全国统一高考数学真题及逐题详细解析理科福建卷.doc

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1、2014年福建高考数学试题（理）第卷（选择题 共50分）一选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1复数的共轭复数等于（ ）2某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（ ）圆柱 圆锥 四面体 三棱柱3等差数列的前项和，若，则( )4若函数的图像如右图所示，则下列函数图象正确的是（ ）A B C D5阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的得值等于（ ）6直线及圆相交于两点，则是“的面积为”的（ ）充分而不必要条件 必要而不充分条件 充分必要条件 既不充分又不必要条件7已知函数则下列结论正确的是（ ）A是偶函数 B 是增函数

2、C是周期函数 D的值域为8在下列向量组中，可以把向量表示出来的是（ ）A B C D 9设分别为和椭圆上的点，则两点间的最大距离是（ ）A B C D10用代表红球，代表蓝球，代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个篮球中取出若干个球的所有取法可由的展开式表示出来，如：“1”表示一个球都不取“”表示取出一个红球，而“”则表示把红球和篮球都取出来。依此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球5个无区别的蓝球5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的篮球都取出或都不取出的所有取法的是A BC D第II卷（非选择题 共100分）二填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。把答

3、案填在答题卡的相应位置。11若变量满足约束条件则的最小值为_12在中， ,则的面积等于_13要制作一个容器为4，高为的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_（单位：元）14如图，在边长为（为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则他落到阴影部分的概率为_15若集合且下列四个关系：；有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组的个数是_三解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16（本小题满分13分）已知函数（1）若，且，求的值；（2）求函数的最小正周期及单调递增区间17（本小题满分12分）在平

4、行四边形中，将沿折起，使得平面平面，如图（1）求证：ABCD；（2）若为中点，求直线及平面所成角的正弦值18（本小题满分13分）为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从 一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾 客所获的奖励额 （1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求 顾客所获的奖励额为60元的概率 顾客所获的奖励额的分布列及数学期望; （2）商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和 50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成为了使顾客

5、得到的奖励 总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球 的面值给出一个合适的设计，并说明理由19（本小题满分13分）已知双曲线的两条渐近线分别为 （1）求双曲线的离心率； （2）如图，为坐标原点，动直线分别交直线于两点（分别在第一， 四象限），且的面积恒为8，试探究：是否存在总及直线有且只有一个公 共点的双曲线？若存在，求出双曲线的方程；若不存在，说明理由。20 （本小题满分14分）已知函数（为常数）的图像及轴交于点，曲线在点处的切线斜率为-1（I）求的值及函数的极值；（II）证明：当时，；（III）证明：对任意给定的正数，总存在，使得当，恒有21（本小题满分7分

6、）选修42：矩阵及变换 已知矩阵的逆矩阵 （I）求矩阵； （II）求矩阵的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量22（本小题满分7分）选修44：坐标系及参数方程 已知直线的参数方程为，（为参数），圆的参数方程为 ，（为参数） （I）求直线和圆的普通方程； （II）若直线及圆有公共点，求实数的取值范围23（本小题满分7分）选修45：不等式选讲 已知定义在R上的函数的最小值为 （I）求的值； （II）若为正实数，且，求证：参考答案一选择题：本大题考查基础知识和基本运算，每小题5分，共50分1C解析 由复数z(32i)i23i，得复数z的共轭复数z23i.2A解析 由空间几何体的三视图可知，圆柱的正

7、视图、侧视图、俯视图都不可能是三角形3C解析 设等差数列an的公差为d，由等差数列的前n项和公式，得S332d12，解得d2，则a6a1(61)d25212.4B解析 由函数ylogax的图像过点(3，1)，得a3.选项A中的函数为y，则其函数图像不正确；选项B中的函数为yx3，则其函数图像正确；选项C中的函数为y(x)3，则其函数图像不正确；选项D中的函数为ylog3(x)，则其函数图像不正确5B解析 输入S0，n1，第一次循环，S0213，n2；第二次循环，S32229，n3；第三次循环，S923320，n4，满足S15，结束循环，输出S206A解析 由直线l及圆O相交，得圆心O到直线l的

8、距离d0时，令f(x)x21，则f(x)在区间(0，)上是增函数，且函数值f(x)1；当x0时，f(x)cos x，则f(x)在区间(，0上不是单调函数，且函数值f(x)1，1；函数f(x)不是单调函数，也不是周期函数，其值域为1，)8B解析 由向量共线定理，选项A，C，D中的向量组是共线向量，不能作为基底；而选项B中的向量组不共线，可以作为基底，故选B9D解析 设圆心为点C，则圆x2(y6)22的圆心为C(0，6)，半径r.设点Q(x0，y0)是椭圆上任意一点，则y1，即x1010y，|CQ|，当y0时，|CQ|有最大值5，则P，Q两点间的最大距离为5r610A解析 从5个无区别的红球中取出

9、若干个球，可以1个球都不取、或取1个、2个、3个、4个、5个球，共6种情况，则其所有取法为1aa2a3a4a5；从5个无区别的蓝球中取出若干个球，由所有的蓝球都取出或都不取出，得其所有取法为1b5；从5个有区别的黑球中取出若干个球，可以1个球都不取、或取1个、2个、3个、4个、5个球，共6种情况，则其所有取法为1CcCc2Cc3Cc4Cc5(1c)5，根据分步乘法计数原理得，适合要求的所有取法是(1aa2a3a4a5)(1b5)(1c)5二填空题：本大题考查基础知识和基本运算，每小题4分，共20分。11 1 解析 作出不等式组表示的平面区域(如图所示)，把z3xy变形为y3xz，则当直线y3x

10、z经过点(0，1)时，z最小，将点(0，1)代入z3xy，得zmin1，即z3xy的最小值为1.12 解析 由，得sin B1，B90，C180(AB)30，则SABCACBCsin C42sin 302，即ABC的面积等于2 13 160 解析 设底面矩形的一边长为x，由容器的容积为4 m3，高为1 m得，另一边长为 m.记容器的总造价为y元，则y4202110802080202160(元)，当且仅当x，即x2时，等号成立因此，当x2时，y取得最小值160元，即容器的最低总造价为160元14 解析 因为函数yln x的图像及函数yex的图像关于正方形的对角线所在直线yx对称，则图中的两块阴影

11、部分的面积为S2ln xdx2(xln xx)12(eln ee)(ln 11)2，故根据几何概型的概率公式得，该粒黄豆落到阴影部分的概率P. 15 6 解析 若正确，则不正确，可得b1不正确，即b1，及a1矛盾，故不正确；若正确，则不正确，由不正确，得d4；由a1，b1，c2，得满足条件的有序数组为a3，b2，c1，d4或a2，b3，c1，d4.若正确，则不正确，由不正确，得d4；由不正确，得b1，则满足条件的有序数组为a3，b1，c2，d4；若正确，则不正确，由不正确，得b1，由a1，c2，d4，得满足条件的有序数组为a2，b1，c4，d3或a3，b1，c4，d2或a4，b1，c3，d2；

12、综上所述，满足条件的有序数组的个数为6.三解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16本小题主要考查同角三角函数的基本关系二倍角公式两角和及差的三角函数及三角函数的 图象及性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归及转化思想。满分13分解法一：(1)因为所以所以 (2)因为,所以由得所以的单调递增区间为解法二：（1）因为所以从而（2）由得所以的单调递增区间为17 本小题主要考查空间直线及直线直线及平面平面及平面的位置关系等基础知识，考查空间想 象能力推理论证能力运算求解能力，考查数形结合思想化归及转化思想函数及方程思想。满分13分。解：(1)因为平面,平面平面

13、平面所以平面又平面所以 (2)过点在平面内作,如图 由(1)知平面平面平面所以以为坐标原点,分别以的方向为轴, 轴, 轴的正方向建立空间直角坐标系依题意,得则设平面的法向量则即取得平面的一个法向量设直线及平面所成角为,则即直线及平面所成角的正弦值为18本小题主要考查古典概型离散型随机变量的分布列数学期望方差等基础知识，考查数据处理能力运算求解能力应用意识，考查必然及或然思想分类及整合思想。满分13分。 解：(1)设顾客所获的奖励为X 依题意,得即顾客所获得的奖励额为60元的概率为依题意,得X的所有可能取值为20,60 即X的分布列为X2060P0505所以顾客所获得的奖励额的期望为（元）(2)

14、根据商场的预算，每个顾客的平均奖励为60元所以先寻找期望为60元的可能方案对于面值由10元和50元组成的情况,如果选择(10,10,10,50)的方案,因为60元是面值之和的最大值,所以期望不可能为60元;如果选择(50,50,50,10)的方案,因为60元是面值之和的最小值,所以数学期望也不可能为60元,因此可能的方案是(10,10,50,50),记为方案1对于面值由20元和40元组成的情况,同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案,所以可能的方案是(20,20,40,40),记为方案2以下是对两个方案的分析:对于方案1,即方案(10,10,50,50),设顾客

15、所获的奖励为,则的分布列为2060100 的期望为, 的方差为对于方案2,即方案(20,20,40,40),设顾客所获的奖励为,则的分布列为406080 的期望为, 的方差为由于两种方案的奖励额都符合要求,但方案2奖励的方差比方案1的小,所以应该选择方案219 本小题主要考查双曲线的 方程及性质直线及圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查抽象概括能力推理论证能力运算求解能力，考查特殊及一般思想数形结合思想分类及整合思想函数及方程思想。满分13分。解法一：(1)因为双曲线E的渐近线分别为和所以,从而双曲线E的离心率(2)由(1)知,双曲线E的方程为 设直线及x轴相交于点C当轴时,若直线及双曲线E有且

16、只有一个公共点,则,又因为的面积为8,所以此时双曲线E的方程为若存在满足条件的双曲线E,则E的方程只能为以下证明:当直线不及x轴垂直时，双曲线E：也满足条件 设直线的方程为,依题意,得k2或k0时，所以当时， 因此，对任意给定的正数c，总存在,当时,恒有21（1）选修42：矩阵及变换本小题主要考查逆矩阵矩阵的特征值及特征向量等基础知识，考查运算求解能力，考查化归及转化思想。满分7分。（I）因为矩阵A是矩阵的逆矩阵,且,所以（II）矩阵的特征多项式为,令,得矩阵的特征值为或,所以是矩阵的属于特征值的一个特征向量 是矩阵的属于特征值的一个特征向量22选修4-4：坐标系及参数方程本小题主要考查直线及圆的 参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查化归及转化思想。满分7分。（I）直线的普通方程为圆C的普通方程为（II）因为直线及圆有公共点,故圆C的圆心到直线的距离,解得23选修4-5：不等式选讲本小题主要考查绝对值不等式柯西不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归及转化思想。满分7分。（I）因为,当且仅当时,等号成立,所以的最小值等于3,即（II）由（I）知,又因为是正数,所以,即第 10 页