2022年重积分 .pdf

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1、115 第 9章重积分重积分是定积分概念的推广，其被积函数是多元函数，积分范围是平面或空间的一个有界闭区域，两者虽然形式不同，但本质都是一种和式的极限本章主要介绍二重积分和三重积分的概念、性质、计算方法以及它们在几何和物理方面的一些应用1二重积分的概念及性质一、两个实例1.曲顶柱体的体积所谓 曲顶柱体 是指以xOy面上的有界闭区域D为底，以D的边界曲线为准线、母线平行于z轴的柱面为侧面，以曲面,zfx y(其中,fx y是D上的非负连续函数)为顶的这样一种立体(如图9-1)下面运用第5 章中计算曲边梯形面积的思想来计算上述曲顶柱体的体积.现将具体计算过程阐述如下:(1)分割：将曲顶柱体分割成若

2、干小曲顶柱体将闭区域D任意分割成n 个小闭区域i，i同时也表示第i个小区域的面积以每个小区域i(1,2,)in的边界曲线为准线,作母线平行于z轴的柱面，这些柱面将曲顶柱体分成n 个小曲顶柱体(如图9-2),设其体积为iV(1,2,)in,则曲顶柱体体积1niiVV(2)近似：用小平顶柱体的体积近似代替小曲顶柱体的体积在 每 个 小 区 域i内 任 取 一 点,ii,以i为 底，(,)iif(1,2,)in为高的小平顶柱体的体积作为相应小曲顶柱体体积的近似值，即(,)(1,2,)iiiiVfin(3)求和：用 n 个小平顶柱体的体积和作为曲顶柱体体积V的近似值名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师

3、精心整理-第 1 页，共 49 页 -116 11(,)nniiiiiiVVf(4)取极限当对区域D的分割无限变细，即当各个小闭区域i(1,2,)in的直径(有界闭区域的直径是指区域中任意两点间距离的最大值)中的最大值趋于零时，取上式和式的极限，便可得到所求曲顶柱体的体积011lim(,)nniiiiiiVVf2.平面薄板的质量设一平面薄板占有xOy面上有界闭区域D，它在点,x y 处的面密度yx,为D上的非负连续函数，求该薄板的质量m 如果薄板是均匀的，即面密度是常数，则薄板质量为m面密度薄板面积，而此薄板面密度yx,是变量，故不能用上面公式计算此薄板质量类似于上面求曲顶柱体体积的方法，下面

4、来计算薄板的质量m(1)分割如图 9-3，将闭区域D任意分割成 n 个小闭区域i，i同时也表示第i个小区域的面积(1,2,)in 设第i个小区域的质量为im(1,2,)in，于是1niimm(2)近似由于yx,连续,小区域上面密度变化很小，可近似地看作是均匀的，于是在i内任取一点,ii(1,2,)in，有,1,iiiimin(3)求和将这 n 个近似值相加，便得到整个平面薄板质量的近似值，即1(,)niiiim(4)取极限当 n 个小区域的最大直径0时，上述和式的极限就是所求薄板的质量，即011lim(,)nniiiiiimm名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 49

5、页 -117 上面两个实例，一个是几何问题，一个是物理问题虽然两个问题的实际意义不同，但是解决这两个问题的思想方法都是相同的，结果都归结为计算同一形式和式的极限抛开上述两个问题的具体意义，可抽象出下述二重积分的定义二、二重积分的定义定义 1 设函数(,)fx y是有界闭区域D上的有界函数，将D任意分割成n 个小闭区域i，并用i表示第i个小区域的面积(1,2,)in在每个小闭区域i内任取一点,ii，作乘积(,)(1,2,)iiifin,并求和1(,)niiiif.如果当各小闭区域的直径中的最大值趋于零时，此和式极限存在，且与区域D的分法和点,ii的取法无关，则称(,)fx yD上可积，并称此极限

6、值为函数(,)fxy在闭区域D上的 二重积分，记作,dDfx y，即01,dlim(,)niiiiDfx yf其中(,)fx y称为 被积函数，(,)dfx y称为被积表达式，x，y称为 积分变量，d称为面积微元，D称为 积分区域 在上述定义中对闭区域D的分割是任意的，如果(,)fx y在D上可积，那么为方便计算，我们可取特殊的分割例如在直角坐标系中，可用平行于坐标轴的直线来分割区域D，此时除了包含D边界的一些小区域外，其余的小区域都是矩形区域，且小矩形区域的面积为iiixy因此在直角坐标系中，常将二重积分的面积元素写成d=ddx y，二重积分常可以写为,d,d dDDfx yfx yx y

7、利用上述定义，前面所讨论的两个实例可分别如下表示：(1)曲顶柱体的体积是曲面(,)zfx y(,)0fx y在底D上的二重积分，即,dDVfx y(2)平面薄板的质量是其面密度yx,在薄板所占闭区域D上的二重积分，即,dDmx y与定积分类似，下面不加证明地给出二重积分存在的两个充分条件定理 1 若函数(,)fx y在有界闭区域D上连续，则(,)fx y在区域D上可积定理2 若函数(,)fxy在有界闭区域D上有界，且分片连续（即可把D分成有限个名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 49 页 -118 子区域，使(,)fx y在每个子区域上都连续），则(,)fx y在区域

8、D上可积三、二重积分的几何意义设函数(,)fx y连续，则(1)当(,)0fx y时，二重积分,dDfx y表示的是以曲面(,)zfx y为顶，以区域D为底的曲顶柱体的体积V，即,dDfx yV；(2)当(,)0fx y时，曲顶柱体在xOy面下方，此时,dDfx y表示的是曲顶柱体体积V的负值，即,dDfx yV；(3)当(,)fx y有正有负时，,dDfx y表示区域D上在xOy面上方的曲顶柱体体积1V与xOy面下方的曲顶柱体体积2V之差，即12,dDfx yVV例 1 利用二重积分的几何意义,计算二重积分222dDIRxy，其中区域222,DxyxyR解 被积函数222,fx yRxy是半

9、径为R的上半球面,积分区域D是半径为R的圆,所以由二重积分的几何意义可知，所求二重积分为上半球体的体积，即22232d3DIRxyR四、二重积分的性质二重积分具有与定积分类似的性质，下面假定所讨论的函数在相应积分区域上均可积性质 1 两个函数和(或差)的二重积分等于它们二重积分的和(或差)，即,d,d,dDDDfx ygx yfx ygx y性质 2 被积函数的常数因子可以提到二重积分的符号外面,即对任意常数k，有名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 49 页 -119,d,dDDk fx ykfx y性质 1 和性质 2 称为二重积分的线性性质，且对任意常数12,nk

10、kk，有1122,dnnDk fx yk fx yk fx y1122,d,d,dnnDDDkfx ykfx ykfx y性质 3 若被积函数(,)1fx y,则1 ddDD，其中为区域D的面积该性质的几何意义是很明显的,即高为 1 的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积性质 4(积分区域可加性)若积分区域D被一条曲线分成两个闭区域1D和2D，则有12,d,d,dDDDfx yfx ygx y这一性质可推广到将D分割成有限个区域1,2,iDin上去，即12,d,d,d,dnDDDDfx yfx ygx ygx y性质 5(二重积分保号性)若(,)0fx y,x yD，则,d0Dfx y推论

11、1 若在区域D上(,),fx ygx y，则,d,dDDfx ygx y推论 2,d,dDDfx yfx y性质 6(二重积分估值定理)设M及 m 分别是函数(,)fx y在闭区域D上的最大值与最小值，为区域D的面积，则,dDmfx yM性质 7(二重积分中值定理)设函数,fx y 在闭区域D上连续，为区域D的面积，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 49 页 -120 则在D上至少存在一点,，使得,d,Dfx yf证 因为,fx y 在D上连续，由最值定理知，,fx y在D上必存在最大值M和最小值 m，由性质6 有,dDmfx yM再由介值定理知，至少存在一点,D，

12、使得1,d,Dfx yf即,d,Dfx yf证毕 这一性质的几何意义：在D上以曲面,fx y为顶的曲顶柱体的体积，等于D上以某一点,的函数值,f为高的平顶柱体的体积例 2 利用二重积分的性质，估计二重积分5 dDIxy的值，其中22,4Dx yxy解 如图 9-4 所示，当224xy时，2 22 2xy，所以225 42254I习题9-1 1利用二重积分定义证明:(1)dD(其中为区域D的面积)；(2),d,dDDk fx ykfx y(k为常数)2利用二重积分的几何意义，计算下列二重积分：(1)1dDxy，其中积分区域D是由直线1xy，0 x，0y所围成的名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师

13、精心整理-第 6 页，共 49 页 -121 区域；(2)2dD，其中积分区域,1,1,0Dx yxyyxy；(3)dD，其中积分区域2222,1xyDx yab3利用二重积分的性质，比较下列二重积分的大小：(1)2dDxy与3dDxy，其中积分区域D是由直线1xy与 x 轴，y轴所围成的区域；(2)2dDxy与3dDxy，其中积分区域D是由圆22212xy所围成的区域；(3)lndDxy与2lndDxy，其中积分区域D是以点1,0，1,1，2,0为顶点的三角形闭区域；(4)lndDxy与2lndDxy，其中积分区域,35,01Dx yxy4利用二重积分的性质，估计下列二重积分的值：(1)1

14、dDxy，其中积分区域,01,02Dx yxy；(2)22sinsindDxy，其中积分区域,0,0Dx yxy；(3)sincosdxyDe，其中积分区域22,4Dx yxy；(4)2249 dDxy，其中积分区域22,4Dx yxy2二重积分的计算一、直角坐标系下二重积分的计算由于二重积分的值与积分区域D有关，因此下面在直角坐标系下按积分区域D的类名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 49 页 -122 型介绍二重积分,dDfx y的计算方法，其中被积函数,fx y 为D上连续函数1、积分区域D为X型区域二重积分,dDfx y的计算所谓X型区域 是指由曲线1yx和2

15、yx以及直线xa 和xb所围成的闭区域，这里函数1x、2x在区间,a b上连续(如图 9-5)该区域的特点是过D内部任一点作一条平行于y轴的直线，该直线与D的边界交点不超过两个X型区域D可这样表示：12,Dx yxyxaxb若,0fx y且在X型区域D上连续，则由二重积分的几何意义知，,dDfx y表示的是以D为底，以,zfx y 为顶的曲顶柱体的体积下面利用“切片法”来计算上述曲顶柱体的体积V如图 9-6，过 x 轴上区间,a b上任一点 x 作垂直于 x 轴的平面，该平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间12,xx为底，以曲线,zfx y 为曲边的曲边梯形，且截面面积为21,dxxAxfx y

16、y再利用第六章定积分的几何应用:已知立体的截面面积Ax，,xa b，则立体体积公式dbaVAxx，可得曲顶柱体的体积V为21d,ddbbxaaxVAxxfx yyx名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 49 页 -123 此体积V的值即为二重积分,dDfx y的值，即有21,d,ddbxaxDfx yfx yyx(1)上式右端称为先对y积分然后再对x 积分的 二次积分 或累次积分 它的实质是计算两次定积分:先把 x 看成常数，即,fxy 只看成y的函数，对变量y计算从1x到2x的定积分21,dxxfx yy，其结果是x 的函数，然后再对变量x 计算,a b上的定积分这种

17、先对y后对 x 的累次积分也常记作21d,dbxaxxfx yy因此公式(1)也常写为21,dd,dbxaxDfx yxfx yy (2)2、积分区域D为Y型区域二重积分,dDfx y的计算所谓Y型区域 是指由曲线1xy和2xy 以及直线yc和yd所围成的闭区域，这里函数1y、2y在区间,c d上连续(如图 9-7)该区域的特点是过D内部任一点作一条平行于x 轴的直线，该直线与D的边界交点不超过两个Y型区域D可这样表示：12,Dx yyxycyd类似于X型区域D上二重积分,dDfx y计算公式(1)或(2)的推导，容易得到Y型区域D上二重积分,dDfx y可化为先对x 积分再对y积分的累次积分

18、来计算，计算公式为名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 49 页 -124 2211,d,ddd,ddydycycyDfx yfx yxyyfx yx (3)注 上面公式(2)和公式(3)的推导中，总假定了,0fx y，实际上此条件可去掉，即对有界闭区域上的任意连续函数,fx y，公式(2)和公式(3)均成立若积分区域D既是X型区域，又是Y型区域，则有2211,dd,dd,dbxdyaxcyDfx yxfx yyyfx yx此式说明两个不同顺序的累次积分相等，同为原二重积分之值但在具体计算中，两种方法的效果有时未必相同，甚至其中一种顺序可能无法进行计算，如下面例3因此在

19、实际计算中选择恰当的积分次序很关键3、积分区域D既非X型区域又非Y型区域此时可用平行于坐标轴的直线将D分割成几个子区域，使每个子区域成为X型区域或Y型区域然后利用积分区域可加性，分别计算出相应子区域上的二重积分再求和即可(如图9-8)，即12,d,d,dDDDfx yfx yfx y3,dDfx y例 1 计算二重积分1d34Dxy，其中D,22,11x yyx解 首先画出积分区域D的图形(如图 9-9)，D既是X型区域，又是Y型区域方法一：按X型区域，即按先y后 x 的次序计算，有1d34Dxy1212d1d34xyxy212121d38xyyyx1144d83xx方法二：按Y型区域，即按先

20、x 后y的次序计算，有1d34Dxy2121d1d34xyyx名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 49 页 -125 122211d64yxxxy2212d82yy特别地，当积分区域D为矩形域,Dx ycyd axb，且被积函数可分离变量，即12,fx yfxfy 时，二重积分12,dddbdacDfx yfxxfyy上式右端实际上是两个定积分之积，这样可简化计算证明留给读者例 2 计算dDxy，其中D由抛物线2yx和直线2yx所围闭区域解 首先画出积分区域D的图形(图 9-10)方法一：视D为Y型区域，即2,2,12Dx yyxyy(如图 9-10(a)，于是dD

21、xy2221ddyyyxyx2221ddyyyyxx224114 52d28yyyy方法二：视D为X型区域，此时须用直线1x将D分割成1D,01x yxyxx和2D,2,14x yxyxx两个子区域(如图 9-10(b)，则名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 11 页，共 49 页 -126 12dddDDDxyxyxy14012ddddxxxxxxy yxxyy458比较两种方法，显然方法一要简洁些例 3 计算sindDyy，其中D是由直线yx和曲线yx所围成的闭区域解 积分区域D如图 9-11 所示，显然D既是X型区域，又是Y型区域 若视D为X型区域，即,01Dx yxyxx

22、，于是s i ndDyy10s i nddxxyxyy由一元函数积分学知，sin yy的原函数不能用有限形式的初等函数表示，计算无法继续但若改变积分次序，视D为Y型区域，即2,01Dx yyxyy，于是s i ndDyy210s i nddyyyyxy10s i ns i nd1s i n 1yyyy由例 2 和例 3 可以看出，将二重积分转化为不同次序的累次积分，其计算难易程度可能不同在选择积分次序时，既要考虑积分区域的形状，还要考虑被积函数的特性，两者综合考虑才能选择恰当的积分次序例 4 设,fx y 连续，改变下列累次积分的积分次序:(1)2120d,dxxxIxfx yy；(2)213

23、10100010d,dd,dxxIxfx yyxfx yy解(1)首先根据累次积分的积分限画出X型积分区域2,2,01Dx y xyxxx(如图 9-12)，再将D视为Y型区域，即2,11,01Dx yyxyy，于是名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 12 页，共 49 页 -127 21011d,dyyIyfx yx(2)首先将所给的累次积分看成函数,fx y 在区域D上的二重积分，积分区域12DDD(如图 9-13)，其中1,03,01Dx yyxx，2D2,010,110 x yyxx，然后视D为Y型区域，即22,10,039yDxyxyy，则2293100d,dyyIyf

24、x yx 在第五章定积分中我们知道，奇函数或偶函数在对称区间上的定积分可以相抵消或合成，从而简化了定积分的计算同样，二重积分也有类似的结论，称为二重积分的对称性质，具体内容如下：(1)若积分区域D关于 x 轴对称，且被积函数,fx y关于y为奇(偶)函数，则有12,d,d0,.DDfx yfyfxyfx yfx yfyfxyfxy为的 偶 函 数即为的 奇 函 数即，其中1D为D在 x 轴的上半平面部分(2)若积分区域D关于y轴对称，且被积函数,fx y 关于 x 为奇(偶)函数，则有2.2,d,d0,DDfx yfxfxyfx yfx yfxfx yfx y为的 偶 函 数即为的 奇 函 数

25、，即，其中2D为D在y轴的右半平面部分名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 13 页，共 49 页 -128(3)若积分区域D关于原点对称，且被积函数,fx y 同时为 x，y的奇(偶)函数，则有3,.2,d,d0,DDfx yfxyfxyfx yfx yfxyfxyfx y同 时 为的 偶 函 数，即同 时 为的 奇 函 数，即，其中3D为D的上半平面部分(4)若积分区域D关于直线yx对称，则有,d,dDDfx yfy x利用此结论可简化二重积分的计算，例如上面例2 的方法二中，积分区域1D关于 x 轴对称，且被积函数,fx yxy 关于y为奇函数，故可不必将二重积分1dDxy化

26、为累次积分10ddxxxxyy计算，而直接由二重积分的对称性质有1d0Dxy但值得注意的是只有当积分区域D的对称性与被积函数,fx y的奇偶性均满足时才能使用此结论例 5 计算dDxy，其中,1Dx yxy解 积分区域D如图 9-14 所示，D既关于 x 轴对称，又关于y轴对称，且被积函数,fx yxy 关于关于 x 和y均为偶函数，所以dDxy14dDxy110044dd3xxxyy二、极坐标系下二重积分的计算在介绍极坐标系下二重积分的计算之前，先看下面的例子例 6 计算22dDIxy，其中22,1Dx yxy解 若采用直角坐标系下的二重积分公式有21122004ddxIxxyy名师资料总结

27、-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 14 页，共 49 页 -129 21122222002lndxyxyxyxyx212201121lndxxxxx显然要算出上式右端的定积分并不容易为了给出简便的计算方法，下面讨论极坐标系下二重积分的计算公式以及如何将二重积分转化为累次积分1、极坐标系下二重积分的计算公式将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下的二重积分，需同时将被积函数,fx y，积分区域D及面积元素dd dx y用极坐标表示在直角坐标系xOy中，取原点作为极坐标系的极点，取 x 轴正半轴为极轴(如图9-15)，则点P的直角坐标,x y 与极坐标,之间有如下关系式:cos,sin,xy及

28、22,arctan.xyyx被积函数,fx y的极坐标形式为cos,sinf下面问题的关键是极坐标系下面积微元d用,如何表示?为此我们用如下的坐标曲线网去分割区域D，即用一簇同心圆常数和一簇以极点O为起点的射线常数来分积分区域D(如图9-16)，将D分成若干小区域i1,2,in 设i为i，ii，i，ii所围区域，则221122iiiiii212iiiii当i和i都充分小时，可略去比iii更高阶的无穷小212ii，得i的近似值为iiii再利用微分概念便可得极坐标系下的面积元素d为ddd假定积分区域D在极坐标系下表示为D，于是有极坐标系下二重积分的表示式为名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整

29、理-第 15 页，共 49 页 -130,dc o s,s i nddDDfx yf (6)2、极坐标系下二重积分化为累次积分极坐标系中的二重积分，同样可以化为累次积分来计算，且积分次序一般是先对r后对积分下面按积分区域D的三种情形来讨论二重积分在极坐标系下如何化为累次积分计算(1)极点O在积分区域D的外部如图9-17，区域D由射线,，连续曲线1和221所围成，此时12,D，则21cos,sindddcos,sindDff(2)极点O在积分区域D的内部设区域D的边界曲线方程为(如图 9-18a)，或极点在区域D的内边界内(如图 9-18b)，此时,0,02D或名师资料总结-精品资料欢迎下载-名

30、师精心整理-第 16 页，共 49 页 -131 12,02D于是200cos,sindddcos,sindDff或2120cos,sind ddcos,sindDff(3)极点O在积分区域D的边界上如图 9-19，设区域D的边界曲线为，此时,0,D，于是0cos,sindddcos,sindDff通常，在下面两种情形下，往往运用上述公式将直角坐标系下二重积分化为极坐标系下的累次积分，这样可简化二重积分的计算:(1)积分区域D是圆域、圆环、扇形、曲边扇形等；(2)被积函数含有表达式22fxy，yfx或xfy例 6(续)解 由于被积函数含有22xy，且积分区域为圆域，因此在极坐标系下来计算I的值

31、，较为简便如图9-20，极点位于积分区域D内，且在极坐标变换下，圆域22,1Dx yxy对应的区域,01,02D，于是名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 17 页，共 49 页 -132 212002dddd3DI注 本题亦可利用二重积分的几何意义来计算，请读者思考例 7 化累次积分21101d,dxxIxfx yy为极坐标系下的累次积分解 本题的解题步骤与直角坐标系下改变积分次序的步骤相同首先根据所给累次积分的上下限写出积分区域2,11,01Dx yxyxx，并画出积分区域D的图形(如图 9-21)，将区域D的边界曲线化为极坐标形式:由0 x，即cos02；0y，即sin00；

32、211yx；1yx，即1sin1cossincos所以在极坐标系下区域D可表示为1,1,0sincos2D再将被积函数和面积微元d均化为极坐标形式，于是I在极坐标系下的表达式为21sincos10dcos,sindIf例 8 计算221dDxy，其中211,24Dx yxy解 如图 9-22，积分区域D是圆心在10,2，半径为12的圆域区域D在极坐标系下可表示为,0sin,0D于是2221d1ddDDxy名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 18 页，共 49 页 -133 sin200d1d322sin0011d32233011cos1 dcos1 d33121243323323

33、9例 9(1)计算二重积分22d dxyDIex y，其中222,Dx yxyR；(2)利用(1)的结果计算广义积分20dxex的值解 (1)因为积分区域222,Dx yxyR关于原点对称，且被积函数22xye同时为,xy的偶函数，所以利用二重积分的对称性质有2214d dxyDIex y，其中2221,0,0DxyxyRxy在极坐标变换下，1,0,02DR，于是222004dd1RRIee注 本题若不采用极坐标变换计算，而用直角坐标系下二重积分化为累次积分计算，就会遇到计算2dyey的问题，但我们不能把2dyey表示为初等函数，因此在直角坐标系下就无法计算此二重积分由此可见，选择适当的坐标系

34、对于简化二重积分的计算是很关键的(2)如图 9-23 所示，构造三个积分区域:2221,0,0DxyxyRxy；2,0,0Dx yxRyR；名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 19 页，共 49 页 -134 2223,2,0,0Dx yxyRxy则123DDD，由于220 xye，所以222222123d dd dd dxyxyxyDDDex yex yex y由于2221d d14xyRDex ye，22232d d14xyRDex ye，又2222222000d ddddRRRxyxyxDex yexeyex，所以214Re220dRxex2214Re，令R，上式两端趋于同

35、一数值4，由夹逼准则有20d2xex此例的结果是概率论中研究正态分布时会用到的一个重要的结论*三、二重积分的一般换元法由第五章我们知道，在计算某些定积分时，要对积分变量作代换，也称换元，将复杂形式的定积分转化为容易计算的定积分同样，二重积分也有换元技巧，除了上面使用的极坐标变换之外，还可作一般的变量代换，其目的是使较复杂的被积函数和积分区域简化，使二重积分便于计算下面不加证明地给出二重积分换元法的一般表示式定理 1 设函数,fx y在有界闭区域D上连续，变换,xx u vyy u v将uO v平面上的闭区域D一对一地变换到xOy平面上的区域D，函数,xx u vyyu v在区域D上对,u v具

36、有一阶连续偏导数，且在D上雅可比行列式,0,xxx yuvJyyu vuv，则有名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 20 页，共 49 页 -135,d,ddDDfx yfx u vy u vJu v (*)式(*)称为 二重积分的换元公式注 若J只在D内个别点上或在某一条曲线上为零，而其它点上不为零，则(*)式仍成立在使用二重积分的换元公式时，选择的变换式,xx u vyy u v要遵守以下三条:(1)要对,u v具有一阶连续偏导数，且雅可比行列式0J；(2)要能够使被积函数尽可能简化，以便容易积分；(3)要使以新变量表示的积分区域变得简单，从而使积分限容易确定将该定理应用于极

37、坐标变换cos,sinxy，有cossin,sincos,x yJ，代入(*)式即得极坐标变换下的二重积分计算公式(6)，可见极坐标变换只是二重积分换元法的一种常用的特殊情形例 10 计算cosd dDyxx yyx，其中D是由 x 轴，y轴及直线1xy，2xy围成的区域解对给定的被积函数在直角坐标系中难以计算，故采用换元法，令,uyxvyx即,2.2uvxuvy在此变换下，xOy平面上的区域D变为uO v平面上的区域D(如图9-24)，其中,12Du vvuvv，其雅可比行列式为名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 21 页，共 49 页 -136 11,12211,222x y

38、Ju v于是1cosd dcosd d2DDyxux yu vyxv211dcosd2vvuvuv213sin 1dsin 12v v例 11 求抛物线2yx，22yx及双曲线2xy，3xy所围闭区域D的面积解 积分区域D如图 9-25 所示，作变换2,yuxvxy则在此变换下，将积分区域D变换为uO v平面上的矩形区域,12,23Du vuv，且利用雅可比行列式的性质有2,1110,3,3,x yJu vyu vuxx y所以所求面积A为322111111d dddddln 2333DDAx yuvvuuu名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 22 页，共 49 页 -137 例

39、 12 计算22221d dDxyx yab，其中2222,1xyDx yab解作广义极坐标变换:cos,sin,xayb则在该变换下，xOy平面上的区域D变为u O v平面上的区域,01,02D，且雅可比行列式cossin,sincos,aax yJabbb其中J仅在0时为零，所以222221d d1ddDDxyx yabab212002d1d3abab习题9-21画出积分区域，并计算下列二重积分：(1)3233dDxx yy，其中,01,01Dx yxy；(2)dDxy，其中D是由直线1y，2x及yx围成的区域；(3)2dDxy，其中D是由直线yx和2yx围成的区域；(4)22dDxy,其

40、中D是由曲线1xy及直线yx，2x围成的区域；(5)2dyDe，其中由直线yx，1y与y轴围成的区域；(6)2sindDx，其中D是由直线yx，0y和1x围成的区域2改变下列累次积分的积分次序：(1)110d,dyyfx yx；(2)10d,dyyyfx yx；名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 23 页，共 49 页 -138(3)121d,dxxxfx yy；(4)220d,dyyIyfx yx；(5)2111220010d,dd,dyyyfx yxyfx yx；(6)220212200d,dd,dxxxxfx yyxfx yy3利用二重积分的对称性，计算下列二重积分：(1)

41、322cosdDxxy，其中22,2Dx yxyy；(2)dDxy，其中,1Dx yxy；(3)dDxy，其中D是由 yx，2yx，1y所围闭区域4利用极坐标变换，计算下列二重积分：(1)221dDxy，其中22,1Dxyxy；(2)22sindDxy，其中2222,4Dxyxy；(3)22dDyxy，其中22,2Dx yxyx；(4)dDxy，其中222,(0)Dx yxyaa；(5)22dDxyxy，其中22,1,1Dx yxyxy；(6)arctandDyx，其中D是由圆周224xy，221xy及直线0y，yx所围成的在第一象限内的闭区域5化下列累次积分为极坐标形式的累次积分：(1)21

42、12200ddxxfxyy；(2)130ddxxyxfyx；(3)1100d,dxxfx yy；(4)2100d,dxxxfx yy；名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 24 页，共 49 页 -139(5)222402d,dxxxxfx yy；(6)1100d,dyfx yx*6利用适当的坐标变换，计算下列二重积分：(1)d dxyxyDex y，其中,1,0,0Dx yxyxy；(2)2222d dDxyx yab，其中2222,1xyDx yab*7设D是由曲线4xy，8xy，35xy，315xy所围成的第一象限部分的闭区域，求D的面积3三重积分一、三重积分的概念实例(空间

43、立体的质量)设有一质量分布不均匀的物体占有空间区域，它在点,x y z处的密度为,x y z，其中,x y z是上的非负连续函数，求该物体的质量M类似于求平面薄片的质量，将区域任意分割成n 个小区域iV1,2,in，其中iV既表示第i个小区域，也表示第i个小区域的体积在小立体iV上任取一点,iii，显然小立体iV的质量iM近似地等于,iiiiV1,2,in，即,1,2,iiiiiMVin于是，立体的总质量的近似值为11,nniiiiiiiMMV记1maxiind，其中id为iV1,2,in的直径(直径定义如前所述)，则当0时，上述和式的极限就等于M的精确值，即01lim,niiiiiMV这正是

44、三重积分的物理背景由此可见，三重积分与二重积分的定义方式是一样的因此，我们自然可将二重积分的定义推广得到三重积分的定义，只要把二重积分定义中的平面区域和面积等分别改为空间区域和体积等下面给出三重积分的定义定义 1 设三元函数,fx y z 是定义在空间有界闭区域上的有界函数，将任意分割成n个小闭区域iV，且iV1,2,in也表示它的体积在iV中任取一点名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 25 页，共 49 页 -140,iii，作 乘 积,iiiifV1,2,in，并 求和1,niiiiifV，记1m axiind，id为第i个小区域iV1,2,in的直径，当0时，如果上面和式的

45、极限总存在，且与的分割法及点,iii1,2,in的取法无关，则称函数,fx y z 在上 可 积，并 称此 极限 值为 函数,fx y z 在上的 三 重 积 分，记作,dfx y zv，即01,dlim,niiiiifx y zvfV其中,fx y z 称为 被积函数，,dfx y zv 称为 被积表达式，dv称为 体积微元，称为积分区域，,x y z称为 积分变量 上述定义中对积分区域的分割是任意的 在直角坐标系中，如果,fx y z 在上可积，那么可用平行于坐标面的平面来分割，除了包含的边界点的一些不规则的小闭区域外，其余的小闭区域i都是长方体设小长方体i的边长为,iiixyz，则小长方

46、体的体积iiiiVxyz，因此，在直角坐标系中，三重积分的体积微元为ddd dvx y z于是三重积分也可记为,d,d d dfx y zvfx y zx y z 由三重积分的定义可知，前面实例可这样描述:占有空间区域的空间物体的质量M等于其密度函数,x y z 在上的三重积分，即,dMx y zv 特别地，当,1fx y z时，三重积分dv 的数值等于空间区域的体积与二重积分类似，下面不加证明地给出三重积分的存在定理定理1 若函数,fx y z 在空间有界闭区域上连续，则,fx y z 在区域上可积三重积分的性质与二重积分的性质类似，这里不再一一详述，只简单介绍三重积分的对称性质 例如当积分

47、区域关于xOy坐标面对称，且被积函数,fx y z 关于z是奇(偶)函数，则有1,2,d,d0,.fzfxyzfx y zfzfxyzfxy zfx y zvfx y zv为的 偶 函 数，即为 的 奇 函 数，即名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 26 页，共 49 页 -141 其中1表示在xOy坐标面上方的部分当积分区域关于yOz面对称，或关于zO x面对称时，也有类似的结论二、直角坐标系下三重积分的计算1“先一后二”法下面从计算空间物体的质量的模型出发，导出三重积分的计算公式设函数,f x y z 是空间有界闭区域上的非负连续函数，则三重积分,dfx y zv可看成占有空

48、间区域且体密度为,fx y z 的空间物体的质量，即,dmfx y zv 下面从另一角度来计算的质量如图 9-26，设物体占有空间区域，其侧面是母线平行于z轴的柱面，在xOy面上的投影区域为xyD，上、下底面分别为连续函数2,zzx y、1,zzx y2,zx y1,zx y，则可表示为12,xyx y zzx yzzx yx yD在区域xyD内点,0 x y处取面积微元d=ddx y，以d的边界曲线为准线，作母线平行于z轴的柱面，此柱面截取的部分可看成一根“细棒”，细棒的质量21,d,dddzxyzxymxyfxyzzxy，其中z是积分变量，,x y看作常量将所有细棒的质量相加，便得到的质量

49、21,d,dd dxyxyzxyzx yDDmmx yfx y zzxy若区域xyD可以表示为12,xyDx yyxyyxaxb，则2211,dd,dbyxzx yayxzx ymxyfx y zz抽去上述具体的质量的含义，便得直角坐标系下三重积分的计算公式名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 27 页，共 49 页 -142 21,d,dd dxyzxyzxyDfx y zvfx y zzx y =2211,dd,dbyxzx yayxzx yxyfx y zz，(1)这样便将三重积分化成了三次积分公式(1)是将空间区域投影到xOy面得到的，有时也可将区域投影到xO z面或yOz

50、面上，其方法与上面类似例如，将区域投影到xO z面上，设投影区域为xzD，则可表示为12,xzx y zyx zyyx zx zD，于是有21,d,dd dxzyx zyx zDfx y zvfx y zyx z 上面这种按照先定积分后二重积分的步骤计算三重积分的方法称为“先一后二”法例 1 计算d d dxyzx y z，其中,12,21,01x y zxyz解 先对z积分，由于z的变化范围由0到1，于是211120d d ddddzxyzx y zxyxyz21121dd2xxyy2193d2x x特别地，若积分区域为长方体：,x y zaxb cyd ezf，且被积函数,fx y zgx