南京市、盐城市2014届高三第一次模拟考试数学(WORD含答案).doc

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1、南京市、盐城市2014届高三年级第一次模拟考试数 学 试 卷（总分160分，考试时间120分钟）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1.已知集合，集合，则 .2.若复数（为虚数单位）为纯虚数，则实数 .3.现从甲、乙、丙人中随机选派人参加某项活动，则甲被选中的概率为 .4.根据如图所示的伪代码，最后输出的的值为 .5.若一组样本数据，的平均数为，则该组数据的方差 .6.在平面直角坐标系中，若中心在坐标原点上的双曲线的一条准线方程为，且它的一个顶点及抛物线的焦点重合，则该双曲线的渐进线方程为 .7.在平面直角坐标系中，若点到直线的

2、距离为，且点在不等式表示的平面区域内，则 .8.在四棱锥中，底面是边长为的菱形，侧棱底面，为的中点，则四面体的体积为 .9.设函数，则“为奇函数”是“”的 条件.（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）10.在平面直角坐标系中，若圆上存在，两点关于点成中心对称，则直线的方程为 .11.在中，则的最小值为 .12.若函数是定义在上的偶函数，且在区间上是单调增函数.如果实数满足时，那么的取值范围是 .13.若关于的不等式对任意的正实数恒成立，则实数的取值范围是 .14.已知等比数列的首项为，公比为，其前项和为，若对恒成立，则的最小值为 .二、解答题(本大题共6小题，计

3、90分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内)15.（本小题满分14分） 在中，角，所对的边分别是，已知，. （1）若的面积等于，求，； （2）若，求的面积.16. （本小题满分14分） 如图，在正三棱柱中，分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面.17.（本小题满分14分）如图，现要在边长为m的正方形内建一个交通“环岛”.正方形的四个顶点为圆心在四个角分别建半径为m（不小于）的扇形花坛，以正方形的中心为圆心建一个半径为m的圆形草地.为了保证道路畅通，岛口宽不小于m，绕岛行驶的路宽均不小于m.（1）求的取值范围；（运算中取）（2）若中间草

4、地的造价为元，四个花坛的造价为元，其余区域的造价为元，当取何值时，可使“环岛”的整体造价最低？18. （本小题满分16分）在平面直角坐标系中，已知过点的椭圆：的右焦点为，过焦点且及轴不重合的直线及椭圆交于，两点，点关于坐标原点的对称点为，直线，分别交椭圆的右准线于，两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）若点的坐标为，试求直线的方程；（3）记，两点的纵坐标分别为，试问是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.19. （本小题满分16分） 已知函数，. （1）若，则，满足什么条件时，曲线及在处总有相同的切线？ （2）当时，求函数的单调减区间； （3）当时，若对任意的恒成立，求的取值的集合.

5、20. （本小题满分16分） 设等差数列的前项和为，已知，. （1）求； （2）若从中抽取一个公比为的等比数列，其中，且，. 当取最小值时，求的通项公式； 若关于的不等式有解，试求的值.南京市、盐城市2014届高三年级第一次模拟考试数学附加题（满分40分，考试时间30分钟）21.选做题（在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分，计20分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内）A（选修41：几何证明选讲）如图，是半径为的圆的两条弦，它们相交于的中点，若，求的长.B（选修42：矩阵及变换）已知曲线：，若矩阵对应的变换将曲线变为曲线，求曲线的方程

6、.C（选修44：坐标系及参数方程）在极坐标系中，圆的方程为，以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数），若直线及圆相切，求实数的值.D（选修45：不等式选讲）已知，为正实数，若，求证：.必做题 （第22、23题，每小题10分，计20分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内）22.（本小题满分10分） 已知点在抛物线：上. （1）若的三个顶点都在抛物线上，记三边，所在直线的斜率分别为，求的值； （2）若四边形的四个顶点都在抛物线上，记四边，所在直线的斜率分别为，求的值.23. （本小题满分10分） 设是给定的正整数

7、，有序数组（）中或.（1）求满足“对任意的，都有”的有序数组（）的个数；（2）若对任意的，都有成立，求满足“存在，使得”的有序数组（）的个数南京市、盐城市2014届高三年级第一次模拟考试数学参考答案说明：1本解答给出的解法供参考如果考生的解法及本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数，填空题不给中间分数一、填

8、空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.11，2 23 3 455 5 6yx 76 8 9必要不充分 10xy30 11. 12，e 13 14二、解答题：15解：（1）由余弦定理及已知条件得，a2b2ab4 2分因为ABC的面积等于，所以absinC，即ab4 4分解方程组得a2，b2 7分（2）由题意，得sin(BA)sin(BA)4sinAcosA，所以sinBcosA2sinAcosA当cosA0时，A所以B所以a，b 10分当cosA0时，得sinB2sinA，所以b2a解方程组得a，b 13分所以ABC的面积SabsinC 14分16证：（1）连结AC1交A1C于点O，连结

9、OE，OF因为正三棱柱ABCA1B1C1是正三棱柱，所以OA1OC因为F为AC中点，所以OFAA1CC1，OFAA1CC1因为E为BB1中点，所以BECC1，BECC1所以OFBE，OFBE所以BEOF是平行四边形所以BFOE 4分因为BF平面A1EC，OE平面A1EC，所以BF平面A1EC 7分（2）因为ABCB，F为AC中点，所以BFAC因为AA1平面ABC，BF平面ABC，所以AA1BF 9分由（1）知BFOE所以OEAC，OEAA1而AC，AA1平面ACC1A1，ACAA1A，所以OE平面ACC1A1 12分因为OE平面A1EC，所以平面A1EC平面ACC1A1 14分17解：（1）由

10、题意得， 4分解得9x15所以x的取值范围是9，15 7分（2）记“环岛”的整体造价为y元则由题意得ya(x2)2axx2104(x2)2x2 (x4x312x2)12104 10分令f(x)x4x312x2则f(x)x34x224x由f(x)0，解得x0(舍去)或x10或x15 12分列表如下：x9(9，10)10(10，15)15f(x) 00f(x) 极小值所以当x10，y取最小值答：当x10 m时，可使“环岛”的整体造价最低 14分18解：（1）由题意，得2a4，即a22分因为c1，所以b23所以椭圆C的标准方程为1 5分（2）因为F(1，0)，B(，)，所以P(，)所以直线AB的斜率

11、为所以直线AB的方程为y(x1) 7分解方程组得点A的坐标为(0，) 9分所以直线PA的方程为yx 10分（3）当直线AB的斜率k不存在时，易得yMyN9当直线AB的斜率k存在时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则B(x2，y2)所以1，1两式相减， 得0 所以kPAk所以kPA 12分所以直线PA的方程为yy2(xx2)所以yM(4x2)y2y2直线PB的方程为yx，所以yN 14分所以yMyN因为1，所以4y123x所以yMyN=9所以yMyN为定值9 16分19解：（1）因为f(x)ex，所以f(0)1又f(0)1，所以yf(x)在x0处的切线方程为yx1 2分因为g(x)2axb

12、，所以g(0)b又g(0)1，所以yg(x)在x0处的切线方程为ybx1 所以当aR且b1时，曲线yf(x)及yg(x)在x0处总有相同的切线4分（2）当a1时，h(x)，h(x) 7分由h(x)0，得x1或x1b所以当b0时，函数yh(x)的减区间为(，1b)，(1，)当b0时，函数yh(x)的减区间为(，)当b0时，函数yh(x)的减区间为(，1)，(1b，) 10分（3）当a0时，则(x)f(x)g(x)exbx1，(x)exb当b0时，(x)0，函数(x)在R上是增函数因为(0)0，所以x0时，(x)0，及函数f(x)g(x)矛盾 12分当b0时，由(x)0，得xlnb，(x)0，得x

13、lnb，所以函数(x)在(，lnb)上是减函数，在(lnb，)上是增函数（）当0b1时，lnb0，(0)0，所以(lnb)0，及函数f(x)g(x)矛盾（）当b1时，同理(lnb)0，及函数f(x)g(x)矛盾（）当b1时，lnb0，所以函数(x)在(，0)上是减函数，在(0，)上是增函数所以(x)(0)0故b1满足题意综上所述，b的取值的集合为1 16分20解：（1）设等差数列的公差为d，则S66a115d22，a12，所以d2分所以Sn an(n2) 4分（2）因为数列an是正项递增等差数列，所以数列ak的公比q1要使q最小，只需要k2最小即可若k22，则由a2，得q，此时akan，所以k

14、22，同理k23 6分若k24，则由a44，得q2，此时ak2n因为ak(kn2)，所以kn32n12 10分（3）因为ak(kn2)2qn1，所以kn3qn12(q1)当q不是自然数时，kn不全是正整数，不合题意，所以q2，qN*.不等式6Snkn1有解，即1有解经检验，当q2，3，4时，n1都是1的解，适合题意 12分以下证明当q5时，不等式1恒成立 设bn则(1)(1) (1)因为f(n)(n3)1在nN*上是增函数，所以f(1)f(n)，即f(n)所以 14分因为q5，所以1所以数列bn是递减数列所以bnb11综上所述，q的取值为2，3，4 16分南京市、盐城市2014届高三年级第一次

15、模拟考试 数学附加题参考答案及评分标准 2014.01说明：1本解答给出的解法供参考如果考生的解法及本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数，填空题不给中间分数21【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分请在答卷纸指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修41：

16、几何证明选讲解：因为P为AB中点，所以OPAB所以PB 5分 因为PCPDPAPBPB2，PC，所以PD 10分B选修42：矩阵及变换解：设曲线C上一点(x，y)对应于曲线C上一点(x，y)由 ，得xyx，xyy 5分所以x(xy)，y(yx)因为xy1，所以y2x22所以曲线C的方程为y2x22 10分C选修44：坐标系及参数方程解：直线l的普通方程为4x3y20，圆C的直角坐标方程为(xa)2y2a2 5分 由题意，得|a|，解得a2或a 10分D选修45：不等式选讲证： 因为x1，x2，x3为正实数，所以x1x2x32222(x1x2x3)2即1 10分22（本小题满分10分）解：（1）

17、由点A(1，2)在抛物线My22px上，得p2所以抛物线M的方程为y24x 3分设B(，y1)，C(，y2)所以1 7分（2）设D(，y3)则0 10分23设m是给定的正整数，有序数组(a1，a2，a3，a2m)中，ai2或2(1i2m)（1）求满足“对任意的1km，都有1”的有序数组(a1，a2，a3，a2m)的个数A；（2）若对任意的1klm，都有|ai|4成立，求满足“存在1km，使得1”的有序数组(a1，a2，a3，a2m)的个数B解：（1）因为对任意的1km，都有1，所以(a2k1，a2k)(2，2)或(a2k1，a2k)(2，2)共有2种情况由乘法原理，得序数组(a1，a2，a3，a2m)的个数A2m 5分（2）当存在一个k时，那么这一组有2C种，其余的由（1）知有2m1种，所有共有2C2m1种当存在二个k时，因为对任意的1klm，都有|ai|4成立，所以这两组共有2C种，其余的由（1）知有2m2种，所有共有2C2m2种依次类推得：B2C2m12C2m22C2(3m2m) 10分第 10 页