6.1.3-2 基于插值的数值微分公式.pdf

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1、bxxxa n 10 (1) 0 , 1 ! n n x njx j f f xpxxxa b n (1) 0 1 1 ! n n nxj j fxpxfxx n (1) 0 1 1 ! n n njx j pxxxf n (1) 0 1 1 ! n n xj j fxx n 插值型数值微分公式插值型数值微分公式 假设已知函数假设已知函数f(x)在在n+1个互异的节点个互异的节点 上的函数值上的函数值 fi = f(xi)(i=0,1,n) ,则则 (6-22) 其中其中pn(x)是是 f(x)的以的以 x0, x1, xn为插值节点的为插值节点的n次插值多项式。次插值多项式。 对公式对公式(

2、6-22)的两端求一阶导数的两端求一阶导数,得得 (6-23) (1)(2) d d nn xx x ff x (1) 0 1 1 ! n n nxj j j k pxfxx n (1) 0 1 1 ! n n nkxkj j j k Exfxx n 若对任意若对任意xa,b,则上式右端的则上式右端的 只有当只有当x = xk(k=0,1,n)时时, 才有才有 上式表明上式表明,在插值节点在插值节点xk处处, 由于高次多项式插值的不稳定性由于高次多项式插值的不稳定性, 的二点、三点和五点插值型求导公式。的二点、三点和五点插值型求导公式。 (6-24) 后两项即为截断误差后两项即为截断误差,但其

3、中的但其中的 难以确定。难以确定。 fx 的的数值导数取为数值导数取为 k fx nk px 时时, 其截断误差其截断误差为为: 实际应用当中多采用实际应用当中多采用n=1,2,4 fx , n px 的近似值为的近似值为取取 n px 当当n=1时时,假设假设且已知且已知 f(x)在在x0, x1处处 一、两点公式一、两点公式 11 00 j k kj kj j k xx f xx (6-26) 记记 h=x1-x0，则有，则有 (6-25) 01 0110 ff xxxx 10 0 2 ffh fxf h 10 1 2 ffh fxf h 1 1 0 1 2! kxkj j j k Exf

4、xx 1,0k fx 连续连续, n px 01 01 0110 xxxx ff xxxx 11 00 j k kj kj j k xx f xx fx 存在存在, 的函数值的函数值, 则则 余项为：余项为： 2 2 0 k k pxf 120210 2012 010210122120 xxxxxxxxxxxx pxf xf xf x xxxxxxxxxxxx 20012 11 1222 22 pxthttf xt tf xt tf x 220012 1 234121 2 pxLxthtf xtf xtf x h 二、三点公式二、三点公式 当当n=2时时,取等距节点取等距节点 xk=x0+kh

5、 (k=0,1,2),)(x f 连连续续,)(x f 存在存在,则则 (6-27) 令令x = x0+th,上式可表为上式可表为 两端对两端对t求导数求导数,有有 分别取分别取t=0,1,2,由此得一阶数值微分三点公式：由此得一阶数值微分三点公式： 或者对于或者对于 2 0 k k f 2 0 j j kj j k xx xx 2 0 2 2 0 2 j j j k j j k xx hkj 带余项的三点公式：带余项的三点公式：(6-28) 再求一次导数再求一次导数, 得二阶数值微分三点公式：得二阶数值微分三点公式： 220012 2 1 2pxpxthf xf xf x h 2012 1

6、()(43) 2 fxfff h 0012 1 34 2 fxfff h 102 1 2 fxff h 三点公式：三点公式： 22 2 00 11 2!2! kxkjx jj j kj k Exfxxfkj h 2,1,0k 2 0012 2 120 2 2012 1 34 23 1 26 1 43 23 h fxffff h h fxfff h h fxffff h 余项为：余项为： 4 (5) 101234 1 310186 1220 h f xffffff h 利用利用Lagrange插值多项式导出的数值微分公式只能求节点上的插值多项式导出的数值微分公式只能求节点上的 导数的近似值导数的

7、近似值, 建立数值微分公式。建立数值微分公式。 设节点设节点xk=x0+kh (k=0,1,2,3,4), f (4)(x)连续连续, f (5)(x)存在存在, 则带余项的五点公式为则带余项的五点公式为 4 (5) 001234 1 254836163 125 h fxffffff h 4 (5) 20134 1 88 1230 h fxfffff h 4 (5) 301234 1 618103 1220 h fxffffff h 4 (5) 401234 1 316364825 125 h fxffffff h 三、五点公式三、五点公式 为了求非节点处的数值导数为了求非节点处的数值导数, 可利用三次样条插值可利用三次样条插值 莱布尼兹莱布尼兹(1646 1716) 德国数学家德国数学家, 哲学家。哲学家。 他和牛顿同为他和牛顿同为 微积分的创始人微积分的创始人 , 他在他在学艺学艺杂志杂志 上发表的几篇有关微积分学的论文中上发表的几篇有关微积分学的论文中, 有的早于牛顿有的早于牛顿, 所用微积分符号也远远优于牛顿所用微积分符号也远远优于牛顿 。 他还设计了作乘法的计算机他还设计了作乘法的计算机 , 系统地阐述二进制计系统地阐述二进制计 数法数法 , 并把它与中国的八卦联系起来并把它与中国的八卦联系起来 。