学习的是第41页，共87页 如图1，一个热气球在第一分钟上升了25 m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125 m吗？现在学习的是第42页，共87页 分析通过仔细审题，抓住“在以后每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%”这一“题眼”，从而构造出

12、等比数列模型热气球在每分钟里上升的高度组成一个等比数列，于是热气球上升的总高度便是该等比数列的前n项和，利用公式即可现在学习的是第43页，共87页现在学习的是第44页，共87页现在学习的是第45页，共87页 迁移变式4如果某人在听到喜讯后的1 h后将这一喜讯传给2个人，这2个人又以同样的速度各传给未听到喜讯的另2个人，如果每人只传2人，这样继续下去，要把喜讯传遍一个有2047人(包括第一个人)的小镇，所需时间为()A8 h B9 h C10 h D11 h现在学习的是第46页，共87页 解析：设第n个小时后知道喜讯的总人数为Sn，Sn12222n2n112047，n10，故选C.答案：C现在学

13、习的是第47页，共87页现在学习的是第48页，共87页 2因为公比为1和不为1时等比数列前n项和有不同的公式，所以若公比为字母时，应进行分类讨论这也是由公式的适用范围引发的分类讨论的典型例子之一现在学习的是第49页，共87页现在学习的是第50页，共87页现在学习的是第51页，共87页现在学习的是第52页，共87页现在学习的是第53页，共87页现在学习的是第54页，共87页现在学习的是第55页，共87页 题后感悟在等比数列an的五个量a1，q，an，n，Sn中，a1与q是最基本的元素，在条件与结论间的联系不明显时，均可以用a1与q列方程组求解,现在学习的是第56页，共87页 1.在等比数列an中

14、，a1an66，a2an1128，前n项和Sn126，求n和q.现在学习的是第57页，共87页现在学习的是第58页，共87页现在学习的是第59页，共87页现在学习的是第60页，共87页已知等比数列an中，前10项和S1010，前20项和S2030，求S30.现在学习的是第61页，共87页现在学习的是第62页，共87页现在学习的是第63页，共87页 题后感悟等比数列前n项和的常用性质：(1)“片断和”性质：等比数列an中，公比为q，前m项和为Sm(Sm0)，则Sm，S2mSm，S3mS2m，SkmS(k1)m，构成公比为qm的等比数列，即等比数列的前m项的和与以后依次m项的和构成等比数列现在学习

15、的是第64页，共87页 3.各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn，若Sn2，S3n14，则S4n等于()A80 B30 C26 D16现在学习的是第65页，共87页 解析：Sn，S2nSn，S3nS2n，S4nS3n成等比数列(S2nSn)2Sn(S3nS2n)(S2n2)22(14S2n)，解得S2n6 又(S3nS2n)2(S2nSn)(S4nS3n)(146)2(62)(S4n14)S4n30.故选B.答案：B现在学习的是第66页，共87页已知等比数列的首项为1，项数为偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求这个数列的公比与项数 由题目可获取以下主要信息：等比数列的奇数项与

16、偶数项分别依次构成等比数列；当项数为2n时，S偶 S奇q.解答本题的关键是设出项数与公比，然后建立方程组求解现在学习的是第67页，共87页，得q2，代入得22n256，解得2n8，所以这个数列共8项，公比为2.现在学习的是第68页，共87页现在学习的是第69页，共87页 4.等比数列an共2n项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大80，求该数列的公比q.现在学习的是第70页，共87页 求数列1,3a,5a2,7a3，(2n1)an1的前n项和(a0)由题目可获取以下主要信息：数列的通项公式an(2n1)an1.每一项可分成两个因式，由前一个因式可构成等差数列，后一因式可构成等比数列 解答

17、本题可选用错位相减法求数列的和现在学习的是第71页，共87页现在学习的是第72页，共87页 题后感悟错位相减法 一般来说，如果数列an是等差数列，公差为d；数列bn是等比数列，公比为q，则求数列anbn的前n项和就可以运用错位相减法现在学习的是第73页，共87页 在运用错位相减法求数列的和时，要注意以下四个问题：(1)注意对q的讨论，在前面的讨论中，我们已知q是等比数列bn的公比，所以q0，但求和Sn12x3x2nxn1时，就应分x0、x1和x0且x1三种情况讨论(2)注意相消的规律(3)注意相消后式子(1q)Sn的构成，以及其中成等比数列的一部分的和的项数(4)应用等比数列求和公式必须注意公

18、比q1这一前提条件如果不能确定公比q是否为1，应分两种情况讨论，这在以前高考中经常考查现在学习的是第74页，共87页现在学习的是第75页，共87页现在学习的是第76页，共87页 1在运用等比数列前n项和公式进行运算时应注意以下几点：(1)在等比数列的通项公式及前n项和公式中共有a1，an，n，q，Sn五个量，知道其中任意三个量，都可求出其余两个量现在学习的是第77页，共87页(3)在公比为字母参数的等比数列求和时，应分q1与q1两种情况进行讨论现在学习的是第78页，共87页现在学习的是第79页，共87页现在学习的是第80页，共87页现在学习的是第81页，共87页现在学习的是第82页，共87页现在学习的是第83页，共87页现在学习的是第84页，共87页现在学习的是第85页，共87页现在学习的是第86页，共87页感谢大家观看感谢大家观看现在学习的是第87页，共87页