2022年初中锐角三角函数知识点总结 .pdf

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1、学习资料收集于网络，仅供参考学习资料锐角三角函数及其应用榆林第六中学高启鹏一、锐角三角函数中考考点归纳考点一、锐角三角函数1、锐角三角函数的定义如图，在 RtABC中，C为直角，则 A 为 ABC中的一锐角，则有A的正弦：斜边的对边AAsincaA的余弦：斜边的邻边AAcoscbA的正切：的邻边的对边AtanAAba2、特殊角的三角函数值（1）图表记忆法（2）规律记忆法：30、45、60角的正弦值的分母都是2，分子依次为 1、2、3；30、45、60角余弦值恰好是60、45、30角的正弦值。三角函数三角值函数300450600asin212223acos232221atan331 3对边邻边斜

2、边A C B bac角名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 20 页 -学习资料收集于网络，仅供参考学习资料（3）口诀记忆法口诀是：“一、二、三，三、二、一，三、九、二十七，弦比二，切比三，分子根号不能删”前三句中的1，2，3；3，2，1；3，9，27，分别是 30，45，60角的正弦、余弦、正切值中分子根号内的值弦比二、切比三是指正弦、余弦的分母为2，正切的分母为3最后一句，讲的是各函数值中分子都加上根号，不能丢掉如 tan60=2733，tan45=913这种方法有趣、简单、易记考点二、解直角三角形1、由直角三角形中的已知元素求出其他未知元素的过程，叫做解直角三角形

3、。2、解直角三角形的类型和解法如下表：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 20 页 -学习资料收集于网络，仅供参考学习资料考点三、锐角三角函数的实际应用（高频考点）仰角、俯角、坡度（坡比）、坡角、方向角仰角、俯角在视线与水平线所成的锐角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角。坡度（坡比）、坡角坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫坡度（坡比），用字母i表示；坡面与水平线的夹角叫坡角，方向角指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90的锐角叫做方向角注意：东北方向指北偏东45方向，东南方向指南偏东 45方向，西北方向指北偏西45方向，西南方向指南偏西 4

4、5方向我们一般画图的方位为上北下南，左西右东二、锐角三角函数常见考法（一）、锐角三角函数以选择题的形式出现.例 1、（2016?陕西）已知抛物线y=x22x+3 与 x 轴交于 A、B两点，将这条抛物线的顶点记为C，连接 AC、BC，则 tan CAB的值为（）A B C D2【考点】抛物线与 x 轴的交点；锐角三角函数的定义【解析】先求出 A、B、C坐标，作 CD AB于 D，根据 tan ACD=即可计算lhitan名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 20 页 -学习资料收集于网络，仅供参考学习资料【解答】解：令 y=0，则x22x+3=0，解得 x=3 或 1，

5、不妨设 A（3，0），B（1，0），y=x22x+3=（x+1）2+4，顶点 C（1，4），如图所示，作 CD AB于 D 在 RT ACD 中，tan CAD=2，故答案为 D（二）、锐角三角函数以填空题的形式出现.例 2、（2016?陕西）请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按第一题计分A一个多边形的一个外角为45，则这个正多边形的边数是8 B运用科学计算器计算：3sin73 5211.9（结果精确到 0.1）【考点】计算器三角函数；近似数和有效数字；计算器数的开方；多边形内角与外角【解析】（1）根据多边形内角和为360进行计算即可；（2）先分别求得3和 sin73 52的近似值，再

6、相乘求得计算结果【解答】解：（1）正多边形的外角和为360这个正多边形的边数为：36045=8（2）3sin73 5212.3690.961 11.9 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 20 页 -学习资料收集于网络，仅供参考学习资料故答案为：8，11.9 例 3、（2015?陕西）如图，有一滑梯AB，其水平宽度 AC为 5.3 米，铅直高度 BC为 2.8 米，则 A的度数约为27.8（用科学计算器计算，结果精确到 0.1）【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题【解析】直接利用坡度的定义求得坡角的度数即可【解答】解：tan A=0.5283，A=27.8，故答案

7、为：27.8【点评】本题考查了坡度坡角的知识，解题时注意坡角的正切值等于铅直高度与水平宽度的比值，难度不大例 4、(2014?陕西)用科学计算器计算：+3tan5610.02（结果精确到 0.01）【考点】计算器三角函数；计算器数的开方【分析】先用计算器求出、tan56的值，再计算加减运算【解答】解：5.5678，tan56 1.4826，则+3tan565.5678+31.482610.02 故答案是：10.02【点评】本题考查了计算器的使用，要注意此题是精确到名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 20 页 -学习资料收集于网络，仅供参考学习资料0.01例 5、(20

8、14?陕西)如图，在正方形 ABCD 中，AD=1，将 ABD绕点 B顺时针旋转 45得到 ABD，此时 AD 与 CD交于点 E，则 DE的长度为2【考点】旋转的性质【分析】利用正方形和旋转的性质得出AD=A E，进而利用勾股定理得出 BD的长，进而利用锐角三角函数关系得出DE的长即可【解答】解：由题意可得出：BDC=45，DA E=90，DEA=45，AD=A E，在正方形 ABCD 中，AD=1，AB=A B=1，BD=，AD=1，在 RtDA E中，DE=2故答案为：2【点评】此题主要考查了正方形和旋转的性质以及勾股定理、名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 2

9、0 页 -学习资料收集于网络，仅供参考学习资料锐角三角函数关系等知识，得出AD的长是解题关键（三）、锐角三角函数定义以解答题的形式出现例 6、（12 分）（2015?陕西）如图，在每一个四边形ABCD 中，均有 AD BC，CD BC，ABC=60，AD=8，BC=12（1）如图，点 M是四边形 ABCD 边 AD上的一点，则BMC 的面积为24；（2）如图，点 N是四边形 ABCD 边 AD上的任意一点，请你求出BNC 周长的最小值；（3）如图，在四边形 ABCD 的边 AD上，是否存在一点P，使得 cosBPC的值最小？若存在，求出此时cosBPC 的值；若不存在，请说明理由【考点】四边形

10、综合题.【专题】综合题【解析】（1）如图，过 A作 AE BC，可得出四边形 AECF 为矩形，得到 EC=AD，BE=BC EC，在直角三角形ABE中，求出 AE的长，即为三角形BMC 的高，求出三角形 BMC 面积即可；（2）如图，作点C关于直线 AD的对称点 C，连接 CN，CD，CB交AD于点 N，连接 CN，则 BN+NC=BN+NCBC=BN+CN，可得出 BNC周长的最小值为 BN C的周长=BN+CN+BC=BC+BC，求出即可；（3）如图所示，存在点P，使得 cosBPC的值最小，作 BC的中垂线 PQ交 BC于点 Q，交 AD于点 P，连接 BP，CP，作 BPC的外接圆

11、O，圆 O与直线名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 20 页 -学习资料收集于网络，仅供参考学习资料PQ交于点 N，则 PB=PC，圆心 O在 PN上，根据 AD与 BC平行，得到圆 O与 AD相切，根据 PQ=DC，判断得到 PQ大于 BQ，可得出圆心 O在 BC上方，在 AD上任取一点 P，连接 PB，PC，PB交圆 O于点 M，连接 MC，可得 BPC=BMC BP C，即 BPC最小，cosBPC的值最小，连接 OB，求出即可【解答】解：（1）如图，过 A作 AE BC，四边形 AECD 为矩形，EC=AD=8，BE=BC EC=12 8=4，在 RtABE中

12、，ABE=60，BE=4，AB=2BE=8，AE=4，则 SBMC=BC?AE=24；故答案为：24；（2）如图，作点C关于直线 AD的对称点 C，连接 CN，CD，CB交AD于点 N，连接 CN，则 BN+NC=BN+NCBC=BN+CN，BNC 周长的最小值为 BN C的周长=BN+CN+BC=BC+BC，AD BC，AE BC，ABC=60，过点 A作 AE BC，则 CE=AD=8，BE=4，AE=BE?tan60=4，CC=2CD=2AE=8，BC=12，BC=4，BNC 周长的最小值为 4+12；（3）如图所示，存在点P，使得 cosBPC的值最小，作 BC的中垂线 PQ交 BC于

13、点 Q，交 AD于点 P，连接 BP，CP，作BPC 的外接名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 20 页 -学习资料收集于网络，仅供参考学习资料圆 O，圆 O与直线 PQ交于点 N，则 PB=PC，圆心 O在 PN上，AD BC，圆 O与 AD相切于点 P，PQ=DC=4 6，PQ BQ，BPC 90，圆心 O在弦 BC的上方，在 AD上任取一点 P，连接 PB，PC，PB交圆 O于点 M，连接 MC，BPC=BMC BP C，BPC最大，cosBPC的值最小，连接 OB，则 BON=2 BPN=BPC，OB=OP=4 OQ，在 RtBOQ 中，根据勾股定理得：OQ2

14、+62=（4OQ）2，解得：OQ=，OB=，cosBPC=cos BOQ=，则此时 cosBPC的值为【点评】此题属于四边形综合题，涉及的知识有：勾股定理，矩形的判定与性质，对称的性质，圆的切线的判定与性质，以及锐角三角函数定义，熟练名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 20 页 -学习资料收集于网络，仅供参考学习资料掌握定理及性质是解本题的关键例 7、（10 分）(2014 年陕西省)已知抛物线 C：y=x2+bx+c 经过 A（3，0）和 B（0，3）两点，将这条抛物线的顶点记为M，它的对称轴与x 轴的交点记为 N（1）求抛物线 C的表达式；（2）求点 M的坐标；（

15、3）将抛物线 C平移到 C，抛物线 C的顶点记为 M，它的对称轴与 x 轴的交点记为 N如果以点 M、N、M、N为顶点的四边形是面积为16 的平行四边形，那么应将抛物线C怎样平移？为什么？新 课 标 xk b1.c om【考点】二次函数图象与几何变换；二次函数的性质；待定系数法求二次函数解析式；平行四边形的性质菁优网版权所有【分析】（1）直接把 A（3，0）和 B（0，3）两点代入抛物线y=x2+bx+c，求出 b，c 的值即可；（2）根据（1）中抛物线的解析式可得出其顶点坐标；（3）根据平行四边形的定义，可知有四种情形符合条件，如解答图所示需要分类讨论【解答】解：（1）抛物线 y=x2+bx

16、+c 经过 A（3，0）和 B（0，3）两点，解得，故此抛物线的解析式为：y=x22x+3；名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 20 页 -学习资料收集于网络，仅供参考学习资料（2）由（1）知抛物线的解析式为：y=x22x+3，当 x=1 时，y=4，xKb 1.C om M（1，4）（3）由题意，以点 M、N、M、N为顶点的平行四边形的边MN 的对边只能是 M N，MN M N且 MN=MNMN?NN=16，NN=4i）当 M、N、M、N为顶点的平行四边形是?MNN M 时，将抛物线 C向左或向右平移 4 个单位可得符合条件的抛物线C；ii）当 M、N、M、N 为

17、顶点的平行四边形是?MNMN 时，将抛物线C先向左或向右平移 4 个单位，再向下平移 8 个单位，可得符合条件的抛物线C上述的四种平移，均可得到符合条件的抛物线C【点评】本题考查了抛物线的平移变换、平行四边形的性质、待定系数法及二次函数的图象与性质等知识点第（3）问需要分类讨论，避免漏解名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 11 页，共 20 页 -学习资料收集于网络，仅供参考学习资料例 8、（12 分）(2014?陕西)问题探究（1）如图，在矩形 ABCD 中，AB=3，BC=4，如果 BC边上存在点 P，使APD为等腰三角形，那么请画出满足条件的一个等腰三角形APD，并求出此时

18、 BP的长；（2）如图，在 ABC中，ABC=60，BC=12，AD是 BC边上的高，E、F分别为边 AB、AC的中点，当 AD=6时，BC边上存在一点 Q，使EQF=90，求此时 BQ的长；问题解决（3）有一山庄，它的平面图为如图的五边形ABCDE，山庄保卫人员想在线段 CD上选一点 M安装监控装置，用来监视边 AB，现只要使 AMB 大约为 60，就可以让监控装置的效果达到最佳，已知A=E=D=90，AB=270m，AE=400m，ED=285m，CD=340m，问在线段 CD上是否存在点 M，使AMB=60？若存在，请求出符合条件的DM 的长，若不存在，请说明理由【考点】圆的综合题；全等

19、三角形的判定与性质；等边三角形的性质；勾股定理；三角形中位线定理；矩形的性质；正方形的判定与性质；直线与圆的位置关系；特殊角的三角函数值菁优网版权所有【专题】压轴题；存在型名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 12 页，共 20 页 -学习资料收集于网络，仅供参考学习资料【分析】（1）由于PAD是等腰三角形，底边不定，需三种情况讨论，运用三角形全等、矩形的性质、勾股定理等知识即可解决问题（2）以 EF为直径作 O，易证 O与 BC相切，从而得到符合条件的点Q唯一，然后通过添加辅助线，借助于正方形、特殊角的三角函数值等知识即可求出BQ长（3）要满足 AMB=60，可构造以 AB为边的

20、等边三角形的外接圆，该圆与线段 CD的交点就是满足条件的点，然后借助于等边三角形的性质、特殊角的三角函数值等知识，就可算出符合条件的DM 长【解答】解：（1）作 AD的垂直平分线交BC于点 P，如图，则 PA=PD PAD是等腰三角形四边形 ABCD 是矩形，AB=DC，B=C=90 PA=PD，AB=DC，RtABP RtDCP（HL）BP=CP BC=4，BP=CP=2 以点 D为圆心，AD为半径画弧，交BC于点 P，如图，则 DA=DP PAD是等腰三角形四边形 ABCD 是矩形，AD=BC，AB=DC，C=90 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 13 页，共 20 页

21、-学习资料收集于网络，仅供参考学习资料AB=3，BC=4，DC=3，DP=4CP=BP=4点 A为圆心，AD为半径画弧，交BC于点 P，如图，则 AD=AP PAD是等腰三角形同理可得：BP=综上所述：在等腰三角形ADP中，若 PA=PD，则 BP=2；若 DP=DA，则 BP=4；若 AP=AD，则 BP=（2）E、F分别为边 AB、AC的中点，EF BC，EF=BC BC=12，EF=6 以 EF为直径作 O，过点 O作 OQ BC，垂足为 Q，连接 EQ、FQ，如图AD BC，AD=6，EF与 BC之间的距离为 3OQ=3 OQ=OE=3O与 BC相切，切点为 Q EF为O的直径，名师资

22、料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 14 页，共 20 页 -学习资料收集于网络，仅供参考学习资料EQF=90 过点 E作 EG BC，垂足为 G，如图EG BC，OQ BC，EG OQ EO GQ，EG OQ，EGQ=90，OE=OQ，四边形 OEGQ 是正方形GQ=EO=3，EG=OQ=3B=60，EGB=90，EG=3，BG=BQ=GQ+BG=3+当 EQF=90 时，BQ的长为 3+（3）在线段 CD上存在点 M，使 AMB=60 理由如下：以 AB为边，在 AB的右侧作等边三角形ABG，作 GP AB，垂足为 P，作 AK BG，垂足为 K设 GP与 AK交于点 O，以点 O

23、为圆心，OA为半径作 O，过点 O作 OH CD，垂足为 H，如图则O是ABG 的外接圆，ABG 是等边三角形，GP AB，AP=PB=AB AB=270，AP=135 ED=285，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 15 页，共 20 页 -学习资料收集于网络，仅供参考学习资料OH=285 135=150ABG 是等边三角形，AK BG，BAK=GAK=30 OP=AP?tan30=135=45OA=2OP=90 OH OA O与 CD相交，设交点为M，连接 MA、MB，如图AMB=AGB=60，OM=OA=90OH CD，OH=150，OM=90，HM=30AE=400，O

24、P=45，DH=400 45若点 M在点 H的左边，则 DM=DH+HM=40045+30名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 16 页，共 20 页 -学习资料收集于网络，仅供参考学习资料40045+30340，DM CD 点 M不在线段 CD上，应舍去若点 M在点 H的右边，则 DM=DHHM=400 45304004530340，DM CD 点 M在线段 CD上综上所述：在线段CD上存在唯一的点M，使 AMB=60，此时 DM 的长为（4004530）米 X|k|B|1.c|O|m名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 17 页，共 20 页 -学习资料收集于网络，

25、仅供参考学习资料【点评】本题考查了垂直平分线的性质、矩形的性质、等边三角形的性质、正方形的判定与性质、直线与圆的位置关系、圆周角定理、三角形的中位线定理、全等三角形的判定与性质、勾股定理、特殊角的三角函数值 等知识，考查了操作、探究等能力，综合性非常强而构造等边三角形及其外接圆是解决本题的关键三、三角函数易错点解析三角函数是初中数学的重要内容，三角函数是学生在初中阶段第一次接触角函数，这部分知识的学习对于学生来说有一定的难度，下面就三角函数教学中容易出现的几种“错误”进行分析：1对应关系混淆【1】如图 9，先进村准备在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为a米，那么这两树在坡面上的距

26、离AB为（）A.aa cos米B.cosa米C.aasin米D.sina米解析：分别过点 B，A 作平行水平面的直线和垂直于水平面的直线相交于点C。则ABC是直角三角形，且C=90,CBA=,ABaABBCacoscosaAB，故选 B。AB图 9名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 18 页，共 20 页 -学习资料收集于网络，仅供参考学习资料错因分析：部分学生在解答本题时没有分清锐角的正弦、余弦是哪个边与斜边 AB的比，造成错选，也有学生在变式时错误。2专用名词不清【2】如图 10，斜坡 AC的坡度（坡比）为 1:3，AC 10 米坡顶有一旗杆 BC，旗杆顶端 B点与 A点有一

27、条彩带 AB相连，AB 14 米试求旗杆 BC的高度解析：坡度是表示斜坡的铅直距离与水平距离的比，所以过点C作 CE AD于E，CE为铅直距离，AE为水平距离，即 CE：AE=1:3。3331tanCAE，CAE=30，解直角三角形 AEC可得 CE=5（m）,AE=35（m）,在 RtABE中，1122AEABBE（m）,BC=BE-CE=6（m）错因分析：本题要注意斜坡的坡度是坡角的正切值，弄清坡角与坡度的区别与联系；其他实际问题中还要注意仰角、角、方位角等概念。四、锐角三角函数教法浅谈学生已经学习了三角形、相似三角形、勾股定理以及函数相关知识，为学习锐角三角函数奠定基础的同时具备了一定的

28、逻辑思维能力和推理能力.在学习过程中学生可能遇到一些困难，下面我将学生可能遇到的困难以及应对措施叙述如下：困难：本节学生首次接触到以角度为自变量的三角函数，学生很难想到在直角三角形中，锐角的度数固定，它的对边与斜边的比值也是固定的.应对措施：采用由特殊到一般的方法展开讨论：在讨论直角三角形中，30和 45角的对边与斜边的比为固定值的基础上讨论锐角为任意给定度数的情形.这种由特殊到一般的过渡，可以使学生有较多的机会体验：在直角三A B C D 图 10名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 19 页，共 20 页 -学习资料收集于网络，仅供参考学习资料角形中，当锐角度数一定时，这个锐角

29、的对边与斜边的比值是一个固定值.这为认识正弦函数的概念铺设了必要的台阶，从而水到渠成地概括给出正弦函数的概念.困难：对正弦概念的理解.学生能理解在直角三角形中，当锐角固定时，其对边与斜边的比值就固定，但将这一过程与变化的过程联系起来有一困难，也就是与函数联系起来有一定困难，因此对正弦概念的理解存在困难.应对措施：在已有特殊角的经验之上结合几何画板直观演示，让学生从演示的变化过程中体会：无论直角三角形的大小如何，每固定一个角度，都有唯一的一个比值与之相对应.从而建立直角三角形中锐角与比值之间的对应关系.在这个过程出巧妙地设计问题引导学生将新知与旧知（函数知识）联系起来，从而更好的理解锐角三角函数中正弦的概念.欢迎您的光临，Word 文档下载后可修改编辑.双击可删除页眉页脚.谢谢！你的意见是我进步的动力，希望您提出您宝贵的意见！让我们共同学习共同进步！学无止境.更上一层楼。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 20 页，共 20 页 -