2022年随机过程知识点 .pdf

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1、随机过程复习1 第一章：预备知识 1.1概率空间随机试验，样本空间 记为。定义 1.1设是一个集合，F 是的某些子集组成的集合族。如果（1）F；（2）A若F，AA则F；（3）若nAF，21n，则1nnAF；则称 F 为代数(Borel 域)。(,F)称为 可测空间，F 中的元素称为事件。由定义易知：.216,)5)4(111FAAAiFAFBAFBAFiiniiniii，则，）若（；则若（；定义 1.2 设(,F)是可测空间，P()是定义在F上的实值函数。如果1121,31210,)1(iiiijiAPAPAAjiAAPAPFA有时，当）对两两互不相容事件（；）（；任意则称 P是F,上的概率，

2、（PF，）称为 概率空间，P(A)为事件 A的概率。定义 1.3设（PF，）是概率空间，FG，如果对任意GAAAn,21，,2,1n有：,11niiniiAPAP则称G为独立事件族。1.2 随机变量及其分布随机变量X，分布函数)(xF，n 维随机变量或 n 维随机向量，联合分布函数，TtXt,是独立 的。1.3随机变量的数字特征定义 1.7设随机变量X的分布函数为)(xF，若)(|xdFx，则称)(XE)(xxdF为 X的数学期望 或 均值。上式右边的积分称为Lebesgue-Stieltjes积分。方差，EYYEXXEBXY为 X、Y 的协方差，而DYDXBXYXY为 X、Y的相关系数。若,

3、0XY则称 X、Y 不相关。（Schwarz 不等式）若,22EYEX则.222EYEXEXY 1.4 特征函数、母函数和拉氏变换定义 1.10 设随机变量的分布函数为F（x），称()(),jtXjtxg tE ee dFxt名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 19 页 -随机过程复习2 为 X 的特征函数随机变量的特征函数具有下列性质：(1)(0)1,()1,()()gg tgtg t1(2)g(t)在,上一致连续。（3）()(0)()kkkgi E X(4)若12,nXXXL是相互独立的随机变量，则12nXXXXL的特征函数12()()()()ng tg t gt

4、gtL，其中()ig t是随机变量Xi的特征函数，1,2,inL.定义 1.11 设12(,)nXXXXL是 n 维随机变量，t=(12,nt ttL),R则称121()(,)()exp()nitXnkkkg tg t ttE eEit XL,为 X 的特征函数。定义 1.12设 X是非负整数值随机变量，分布列,2,1,kxXPpkk则称)()(XdefsEsPkkksP0为 X的母函数。1.5 n维正态分布定义 1.13 若 n 维随机变量),(21nXXXX的联合概率密度为)()(21exp)2(1),()(12/2/21TnnnaxBaxBxxxfxf式中，),(21naaaa是常向量，

5、nnijbB)(是正定矩阵，则称X为 n 维正态随机变量或服从n 维正态分布，记作),(BaNX。可以证明，若),(BaNX，则X的特征函数为21exp),()(21tiBtiatttgtgn为了应用的方便，下面，我们不加证明地给出常用的几个结论。性质 1 若),(BaNX则nlbBaXEklXXkklk,2,1,)(。性质2 设),(BaNX，XAY，若BAA正定，则),(BAAaANY。即正态随机变量的线性变换仍为正态随机变量。性质 3 设),(4321XXXXX是四维正态随机变量，4,3,2,1,0)(kXEk，则)()()()()()()(3241423143214321XXEXXEX

6、XEXXEXXEXXEXXXXE 1.6 条件期望给定 Y=y 时，X 的条件期望定义为dxyxxfyxxdFyYXE)|()|()|(由此可见除了概率是关于事件Y=y 的条件概率以外，现在的定义与无条件的情况完全一样。E(X|Y=y)是 y 的函数，y 是 Y 的一个可能值。若在已知Y 的条件下，全面地考虑X 的均值，需要以Y 代替 y，E(X|Y)是随机变量Y 的函数，也是随机变量，称为X 在 Y 下的条件期望。条件期望在概率论、数理统计和随机过程中是一个十分重要的概念，下面我们介绍一个极其有用的性质。性质若随机变量X 与 Y 的期望存在，则)()|()|()(ydFyYXEYXEEXEY

7、-(1)名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 19 页 -随机过程复习3 如果 Y 是离散型随机变量，则上式为yyYPyYXEXE)|()(如果 Y 是连续型，具有概率密度f(x)，则（1）式为dyyfyYXEXE)()|()(第二章随机过程的概念与基本类型2.1 随机过程的基本概念定义 2.1设（PF，）是概率空间,T是给定的参数集,若对每个tT，有一个随机变量X(t,e)与之对应，则称随机变量族),(TtetX是（PF，）的随机过程,简记为随机过程),(TttX。T称为参数集，通常表示时间。通常将随机过程),(TtetX解释为一个物理系统。X(t)表示在时刻t所处的

8、状态。X(t)的所有可能状态所构成的集合称为状态空间或相空间，记为I。从数学的观点来说，随机过程),(TtetX是定义在T上的二元函数。对固定的t，X(t,e)是定义在T上的普通函数，称为随机过程),(TtetX的一个 样本函数 或轨道，样本函数的全体称为样本函数的空间。2.2 随机过程的函数特征tX=X(t),tT 的有限维分布函数族。有限维特征函数族：1,:),(2121,1nTtttgnnttn其中：)(exp),(121,1knkkntttxiEgn定义 2.3设tX=X(t),tT 的 均值函数deftmX)()(tXE，Tt。二阶矩过程，协方差函数：T,)()(),()(2ttmt

9、XEdefttBtDXXX相关函数：),(tsRX)()(tXsXE定义 2.4设X(t),tT，Y(t),tT是两个二阶矩过程，互协方差函数，互相关函数。2.3 复随机过程定义2.5设,TtXt，,TtYt是取实数值的两个随机过程，若对任意TttttiYXZ，其中1i，则称,TtZt为复随机过程 定理2.2复随机过程,TtXt的协方差函数),(tsB具有性质（1）对称性：),(),(stBtsB；（2）非负定性2.4 几种重要的随机过程一、正交增量过程名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 19 页 -随机过程复习4 定义 2.6 设tt,是零均值的二阶矩过程，若对任意

10、的,4321tttt有公式03412tttt，则称t正交增量过程。tstsRts,min,2二、独立增量过程定义 2.7 设tt,是随机过程，若对任意的正整数n和,21nttt随机变量12312,nntttttt是互相独立的，则称tt,是独立增量过程，又称可加过程。定义 2.8 设tt,是平稳独立增量过程，若对任意,ts随机变量st的分布仅依赖于st，则称tt,是平稳独立增量过程。三、马尔可夫过程定 义2.9设TttX,为 随 机 过程，若对任 意正 整数n及nttt,21,0,)(1111nnxtXxtXP，且其条件分布1111,|)(nnnnxtXxtXxtXP=11|)(nnnnxtXx

11、tXP，(2.6)则称TttX,为马尔可夫过程。四、正态过程和维纳过程定义 2.10 设TttX,是 随 机 过 程，若对任意正 整 数n和Tttt,21,(,21tXtX,ntX)是n维正态随机变量，则称TttX,是正态过程或高斯过程。定义 2.11 设ttW),(为随机过程，如果（1）0)0(W；（2）它是独立、平稳增量过程；（3）对ts,，增量0,|,0)()(22stNsWtW，则称ttW),(为维纳过程，也称布朗运动过程。定理2.3 设ttW),(是参数为2的维纳过程，则（1）任意t),(,|,0)(2tNtW；（2）对任意tsa,),min()()()()(2atasaWtWaWs

12、WE,特别：tstsRw,min,2。五、平稳过程定 义2.12 设TttX,是 随 机 过 程，如 果 对 任 意 常 数和 正 整 数,n当nntttt,11时，nttt,21与nttt,21有相同的联合分布，则称TttX,为严平稳过程，也称 狭义平稳过程。定义 2.13 设TttX,是随机过程，如果（1）TttX,是二阶矩过程；名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 19 页 -随机过程复习5（2）对于任意ttmt,常数；（3）对任意的stRtsRts,，则称TttX,为广义平稳过程，简称为平稳过程。若 T 为离散集，则称平稳过程TttX,为平稳序列。第三章泊松过程

13、.1 泊松过程的定义和例子定义 3.1计数过程定义 3.2称计数过程 0),(ttX为具有参数0 的泊松过程，若它满足下列条件(1)X(0)=0；(2)X(t)是独立增量过程；(3)在任一长度为t 的区间中，事件A 发生的次数服从参数t0 的泊松分布，即对任意 s,t0，有)1.3(),2,1,0(,!)()()(nntensXtsXPnt注意，从条件(3)知泊松过程是平稳增量过程且ttXE)(。由于，ttXE)(表示单位时间内事件A 发生的平均个数，故称为此过程的 速率 或强度。定义 3.3称计数过程0),(ttX为具有参数0 的泊松过程，若它满足下列条件(1)X(0)=0；(2)X(t)是

14、独立、平稳增量过程；(3)X(t)满足下列两式：)(2)()(),(1)()(hotXhtXPhohtXhtXP(3.2)定理 3.1定义 3.2 与定义 3.3 是等价的。3.2 泊松过程的基本性质一、数字特征设0),(ttX是泊松过程，stmsmtsRtsBtstXsXEtsRttXDtttXEtmXxXXXXX)()(),(),()1()()(),()()()()(2一般泊松过程的有),min(),(tstsBX。有特征函数定义，可得泊松过程的特征函数为)1(exp)()(iutiuXXeteEug二、时间间隔与等待时间的分布nW为第 n 次事件 A 出现的时刻或第n 次事件 A 的等待

15、时间，nT是第 n 个时间间隔，它们都是随机变量。定理 3.2设0),(ttX是具有参数的泊松分布，)1(nTn是对应的时间间隔序列，则随机变量),2,1(nTn是独立同分布的均值为/1的指数分布。定理3.3设 1,nWn是与泊松过程0),(ttX对应的一个等待时间序列，则nW服从参数为n 与的分布，其概率密度为名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 19 页 -随机过程复习6 0,00,)!1()()(1ttntetfntWn三、到达时间的条件分布定理 3.4设0),(ttX是泊松过程，已知在0,t内事件 A 发生 n 次，则这 n 次到达时间nWWW21与相应于n 个

16、 0,t上均匀分布的独立随机变量的顺序统计量有相同的分布。3.3 非齐次泊松过程定义 3.4称计数过程(),0X tt为具有跳跃强度函数()t的非齐次泊松过程，若它满足下列条件：(1)(0)0X；(2)()X t是独立增量过程；(3)()()1()()()()2()P X thX tt ho hP X thX to h非齐次泊松过程的均值函数为：0()()tXmts ds定理3.5设(),0X tt是具有均值函数0()()tXmts ds的非齐次泊松过程，则有()()exp,(0)!()()()()XXntstXXmmnnP X tsX tnmtsmt或()exp()!()XntXmtnP X

17、 tnm上式表明()()P X tsX tn 不仅是t的函数，也是s的函数。3.4 复合泊松过程定义3.5 设 0),(ttN是强度为的泊松过程，,.2,1,kYk是一列独立同分布随机变量，且与0),(ttN独立，令,0)()(1tktxYtNk则称0),(ttX为复合泊松过程。定理 3.6设,0)()(1tktxYtNk是复合泊松过程，则（1）。0),(ttX是独立增量过程；（2）X(t)的特征函数1)(exp)()(ugtugYtX，其中)(ugY是随机变量1Y的特征函数；是事件的到达率。（3）若,)(21YE则.)(,)(211YtEtXDYtEtXE第 4 章马尔可夫链4.1 马尔可夫

18、链的概念及转移概率一、马尔可夫键的定义定义1设有随机过程,TnXn，若对于任意的整数Tn和任意的Iiiin 110,，条件概率满足名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 19 页 -随机过程复习7,11110011nnnnnnnniXiXPiXiXiXiXP则称,TnXn为马尔可夫链，简称马氏链。二、转移概率定义 2 称条件概率1()|ijnnpnP XjXi为马尔可夫链,TnXn在时刻 n 的一步转移概率，其中Iji,，简称为转移概率。定义3若对任意的Iji,，马尔可夫链,TnXn的转移概率)(npij与 n 无关，则称马尔可夫链是齐次的，并记)(npij为ijp。定义

19、 4称条件概率)1,0,(|)(nmIjiiXjXPpmnmnij为马尔可夫链,TnXn的 n 步转移概率，定理1设,TnXn为马尔可夫链，则对任意整数nln0,0和Iji,，n 步转移概率)(nijp具有下列性质：.)4(;)3(;)2(;)1()()1()()()()()(121111nnnnjkkkIkIkiknijIklnkjliknijPPPPPpppppppnn定义 5设,TnXn为马尔可夫链，称)(,)(0IjjXPnPjXPpnjj和为,TnXn的初始概率 和绝对概率，并分别称,Ijpj和),(Ijnpj为,TnXn的初始分布和绝对分布，简记为jp和)(npj。定理2设,TnX

20、n为马尔可夫链，则对任意Ij和1n，绝对概率)(npj具有下列性质：PnPnPPPnPpnpnpppnpTTnTTIiijijIinijij)1()()4()0()()3()1()()2()()1()()(定理 3设,TnXn为马尔可夫链，则对任意Iiiin,21和1n，有nniiiiiiIiinnppppiXiXiXP1211,22114.2 马尔可夫链的状态分类一、状态分类假设,0nXn是齐次马尔可夫链，其状态空间0,1,2,IL，转移概率是,ijpi jI,初始分布为,jpi jI。定 义4.6 如 集 合():1,0niin np非 空，则 称 该 集 合 的 最 大 公 约 数()(

21、).:0niidd iG C D n p为状态i的周期。如1d就称i为周期的，如1d就称i为名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 19 页 -随机过程复习8 非周期的。（若对每一个不可被d整除的n，有()niip=0，且d是具有此性质的最大正整数，则称d为状态i的周期。）引理 4.1 如i的周期为d，则存在正整数M，对一切Mn，有()0ndiip。定义对,Sji记(0)(1)100,|ijijffP Xj Xi()0,1,2,1|,2nijnkfP Xj Xj knXinL（4.15）()nijijn Tff称()nijf是系统在0 时从i出发经过n步转移后首次到达状态

22、j的概率，而()ijf则是在 0 时从i出发，系统在有限步转移内不可能到达状态j的概率。我们将()nijf和ijf统称为首达概率（又称首中概率）。引理（1）()0nijijffnji,（2）首达概率可以用一步转移概率来表示：11 21121()nnnijiii iijij ijijfp ppLL定义 4.7 若iif=1，则 称状态i为常返的；若iif1，则称状态i为非常返的。定义 4.8 如i，则称常返态i为正常返的；如i，则称常返态i为零常返的，非周期的正常返态称为遍历状态。从状态是否常返，如常返的话是否正常返，如正常返的话是否非周期等三层次上将状态区分为以下的类型：1)11iiiiiii

23、iffd非常返态(零常返态(=)状态常返态()有周期()正常返态(0，若有0|)()(|limeXeXPnn，则称二阶矩随机序列()nXe依概率收敛于二阶矩随机变量X(e)，记作XXPn。4、均方收敛设有二阶矩随机序列nX和二阶矩随机变量X，若有0|lim2XXEnn(6.3)成立，则称nX均方收敛，记作XXsmn.。注：(6.3)式一般记为l.i.mnxXX或.nl i mXX。5、依分布收敛设有二阶矩随机序列nX和二阶矩随机变量X，若nX相应的分布函数列()nFx，在 X 的分布函数F(x)的每一个连续点处，有)()(limxFxFnn则称二阶矩随机序列nX依分布收敛于二阶矩随机变量X，记

24、作XXdn对于以上四种收敛定义进行比较，有下列关系：(1)若XXsmn.，则XXPn(2)若XXean.，则XXPn(3)若XXPn，则XXdn定理 2 二阶矩随机序列nX收敛于二阶矩随机变量X的充要条件为0|lim2mnnXXE定理 3设,nnnXYZ都是二阶矩随机序列，U 为二阶矩随机变量，nc为常数序列，a，b，c 为常数。令XmXiln.，YmYiln.，ZmZi ln.，cmciln.。则（1）ccmci lnnnlim.；（2）UmUi l.；（3）cUUcmi ln)(.；（4）bYaXbYaXmi lnn)(.；（5）.limnnnmXi lEXEXE；（6）).)(.(lim

25、,mnmnmnYmi lmXilEYXEYXE；特别有|.|lim222nnnmXi lEXEXE。定理 4 设nX为二阶矩随机序列，则nX均方收敛的充要条件为下列极限存在lim,mnmnXXE。二、均方连续定义设有二阶矩过程),(TttX，若对0tT，有2000lim|()()|0hEX thX t，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 14 页，共 19 页 -随机过程复习15 则称()X t在0t点均方连续，记作000.()()hl i m X thX t。若对 T 中一切点都均方连续，则称()X t在 T 上均方连续。定理（均方连续准则）二阶矩过程),(TttX在 t 点均

26、方连续的充要条件为相关函数处连续在点),(),(21ttttRX。推论若相关函数),(21ttRX在),(Tttt上连续，则它在TT 上连续三、均方导数定义 7 设),(TttX是二阶矩过程，若存在一个随机过程)(tX，满足20()()lim|()|0hX thX tEXth()X tt则称在 点均方可微，记作0()()()().hdX tX thX tXtl i mdth()()XtX tt并称为在 点的均方导数。类似的有22)(dtXdtX或称12112211212212012120(,)(,)(,)(,)limXXXXhhRth thRth tRtthRtthhh h为),(21ttRX

27、在12(,)t t的广义二阶导数，记为21212),(ttttRX定理 6 均方可微准则二阶矩过程),(TttX在t点均方可微的充要条件为相关函数),(),(21ttttRX在点的广义二阶导数存在。推论1 二阶矩过程),(TttX在 T 上均方可微的充要条件为相关函数),(21ttRX在),(Tttt上每一点广义二阶可微。推论 2 若),(21ttRX在),(Tttt上每一点广义二阶可微，则()Xdmtdt在 T 上以及1212121212(,),(,),(,)XXXRt tRt tRtttttt在TT上存在，且有1212121112121222221212121221()()(1)();(,

28、)(2)()()()();(,)(3)()()()();(,)(,)(4)()()XXXXXdmtdE X tE X tdtdtRt tE X tX tE X t X tttRt tE X t X tE X t X tttRt tRt tE X tX tt ttt四、均方积分名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 15 页，共 19 页 -随机过程复习16 定义 8 如果0n时，nS均方收敛于S，即20lim|0nnE SS，则称()()f t X t在,a b上均方可积，并记为101()().()()()nnbiiiiaiSf t X t dtl i mf tX ttt()(),f

29、 t X ta b称此为在区间上的均方积分。定理 7（均方可积准则）()()f t X t在区间,a b上均方可积的充要条件为121212()()(,)bbXaaf tf tRt tdt dt存在。特别的，二阶矩过程()X t在,a b上均方可积的充要条件为12(,)XRt t在,a ba b上可积。定理 8设()()f t X t在区间,a b上均方可积，则有(1)()()()()bbaaEf t X t dtf t E X tdt特别有()()bbaaEX t dtE X tdt(2)111222121212()()()()()()(,)bbbbXaaaaEf tX t dtf tX td

30、tf tf t Rt tdt dt特别的有21212|()|(,)bbbXaaaEX t dtRt tdt dt。定理 9设二阶矩过程),(TttX在,a b上均方连续，则()(),()taY tXdatb在均方意义下存在，且随机过程),(TttX在,a b上均方可微，且有()()Y tX t。推论设()X t均方可微，且()Xt均方连续，则()()()taX tX aXt dt特别有()()()taX tX aXt dt 4 平稳过程的各态历经性定义 9 设(),X tt为均方连续的平稳过程，则分别称11()l.i.m(),()()l.i.m()()22TTTTTTX tX t dtX t

31、X tX t X tdtTT为该过程的时间均值和时间相关函数。定义 10设(),X tt是均方连续的平稳过程，若()Pr.1()X tE X t，即1l.i.m()2TXTTX t dtmT以概率 1 成立，则称该平稳过程的均值具有各态历经性。若()()Pr.1()()X t X tE X t X t，即1l.i.m()()()2TXTTX t X tdtRT以概率 1 成立，则称该平稳过程的相关函数具有各态历经性。定义 11 如果均方连续的平稳过程(),X ttT的均值和相关函数都具有各态历经性，则称该平稳过程为具有各态历经性或遍历性。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 16

32、页，共 19 页 -随机过程复习17 定理10设(),X tt是均方连续的平稳过程，则它的均值具有各态历经性的充要条件为2221lim1()022TXXTTRmdTT(6.9)定理6.11 设(),X tt为均方连续的平稳过程，则其相关函数具有各态历经性的充要条件为2211121lim1()()022TXTTBRdTT(6.15)其中111()()()()()BE X t X tX tX t(6.16)定理 6.12 对于均方连续平稳过程(),0X tt，等式01l.i.m()TXTXdmT以概率 1 成立的充要条件为1lim1()02TXTTBdTT若()X t为实平稳过程，则上式变为01l

33、im1()0TXTBdTT定理6.13 对于均方连续平稳过程(),0X tt，等式01l.i.m()()()TXTX t X tdtRT以概率 1 成立的充要条件为21111lim1()()0TXTTBRdTT其中1()B与（6.16）式相同。若()X t为实平稳过程，则上式变为211101lim1()()0TXTBRdTT第七章平稳过程的谱分析7.1 平稳过程的谱密度设)(tX是均方连续随机过程，作截尾随机过程TtTttXtXT|,0|),(因为tXT均方可积，故存在傅式变换(,)()()iti txTTTFTXt edtXt edtT.(7.4)利用帕塞伐公式及傅式反变换，可得2221()

34、(),2TXTXt dtxt dtFTdT定义 7.1设ttX),(为均方连续随机过程，称名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 17 页，共 19 页 -随机过程复习18 221()2limTTEXt dtTT为)(tX的平均功率，称21(),2limXxTsEFTT为)(tX的 功率谱密度，简称 谱密度。当)(tX是平稳均方连续函数时，由于)(2tXE是与t无关的常数，利用均方积分的性质可以将（7.5）式简化得221()2limTTEXt dtTT221()()02limxTTEXtdtEXtRTT.(7.8)由（7.8）式和（7.5）式看出，平稳过程的平均功率等于该过程的均方值

35、，或等于它的谱密度在频域上的积分，即212XSd.(7.9)定义7.2设,0,1,2,nXnL是平稳随机序列，若相关函数满足()XnRn则称()(),()inXXnsRn e为,0,1,2,nXnL的谱密度。7.2谱密度的分析设ttX),(为均方连续平稳过程，)(XR为它的相关函数，XS为它的频率谱密度，XS具有下列性质：（1）若dRX，则XS是)(XR的傅式变换，即i tXXSRed.(7.12)(2)XS是的实的,非负的偶函数。(3)当XS是有理函数时，其形式必为2222220222220.().nnnnxnmmaaasbb其 中22,(0,2,2;2,4,2)n imjabin jmLL

36、为 常 数，且20na，mn，分母无实根。7.3 窄带过程及白噪声过程的功率谱密度定义 1 设,X tt为实值平稳过程，若它的均值为零，且谱密度在所有频率范围内为非零的常数，即0XsN则称 X t 为白噪声过程。具有下列性质的函数称为函数：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 18 页，共 19 页 -随机过程复习19 0,0,0;(1)(2)1xxxx dx函数有一个非常重要的运算性质，即抽样性质。对任何连续函数fx，有0,fxx dxf(7.15)或.fxxT dxfT 7.4 联合平稳过程的互谱密度定义 7.4 设 X t 和Y t 是两个平稳过程，且它们是联合平稳的(平稳相关的)，若它们的互相关函数XYR满足XYRd,则称XYR的傅氏变换iXYXYsRed.(7.21)是 X t 与Y t 的互功率谱密度，简称互谱密度。因此互谱密度YXs与互相关函数YXR的关系如下：iYXYXsRed,12iYXYXRsed互谱密度具有下列性质：XYYXss，即XYs与YXs互为共轭；ReXYs和 ReYXs是的偶函数，而ImXYs和 ImYXs是的奇函数；XYs与Xs和Ys满足下列关系式：2XYXYsss若 X t 和Y t 相互正交，则0XYYXss名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 19 页，共 19 页 -