2022年全参数方程与极坐标 .pdf

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1、实用标准文案文档参数方程与极坐标参数方程知识回顾：一、定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y 都是某个参数t 的函数，即)()(tfytfx，其中，t 为参数，并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点M（x，y）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x、y 之间关系的变数t叫做参变数，简称参数二、二次曲线的参数方程1、圆的参数方程：中心在（x0，y0），半径等于r 的圆：sincos00ryyrxx（为参数，的几何意义为圆心角），特殊地，当圆心是原点时，sincosryrx注意：参数方程没有直接体现曲线上点的横纵坐标之间的关系，而是分别体现了点的横纵坐标与

2、参数间的关系。Eg1：已知点 P（x，y）是圆 x2+y2-6x-4y+12=0上的动点，求：（1）x2+y2的最值；（2）x+y 的最值；（3）点 P到直线 x+y-1=0 的距离 d 的最值。Eg2：将下列参数方程化为普通方程（1）x=2+3cos（2）x=sin（3）x=t+t1 y=3sin y=cos y=t2+21t总结：参数方程化为普通方程步骤：（1）消参（2）求定义域2、椭圆的参数方程：中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆：sincosbyax（为参数，的几何意义是离心角，如图角AON 是离心角）注意：离心率和离心角没关系，如图，分别以椭圆的长轴和短轴为半径画两个同心圆，M点的轨迹

3、是椭圆，中心在（x0，y0）椭圆的参数方程：sincos00byyaxx名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 10 页 -实用标准文案文档Eg：求椭圆203622yx=1上的点到M（2,0）的最小值。3、双曲线的参数方程：中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线：tansecbyax（为参数，代表离心角），中心在（x0，y0），焦点在x 轴上的双曲线：tansec00byyaxx4、抛物线的参数方程：顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上的抛物线：ptyptx222（t 为参数，p0，t 的几何意义为过圆点的直线的斜率的倒数）直线方程与抛物线方程联立即可得到。三、一次曲线（直线）的

4、参数方程过定点 P0（x0，y0），倾角为的直线，P 是直线上任意一点，设P0P=t，P0P叫点 P到定点P0的有向距离，在 P0两侧 t 的符号相反，直线的参数方程sincos00tyytxx（t 为参数，t 的几何意义为有向距离）说明：t 的符号相对于点P0，正负在P0点两侧 P0P=t 直线参数方程的变式：btyyatxx00，但此时 t 的几何意义不是有向距离，只有当t 前面系名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 10 页 -实用标准文案文档数的平方和是1 时，几何意义才是有向距离，所以，将上式进行整理，得)()(2222022220tbababyytbabaa

5、xx，让tba22作为 t，则此时t 的几何意义是有向距离。Eg：求直线 x=-1+3t y=2-4t，求其倾斜角.极坐标知识回顾：一、定义：在平面内取一个定点O，叫做极点，引一条射线Ox，叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。对于平面内的任意一点M，用表示线段OM 的长度，表示从 Ox到 OM的角，叫做点M的极径，叫做点M的极角，有序数对(,)就叫做点M的极坐标。这样建立的坐标系叫做极坐标系。练习:在同一直角坐标系中，画出以下四个点A（1，4）B（2，23）C（3，-4）思考：上述点关于极轴以及极点的对称点说明：（1）极坐标有四个要素：极点；极轴；长度单位,即极径；角

6、度单位及它的方向，即极角（2）在极坐标系下，一对有序实数、对应唯一点P(，)，但平面内任一个点P的极坐标不唯一，因为具有周期.（3）如无特殊要求，则极径取正值.直角坐标与极坐标的互化：直角坐标（x，y）极坐标（，）xMO图1名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 10 页 -实用标准文案文档=22yxtan=xy极坐标（，）直角坐标（x，y）x=cosy=sin练习 1：将下列直角坐标化为极坐标A（1，-1）B（1，）练习 2：将下列极坐标化为直角坐标A（2，32）B（1，2）练习 3：分别求下列条件中AB中点的极坐标（1）（4，3）（6，-32）；（2）（4，3）（6，

7、32）二、直线的极坐标方程0或0+cosacosasinasina三、圆的极坐标方程00 xOM图1（，）cosaaOM图2cosaaOM图3sinaOM图4asinaOM图5a名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 10 页 -实用标准文案文档acos2acos2asin2asin2a四、圆锥曲线统一方程（椭圆、抛物线、双曲线）设OA=P eMNMO，epcoscos1eep其中，当0e1 为双曲线考点一：直线参数方程中参数的意义1已知直线l经过点(1,1)P,倾斜角6，（1）写出直线l的参数方程。（2）设l与圆422yx相交与两点,A B，求点P到,A B两点的距离之

8、积。aaxOM图1cos2aaxOM图2cos2aaxOM图3sin2aaxOM图4sin2aaxOM图5名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 10 页 -实用标准文案文档解：（1）直线的参数方程为1cos61sin6xtyt，即312112xtyt（2）把直线312112xtyt代入422yx得22231(1)(1)4,(31)2022tttt1 22t t，则点P到,A B两点的距离之积为22过点10(,0)2P作倾斜角为的直线与曲线22121xy交于点,M N，求PMPN的值及相应的的值。解：设直线为10cos()2sinxttyt为参数，代入曲线并整理得223(

9、1 sin)(10cos)02tt则1 22321 sinPMPNt t所以当2sin1时，即2，PMPN的最小值为34，此时2。3直线12()2xttyt为参数被圆229xy截得的弦长为 .【解析】：21512521155xtxtytyt，把直线122xtyt代入229xy得222(12)(2)9,5840tttt2212121 281612()4()555ttttt t，弦长为1212555tt名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 10 页 -实用标准文案文档4直线112()33 32xttyt为参数和圆2216xy交于,A B两点，则AB的中点坐标为_ 解：221

10、3(1)(3 3)1622tt，得2880tt，12128,42tttt中点为11432333 342xxyy考点二：用极坐标方程、参数方程研究有关的位置关系的判定1直线cossinxtyt与圆42cos2sinxy相切，则_。2在极坐标系中，已知圆cos2与直线0sin4cos3a相切，求实数a的值。考点三：用极坐标方程、参数方程研究有关的交点问题1在极坐标系20,中，曲线sin2与1cos的交点的极坐标为 _2.已知两曲线参数方程分别为5 cos(0)sinxy 和25()4xttRyt，它们的交点极坐标为 .考点四：用极坐标方程、参数方程研究有关的距离问题一、1求直线11:()53xtl

11、tyt为参数和直线2:2 30lxy的交点P的坐标，及点P与(1,5)Q的距离。2已知直线11 3:()24xtltyt为参数与直线2:245lxy相交于点B，又点(1,2)A，则AB_。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 10 页 -实用标准文案文档3直线122()112xttyt为参数被圆224xy截得的弦长为_。二、距离最大最小问题4在椭圆2211612xy上找一点，使这一点到直线2120 xy的距离的最小值。解：设椭圆的参数方程为4cos2 3 sinxy，4cos4 3 sin125d4 54 5cos3sin32cos()3553当cos()13时，min

12、4 55d，此时所求点为(2,3)。5点P在椭圆221169xy上，求点P到直线3424xy的最大距离和最小距离。解：设(4cos,3sin)P，则12cos12sin245d即122 cos()2445d，当cos()14时，max12(22)5d；当cos()14时，min12(22)5d。考点五：极坐标方程与参数方程混合1 在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为23,2252xtyt（t 为参数）。在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为2 5sin。（）求圆 C的直角坐标方程；（）设圆 C与直线l交于点 A、B，若点 P

13、的坐标为(3,5)，求|PA|+|PB|。【解析】（）由2 5 sin得222 50,xyy即22(5)5.xy名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 10 页 -实用标准文案文档（）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得2222(3)()522tt，即23 240,tt由于2(32)4420，故可设12,tt是上述方程的两实根，所 以121 23 2,(3,5),4ttlPt t又直线过点故 由 上 式 及t的 几 何 意 义 得：|PA|+|PB|=12|t|+|t|=12t+t=3 2。2 在直角坐标系xoy中，曲线1C的参数方程为2cos(22sinxy为参数）

14、，M为1C上的动点，P点满足2OPOM，点 P的轨迹为曲线2C（I）求2C的方程；（II）在以O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3与1C的异于极点的交点为A，与2C的异于极点的交点为B，求|AB|解：（I）设 P(x，y)，则由条件知M(2,2YX).由于 M点在 C1上，所以sin222,cos22yx即sin44cos4yx从而2C的参数方程为4cos44sinxy（为参数）（）曲线1C的极坐标方程为4sin，曲线2C的极坐标方程为8sin。射线3与1C的交点A的极径为14sin3，射线3与2C的交点B的极径为28sin3。所以21|2 3AB.3.已知直线 C1：x1tco

15、s，ytsin，(t为参数)，圆 C2：xcosysin，(为参数)(1)当3时，求 C1与 C2的交点坐标；名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 10 页 -实用标准文案文档(2)过坐标原点O作 C1的垂线，垂足为A，P 为 OA的中点当变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线解：(1)当3时，C1的普通方程为y3(x 1)，C2的普通方程为x2y21.联立方程组y3x1x2y21，解得C1与C2的交点为(1,0)，(12，32)(2)C1的普通方程为xsin ycos sin 0.A 点坐标为(sin2，cossin)，故当变化时，P点轨迹的参数方程为x12sin2，y12sincos，(为参数)P点轨迹的普通方程为(x14)2y2116.故 P点轨迹是圆心为(14，0)，半径为14的圆名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 10 页 -