第五章 章末复习课.docx

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1、章末复习课知识网络r函数的单调性r函数的单调性瞬时速度平均变化率导数的儿 何意义导数的 概念及 其意义导数的运算导 数函数的极值与最大（小）值在函的 数究中用 导研数应一元函数的导数及其应用一、导数的计算.此部分内容涉及到导数的几何意义，基本初等函数求导法则、运算法则、复合函数求导, 作为数形结合的桥梁，导数的几何意义成为最近几年高考的高频考点，主要考查切线方程及 切点，与切线平行、垂直问题，常结合函数的切线问题转化为点到直线的距离，平行线间的 距离问题，进而研究距离最值，难度中低档.1 .通过求切线方程的有关问题，培养数学运算、数学抽象等核心素养.1 n x例1 （1）已知函数八%）=詈，/

2、（幻为式幻的导函数，则/等于（）1 In x1 21n x答案DIn X解析根据题意，知函数兀x)=管,r 口 ， (In x) -x2In x-fx2)1其导函数, (x)、1 一2/以一%2x-ln x 1 -21n x=-7 =x3 -(2)设/(X)是函数)的导函数，若Z(x)=xln(2x1),则/ (1)=答案2解析 因为 /(x)=x-ln(2x1),X所以/ (X)= ln(2x 1)+91-(2x 1),-1)+云=则/ (1) = 2.反思感悟导数的运算是解决一切导数问题的基础，熟练掌握基本初等函数的求导法则，掌 握函数的和、差、积、商的运算法则，复合函数求导的关键是分清层

3、次，逐层求导，一般我 们只解决有两层复合的关系，求导时不要忘了对内层函数求导即可.跟踪训练1 (1)已知函数./U) = lnx+2f4x,则函数“X)的图象在x=l处的切线方程为()A. xy+3 = 0B. x+y3 = 0C. %y3=0D. x+y+3 = 0答案c解析 由 “x) = ln x+2A24心 得/ (x)=J+4x4,所以/ (1)=1,又/U)=2,所以函数/U)的图象在x=l处的切线方程为y+2=l X(x1),即工一丁一3=0.已知曲线./U) = alnx+f在点(1,1)处的切线与直线x+y=0平行，则实数。的值为()A. -3 B. 1 C. 2 D. 3答

4、案A解析 由/U)=alnx+f,得/ (x)=T+2x,则曲线在点(1)处的切线斜率为攵=。+2,由切 线与直线x+y=0平行，可得k= 1,即。+2= 1,解得 =3.二、函数的单调性与导数.利用导数研究函数的性质，以含指数函数、对数函数、三次有理函数为载体，研究函数的 单调性、极值、最值，并能解决有关的问题，是最近几年高考的重点内容，难度中高档.1 .通过求函数的单调性、极值、最值问题，培养逻辑推理、直观想象及数学运算等核心素养. 例2 已知函数/0) = 9+加一X.(1)当4=1时，讨论“X)的单调性;(2)当xNO时，求的取值范围.解 (1)当。=1 时，/(x) = eA+x2%

5、,f (x)=ex+2x 1,令(p(x)=ex+2x 1,由于夕(x) = ev+20,故)(%)单调递增,注意到/ (0)=0,故当x(8, 0)时，/ (X)o,大幻单调递增.(2)由於)2%+1得，e+tzx2xp:3+1,其中 xNO,当=0时，不等式为121,显然成立，符合题意;eApr % 1当X0时，分离参数。得，。三一 2,e”一#一x一 1记 g(x)= p令 h (x) = evx 1 (x 0), J贝！J/z (x)=exx1,令心)=/ (x), %20,则广a)=e”一120,故,(x)单调递增,hf (x)hf (0)=0,故函数/z(%)单调递增，力(%)2%

6、(0)=0,由(x)20可得e，-52%120恒成立，故当元(0,2)时,gf (x)0, g(x)单调递增；当 x(2, +8)时，gf (x)的极小值点C. x=2为兀X)的极大值点x=2为人口的极小值点答案D2解析因为/(x)=:+lnx, x0,所以(x)=1+/令/ (x) = 0,ri 2 , 1 x2,即 一？+；= 2 =0,解传 x=2.Jv 人 人当 0x2 时，/ U)2 时，/ (x)0,所以x=2为式幻的极小值点.三、与导数有关的综合性问题.以函数为背景的实际问题给高考数学提供了广阔的空间.导数是研究函数性质以及解决实 际问题中的最大、最小值的强有力的工具，多以选择题

7、和填空题的形式出现，难度中低档.从 近几年高考题看，利用导数研究方程的根、函数的零点、证明不等式这些知识点常考到，一 般出现在解答题中.其实质就是利用求导数的方法研究函数的性质及图象，解决该类问题通 常是构造一个函数，然后考查这个函数的单调性，结合给定的区间和函数在该区间端点的函 数值使问题得以求解.一般出现在高考题解答题中，难度中高档.1 .通过利用导数解决实际问题，培养数学建模，解决函数方程问题，提升逻辑推理，直观想 象及数学运算等核心素养.例 3 已知函数(1)讨论,ZU)的单调性；(2)若存在x(l, +8),使x)一/ 求。的取值范围., 1 1 lax1斛(iy(%)=2以+；=,

8、当 cWO 时，/ (x)0,所以“X)在(0,+8)上单调递增；当 a0 时，令(%)=0,得 ，( 1 1令0,得x4。，忘；令/ (x)一得 (x21)In x0,当 时，6z(j 1) Inxl),ei / lax1 1则 g。)=：。，所以g(x)在(1,+8)上单调递增, 所以g(%)g(l)=O，不符合题意； 当 0a0,得日百+8),令屋四，得(1意， 所以 g(%)min=g(意0,又由/。可得r0,故丫在(0,5)上单调递增；当/七(5,5小)时)=无4 + %2+,得 y =4x3 + 2t7A：,则曲线丁=犬+以2+1在点(一晨+2)处的切线斜率为一4一2=8,得。=一

9、6.1 .函数/0)=9+加+ 3%-9在=3时取得极值，则等于()A. 2 B. 3 c. 4 D. 5答案D解析 ff (x) = 3a2+2ax + 3 .凡1)在工=一3时取得极值，即/ (-3)=0, A27-6+3=0, a 5.3.函数y=/2+5的单调递减区间为()(一8, 1)和(0,1)A. (一1,0)和(1, +8)(-1,1)B. ( 8, 1)和(1, + 00)答案A解析 =4?4x=4%(x2 1),令 y 0,得 x1 或 040,函数共回二2%3办在1,+8)上单调递增，则。的最大值是. 答案6解析 / (x) = 6fm 令/ (x)0,得 或 x所以、解得 0a6.