数学同步练习题考试题试卷教案点直线平面之间的位置关系练习题.doc

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1、第二章 点、直线、平面之间的位置关系一、选择题1 给出下列关于互不相同的直线m、l、n和平面、的四个命题：若；若m、l是异面直线，；若；若其中为假命题的是ABCD2.设为两两不重合的平面，为两两不重合的直线，给出下列四个命题：若，则；若，则；若，则；若，则其中真命题的个数是 A1 B2 C3 D43已知m、n是两条不重合的直线，、是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：若； 若；若；若m、n是异面直线，。其中真命题是A和B和C和D和4已知直线及平面，下列命题中的假命题是 A若，则. B若，则. C若，则. D若，则.5在正四面体PABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论

2、中不成立的是 ABC平面PDF BDF平面PAE C平面PDF平面ABC D平面PAE平面ABC6有如下三个命题：分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线；垂直于同一个平面的两条直线是平行直线；过平面的一条斜线有一个平面及平面垂直其中正确命题的个数为A0 B1 C2 D37下列命题中，正确的是A经过不同的三点有且只有一个平面B分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线C垂直于同一个平面的两条直线是平行直线D垂直于同一个平面的两个平面平行8已知直线m、n及平面，给出下列三个命题： 若 若 若 其中真命题的个数是A0 B1 C2 D39已知a、b、c是直线，是平面，给出下列命题： 若；若；若；若a及

3、b异面，且相交； 若a及b异面，则至多有一条直线及a，b都垂直. 其中真命题的个数是A1B2C3D410过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有A18对 B24对 C30对 D36对11正方体中，、分别是、的中点那么，正方体的过、的截面图形是A三角形 B四边形 C五边形 D六边形12不共面的四个定点到平面的距离都相等，这样的平面共有A3个 B4个 C6个 D7个13设为平面，为直线，则的一个充分条件是ABC D14设、 为两个不同的平面，l、m为两条不同的直线，且l，m，有如下的两个命题：若，则lm；若lm，则那么A是真命题，是假命题 B 是假命题，是真命题C 都是真命题 D都是假命

4、题15对于不重合的两个平面及，给定下列条件：存在平面，使得、都垂直于；存在平面，使得、都平行于；内有不共线的三点到的距离相等；存在异面直线l、m，使得l/，l/，m/，m/，其中，可以判定及平行的条件有A1个B2个C3个D4个二、填空题1已知平面和直线m，给出条件：；.（i）当满足条件 时，有；（ii）当满足条件 时，有（填所选条件的序号）2在正方形中，过对角线的一个平面交于E，交于F，则 四边形一定是平行四边形 四边形有可能是正方形 四边形在底面ABCD内的投影一定是正方形 四边形有可能垂直于平面以上结论正确的为 （写出所有正确结论的编号）3下面是关于三棱锥的四个命题：底面是等边三角形，侧面

5、及底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥侧棱及底面所成的角相等，且侧面及底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥其中，真命题的编号是_（写出所有真命题的编号）4已知m、n是不同的直线，是不重合的平面，给出下列命题：若则 若则若,则m、n是两条异面直线，若则上面命题中，真命题的序号是_(写出所有真命题的序号)5 已知m、n是不同的直线，是不重合的平面，给出下列命题： 若，则平行于平面内的任意一条直线 若则 若,则若,则 上面命题中，真命题的序号是_(写出所有真命题的序号)6连接抛物线上任意

6、四点组成的四边形可能是 （填写所有正确选项的序号）菱形有3条边相等的四边形梯形平行四边形有一组对角相等的四边形三、计算题如图11 如图1所示，在四面体PABC中，已知PA=BC=6，PC=AB=10，AC=8，PB=.F是线段PB上一点，点E在线段AB上，且EFPB. （）证明：PB平面CEF； （）求二面角BCEF的大小.解（I）证明：PAC是以PAC为直角的直角三角形，同理可证PAB是以PAB为直角的直角三角形，PCB是以PCB为直角的直角三角形故PA平面ABC又而故CFPB,又已知EFPBPB平面CEF（II）由（I）知PBCE, PA平面ABCAB是PB在平面ABC上的射影，故ABCE

7、在平面PAB内，过F作FF1垂直AB交AB于F1，则FF1平面ABC，EF1是EF在平面ABC上的射影，EFEC故FEB是二面角BCEF的平面角二面角BCEF的大小为2如图，在五棱锥SABCDE中，SA底面ABCDE，SA=AB=AE=2， 求异面直线CD及SB所成的角（用反三角函数值表示）； 证明：BC平面SAB； 用反三角函数值表示二面角BSCD的大小（本小问不必写出解答过程）解（）连结BE，延长BC、ED交于点F，则DCF=CDF=600，CDF为正三角形，CF=DF又BC=DE，BF=EF因此，BFE为正三角形，FBE=FCD=600，BE/CD所以SBE（或其补角）就是异面直线CD及

8、SB所成的角SA底面ABCDE，SA=AB=AE=2，SB=，同理SE=，又BAE=1200，所以BE=，从而，cosSBE=，SBE=arccos所以异面直线CD及SB所成的角是arccos() 由题意，ABE为等腰三角形，BAE=1200，ABE=300，又FBE =600， ABC=900，BCBASA底面ABCDE，BC底面ABCDE，SABC，又SABA=A， BC平面SAB（）二面角B-SC-D的大小3 已知三棱锥PABC中，E、F分别是AC、AB的中点,ABC，PEF都是正三角形，PFAB. （）证明PC平面PAB； （）求二面角PABC的平面角的余弦值； （）若点P、A、B、C

9、在一个表面积为12的 球面上，求ABC的边长.解 本小题主要考查空间中的线面关系，三棱锥、球的有关概念及解三角形等基础知识，考查空间想象能力及运用方程解未知量的基本方法。（）证明： 连结CF. （）解法一：为所求二面角的平面角. 设AB=a，则AB=a，则解法二：设P在平面ABC内的射影为O. 得PA=PB=PC. 于是O是ABC的中心. 为所求二面角的平面角.设AB=a，则 （）解法一：设PA=x，球半径为R. ，的边长为. 解法二：延长PO交球面于D，那么PD是球的直径.连结OA、AD，可知PAD为直角三角形. 设AB=x，球半径为R.4. 已知正三棱锥的体积为，侧面及底面所成的二面角的大

10、小为。 （1）证明：； （2）求底面中心到侧面的距离. 证明（1）取边的中点，连接、， 则，故平面. （2）如图， 由（1）可知平面平面，则是侧面及底面所成二面角的平面角. 过点作为垂足，则就是点到侧面的距离. 设为，由题意可知点在上， 即底面中心到侧面的距离为3. 5如图,在直四棱柱 中,，垂足为()求证;()求二面角的大小;()求异面直线及所成角的大小 解 （I）在直四棱柱ABCDAB1C1D1中，AA1底面ABCD AC是A1C在平面ABCD上的射影 BDAC BDA1C；（II）连结A1E，C1E，A1 C1 及（I）同理可证BDA1E，BDC1E， A1EC1为二面角A1BDC1的平

11、面角 ADDC， A1D1C1=ADC90， 又A1D1=AD2，D1C1= DC2，AA1=且 ACBD， A1C14，AE1，EC3， A1E2，C1E2， 在A1EC1中，A1C12A1E2C1E2， A1EC190， 即二面角A1BDC1的大小为90（III）过B作 BF/AD交 AC于 F，连结FC1，则C1BF就是AD及BC1所成的角 ABAD2， BDAC，AE1， BF=2，EF1，FC2，BCDC， FC1=，BC1，在BFC1 中，, C1BF=即异面直线AD及BC1所成角的大小为解法二：（）同解法一（）如图，以D为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系 连

12、结及(1)同理可证, 为二面角的平面角.由得 即二面角的大小为（）如图,由,得异面直线及所成角的大小为解法三：（）同解法一.（）如图,建立空间直角坐标系,坐标原点为E.连结.及（）同理可证为二面角的平面角由得即二面角的大小为6如图, 在直三棱柱中， ，点为的中点 ()求证;() 求证;()求异面直线及所成角的余弦值 解（I）直三棱柱ABCA1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4，AB=5， ACBC，且BC1在平面ABC内的射影为BC， ACBC1；（II）设CB1及C1B的交点为E，连结DE， D是AB的中点，E是BC1的中点， DE/AC1， DE平面CDB1，AC1平面CDB1， AC

13、1/平面CDB1；（III） DE/AC1， CED为AC1及B1C所成的角，在CED中，ED=AC 1=，CD=AB=，CE=CB1=2， 异面直线 AC1及 B1C所成角的余弦值.解法二： 直三棱锥底面三边长，两两垂直如图建立坐标系，则C(0,0,0),A(3,0,0),C1(0,0,4),B(0,4,0),B1(0,4,4),D(,2,0)()设及的交点为E，则E(0,2,2)异面直线及所成角的余弦值为7如图，正三角形ABC的边长为3，过其中心G作BC边的平行线，分别交AB、AC于、将沿折起到的位置，使点在平面上的射影恰是线段BC的中点M求：（1）二面角的大小；（2）异面直线及所成角的大

14、小（用反三角函数表示）解 本小题主要考查直线及平面的位置关系等基本知识，考查空间想象能力，罗辑思维能力和运算能力 （）连接AM，A1GG是正三角形ABC的中心，且M为BC的中点，A，G，M三点共线，AMBCB1C1BC，B1C1AM于G，即GMB1C1，GA1B1C1，A1GM是二面角A1B1C1M的平面角点A1在平面BB1C1C上的射影为M，A1MMG，A1MG=90在RtA1GM中，由A1G=AG=2GM得A1GM=90即二面角A1B1C1M的大小是60（）过B1作C1C的平行线交BC于P，则A1B1P等于异面直线A1B1及CC1所成的角由PB1C1C是平行四边形得B1P=C1C=1=BP

15、，PM=BMBP=A1B1=AB1=2A1M面BB1C1C于M， A1MBC，A1MP=90在RtA1GM中，A1M=A1G在RtA1MP中，在A1B1P中，由余弦定理得，异面直线A1B1及CC1所成角的大小为arccos8如图，正三棱锥SABC中，底面的边长是3，棱锥的侧面积等于底面积的2倍，M是BC的中点.求：（）的值；（）二面角SBCA的大小；（）正三棱锥SABC的体积.解 本小题主要考查直线及平面的位置关系等基本知识，考查空间想象能力，罗辑思维能力和运算能力 （）SB=SC，AB=AC，M为BC中点， SMBC，AMBC.由棱锥的侧面积等于底面积的2倍，即（）作正三棱锥的高SG，则G为

16、正三角形ABC的中心，G在AM上，SMBC，AMBC， SMA是二面角SBCA的平面角.在RtSGM中， SMA=SMG=60，即二面角SBCA的大小为60。（）ABC的边长是3，9如图，直二面角DABE中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF平面ACE.（）求证AE平面BCE；（）求二面角BACE的大小；（）求点D到平面ACE的距离.解本题主要考查直线、直线和平面基点和平面的距离等基础知识，考察空间想象能力，逻辑思维能力和运算能力（I）（II）连结AC、BD交于G，连结FG，ABCD为正方形，BDAC，BF平面ACE，FGAC，FGB为二面角B-AC-E的平面

17、角，由（I）可知，AE平面BCE，AEEB，又AE=EB，AB=2，AE=BE=，在直角三角形BCE中，CE=在正方形中，BG=，在直角三角形BFG中，二面角B-AC-E为（III）由（II）可知，在正方形ABCD中，BG=DG，D到平面ACB的距离等于B到平面ACE的距离，BF平面ACE，线段BF的长度就是点B到平面ACE的距离，即为D到平面ACE的距离所以D到平面的距离为另法：过点E作交AB于点O. OE=1.二面角DABE为直二面角，EO平面ABCD.设D到平面ACE的距离为h， 平面BCE， 点D到平面ACE的距离为解法二：（）同解法一.（）以线段AB的中点为原点O，OE所在直线为x轴

18、，AB所在直线为y轴，过O点平行于AD的直线为z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，如图.面BCE，BE面BCE， ，在的中点， 设平面AEC的一个法向量为，则 解得令得是平面AEC的一个法向量.又平面BAC的一个法向量为，二面角BACE的大小为（III）AD/z轴，AD=2，点D到平面ACE的距离10 如图，在四棱锥PABC中，底面ABCD为矩形，侧棱PA底面ABCD，AB=，BC=1，PA=2，E为PD的中点（）求直线AC及PB所成角的余弦值；（）在侧面PAB内找一点N，使NE面PAC，并求出N点到AB和AP的距离 解 解法一：（）建立如图所示的空间直角坐标系，则A、B、C、D、P、E的坐标分

19、别为A（0，0，0），B（，0，0），C（，1，0），D（0，1，0），P（0，0，2），E（0，2）从而=（，1，0），=（，0，-2）设及的夹角为，则，AC及PB所成角的余弦值为（）由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为（x，0，z），则由NE面PAC可得：即化简得即N点的坐标为（，0，1），从而N点到AB、AP的距离分别为1，解法二：（）设ACBD=O，连OE，则OE/PB，EOA即为AC及PB所成的角或其补角在AOE中，AO=1，OE=PB=，AE=PD=，即AC及PB所成角的余弦值为（）在面ABCD内过D作AC的垂线交AB于F，则连PF，则在RtADF中DF=设N为PF的中点，连N

20、E，则NE/DF，DFAC，DFPA，DF面PAC从而NE面PACN点到AB的距离=AP=1，N点到AP的距离=AF=11如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截面而得到的，其中AB=4，BC=2，CC1=3，BE=1 （）求BF的长； （）求点C到平面AEC1F的距离解 本小题主要考查线面关系和空间距离的求法等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力解法1：（）过E作EH/BC交CC1于H，则CH=BE=1，EH/AD，且EH=AD.又AFEC1，FAD=C1EH.RtADFRtEHC1. DF=C1H=2.（）延长C1E及CB交于G，连AG，则平面AEC1F及平面

21、ABCD相交于AG.过C作CMAG，垂足为M，连C1M，由三垂线定理可知AGC1M.由于AG面C1MC，且AG面AEC1F，所以平面AEC1F面C1MC.在RtC1CM中，作CQMC1，垂足为Q，则CQ的长即为C到平面AEC1F的距离解法2：（I）建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），B（2，4，0），A（2，0，0），C（0，4，0），E（2，4，1），C1（0，4，3）.设F（0，0，z）.AEC1F为平行四边形，（II）设为平面AEC1F的法向量，的夹角为a，则C到平面AEC1F的距离为12图1 图2如图1，已知ABCD是上下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴O

22、O1折成直二面角，如图2.（）证明：ACBO1；（）求二面角OACO1的大小.解 解法一（I）证明 由题设知OAOO1，OBOO1.所以AOB是所折成的直二面角的平面角，即OAOB. 故可以O为原点，OA、OB、OO1所在直线分别为轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，图3如图3，则相关各点的坐标是A（3，0，0），B（0，3，0），C（0，1，）O1（0，0，）.从而所以ACBO1. （II） 因为所以BO1OC，由（I）ACBO1，所以BO1平面OAC，是平面OAC的一个法向量.设是0平面O1AC的一个法向量，由 得. 设二面角OACO1的大小为，由、的方向可知，所以cos，=即二面角OACO

23、1的大小是解法二（I）证明 由题设知OAOO1，OBOO1，所以AOB是所折成的直二面角的平面角，即OAOB. 从而AO平面OBCO1， OC是AC在面OBCO1内的射影.因为 ，图4所以OO1B=60，O1OC=30，从而OCBO1由三垂线定理得ACBO1.（II）解 由（I）ACBO1，OCBO1，知BO1平面AOC.设OCO1B=E，过点E作EFAC于F，连结O1F（如图4），则EF是O1E在平面AOC内的射影，由三垂线定理得O1FAC.所以O1FE是二面角OACO1的平面角. 由题设知OA=3，OO1=，O1C=1，所以，从而，又O1E=OO1sin30=，所以 即二面角OACO1的大

24、小是13 如图，在长方体ABCDA1B1C1D1，中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动. （1）证明：D1EA1D； （2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离； （3）AE等于何值时，二面角D1ECD的大小为. 解 解法（一）（1）证明：AE平面AA1DD1，A1DAD1，A1DD1E（2）设点E到面ACD1的距离为h，在ACD1中，AC=CD1=，AD1=，故（3）过D作DHCE于H，连D1H、DE，则D1HCE， DHD1为二面角D1ECD的平面角. 设AE=x，则BE=2x解法（二）：以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，设

25、AE=x，则A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0）C（0，2，0）（1）（2）因为E为AB的中点，则E（1，1，0），从而，设平面ACD1的法向量为，则也即，得，从而，所以点E到平面AD1C的距离为（3）设平面D1EC的法向量，由 令b=1, c=2,a=2x，依题意（不合，舍去）， .AE=时，二面角D1ECD的大小为.14 已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，ABDC，底面ABCD，PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中点（）证明：面PAD面PCD；（）求AC及PB所成的角；（）求面AMC及面BMC所成二面角的大小解 本小题主要考查直线及平面垂直、

26、直线及平面所成角的有关知识及思维能力和空间想象能力.考查应用向量知识解决数学问题的能力方案一：（）证明：PA面ABCD，CDAD，由三垂线定理得：CDPD.因而，CD及面PAD内两条相交直线AD，PD都垂直，CD面PAD.又CD面PCD，面PAD面PCD. （）解：过点B作BE/CA，且BE=CA， 则PBE是AC及PB所成的角.连结AE，可知AC=CB=BE=AE=，又AB=2，所以四边形ACBE为正方形. 由PA面ABCD得PEB=90在RtPEB中BE=，PB=， （）解：作ANCM，垂足为N，连结BN.在RtPAB中，AM=MB，又AC=CB， AMCBMC,BNCM，故ANB为所求二

27、面角的平面角CBAC，由三垂线定理，得CBPC，在RtPCB中，CM=MB，所以CM=AM.在等腰三角形AMC中，ANMC=，. AB=2，故所求的二面角为方法二：因为PAPD，PAAB，ADAB，以A为坐标原点AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为A（0，0，0）B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），P（0，0，1），M（0，1，.（）证明：因又由题设知ADDC，且AP及及AD是平面PAD内的两条相交直线，由此得DC面PAD.又DC在面PCD上，故面PAD面PCD（）解：因由此得AC及PB所成的角为（）解：在MC上取一点N（x，y，z），则存在使要使为所求二面

28、角的平面角.15 如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD垂直于底面ABCD，AD=PD，E、F分别为CD、PB的中点（）求证：EF垂直于平面PAB；（）设AB=BC，求AC及平面AEF所成的角的大小解 本题主要考查直线及平面垂直、直线及平面所成角的有关知识，及思维能力和空间想象能力，考查应用向量知识解决数学问题的能力。方法一：（）证明：连接EP。PD底面ABCD，DE在平面ABCD内， PDDE，又CE=ED，PD=AD=BC。RtBCERtPDE PE=BE.F为PB的中点 EFPB。由三垂线定理得：PAAB。 在RtPAB中，PF=AF，又PE=BE=EA，EFPEFA。EF

29、FAPB、FA为平面PAB内的相交直线。 EF平面PAB。（II）解：不妨设BC=1，则AD=PD=1。 方法二： 以D为坐标原点，DA的长为单位，建立如图所示的直角坐标系。（）解：16 在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形,平面VAD底面ABCD（）证明AB平面VAD（）求面VAD及面VDB所成的二面角的大小解 证明：（）作AD的中点O，则VO底面ABCD 建立如图空间直角坐标系，并设正方形边长为1， 则A（，0，0），B（，1，0），C（-，1，0），D（-，0，0），V（0，0，），由 又ABAV=AAB平面VAD （）由（）得是面VAD的法向量设是面VDB

30、的法向量，则又由题意知，面VAD及面VDB所成的二面角，所以其大小为 17 如图，已知长方体，直线及平面所成的角为，垂直于为的中点（）求异面直线及所成的角；（）求平面及平面所成二面角（锐角）的大小；（）求点到平面的距离解 (考查知识点：立体几何)解法一：（向量法）在长方体中，以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系如图由已知，可得又平面，从面及平面所成的角即为又从而易得即异面直线、所成的角为（）易知平面的一个法向量设是平面的一个法向量由 取即平面及平面所成二面角（锐角）大小为（）点A到平面BDF的距离，即在平面BDF的法向量上的投影的绝对值所以距离所以点A到平面BDF的距离

31、为解法二：(几何法)（）连结，过F作的垂线，垂足为K，及两底面ABCD，都垂直，又因此为异面直线及所成的角 连结BK，由FK面得， 从而 为 在 和中， 由得 又， 异面直线及所成的角为（）由于面由作的垂线，垂足为，连结，由三垂线定理知即为平面及平面所成二面角的平面角且，在平面中，延长及；交于点为的中点、分别为、的中点 即，为等腰直角三角形，垂足点实为斜边的中点F，即F、G重合易得，在中，即平面于平面所成二面角（锐角）的大小为（）由（）知平面是平面及平面所成二面角的平面角所在的平面面在中，由作AHDF于H，则AH即为点A到平面BDF的距离 由AHDF=ADAF，得所以点A到平面BDF的距离为1

32、8 已知直四棱柱中，底面是直角梯形，求异面直线及所成的角的大小（结果用反三角函数表示）解 由题意ABCD,C1BA是异面直线BC1及DC 所成的角.连结AC1及AC,在RtADC中,可得AC=. 又在RtACC1中,可得AC1=3. 在梯形ABCD中,过C作CHAD交AB于H,得CHB=90,CH=2,HB=3, CB=.又在RtCBC1中,可得BC1=,在ABC1中,cosC1BA=,C1BA=arccos异面直线BC1及DC所成角的大小为arccos另解:如图,以D为坐标原点,分别以DA、DC、DD1所在直线为x、y、z轴建立直角坐标系. 则C1(0,1,2),B(2,4,0), =(2,

33、3,2),=(0,1,0),设及所成的角为,则cos=,= arccos.异面直线BC1及DC所成角的大小为arccos19如图，在斜三棱柱中，侧面及底面ABC所成的二面角为，E、F分别是棱的中点（）求及底面ABC所成的角（）证明平面（）求经过四点的球的体积 解 （）过作平面，垂足为连结，并延长交于，于是为及底面所成的角，为的平分线又，且为的中点因此，由三垂线定理，且，于是为二面角的平面角，即由于四边形为平行四边形，得（）证明：设及的交点为，则点为的中点连结在平行四边形中，因为的中点，故而平面，平面，所以平面（）连结在和中，由于，则，故由已知得又平面，为的外心设所求球的球心为，则，且球心及中点

34、的连线在中，故所求球的半径，球的体积20如图，在三棱锥PABC中，ABBC，ABBCkPA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP底面ABC ()当k时，求直线PA及平面PBC所成角的大小； () 当k取何值时，O在平面PBC内的射影恰好为PBC的重心？解 本题主要考查空间线面关系、空间向量的概念及运算等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力方法一：() O、D分别为AC、PC 又， PA及平面PBC所成的角的大小等于，（）由()知， F是O在平面PBC内的射影D是PC的中点，若点F是的重心，则B，F，D三点共线，直线OB在平面PBC内的射影为直线BD，即反之，当时，三棱锥为正三棱锥，O在

35、平面PBC内的射影为的重心方法二：以O为原点，射线OP为非负z轴，建立空间直角坐标系（如图）设则，设，则()D为PC的中点，又， ()，即，可求得平面PBC的法向量， ，设PA及平面PBC所成的角为，则，（）的重心， ，又，即，反之，当时，三棱锥为正三棱锥，O在平面PBC内的射影为的重心21 如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AB侧面BB1C1C，E为棱CC1上异于C、C1的一点，EAEB1，已知AB=，BB1=2，BC=1，BCC1=，求： （）异面直线AB及EB1的距离； （）二面角AEB1A1的平面角的正切值. 解 解法一： （）因AB面BB1C1C，故ABBE. 又EB1EA，且EA

36、在面BCC1B1内的射影为EB.由三垂线定理的逆定理知EB1BE，因此BE是异面直线AB及EB1的公垂线，在平行四边形BCC1B1中，设EB=x，则EB1=，作BDCC1，交CC1于D，则BD=BC在BEB1中，由面积关系得.（负根舍去）解之得CE=2，故此时E及C1重合，由题意舍去.因此x=1，即异面直线AB及EB1的距离为1. （）过E作EG/B1A1，则GE面BCC1B1，故GEEB1且GE在面A1B1E内，又已知AEEB1 故AEG是二面角AEB1A1的平面角.因EG/B1A1/BA，AEG=BAE，故解法二：而BB1C1C得ABEB1从而=0.设O是BB1的中点，连接EO及OC1，则

37、在RtBEB1中，EO=BB1=OB1=1，因为在OB1C1中，B1C1=1，OB1C1=，故OB1C1是正三角形，所以OC1=OB1=1，又因OC1E=B1C1CB1C1O=故OC1E是正三角形，所以C1E=1，故CE=1，易见BCE是正三角形，从面BE=1，即异面直线AB及EB1的距离是1.（）由（I）可得AEB是二面角AEB1B的平面角，在RtABE中，由AB=，BE=1，得tanAEB=. 又由已知得平面A1B1E平面BB1C1C，故二面角AEB1A1的平面角，故解法三： （I）以B为原点，、分别为y、z轴建立空间直角坐标系. 由于BC=1，BB1=2，AB=，BCC1=，在三棱柱AB

38、CA1B1C1中有B（0，0，0），A（0，0，），B1（0，2，0），设又AB面BCC1B1，故ABBE. 因此BE是异面直线AB、EB1的公垂线，则，故异面直线AB、EB1的距离为1.（II）由已知有故二面角AEB1A1的平面角的大小为向量的夹角. 22如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PD底面ABCD，E是AB上一点，PEEC. 已知求 （）异面直线PD及EC的距离； （）二面角EPCD的大小. 解 解法一：（）因PD底面，故PDDE，又因ECPE，且DE是PE在面ABCD内的射影，由三垂直线定理的逆定理知ECDE，因此DE是异面直线PD及EC的公垂线.设DE=x，因DAE

39、CED，故（负根舍去）.从而DE=1，即异面直线PD及EC的距离为1. （）过E作EGCD交CD于G，作GHPC交PC于H，连接EH. 因PD底面，故PDEG，从而EG面PCD.因GHPC，且GH是EH在面PDC内的射影，由三垂线定理知EHPC.因此EHG为二面角的平面角.在面PDC中，PD=，CD=2，GC=因PDCGHC，故，又故在即二面角EPCD的大小为解法二：（）以D为原点，、分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系.由已知可得D（0，0，0），P（0，0，C（0，2，0）设由，即 由，又PDDE，故DE是异面直线PD及CE的公垂线，易得，故异面直线PD、CE的距离为1.（）作DGPC，可设G（0，y，z）.由得即作EFPC于F，设F（0，m，n），则由，又由F在PC上得因故平面EPCD的平面角的大小为向量的夹角.故 即二面角EPCD的大小为选择题、填空题答案一、选择题1C 2. B 3D 4D 5 C 6C 7C 8C9A 10D 11D 12B 13D 14D 15B 二、填空题