2022年初中数学中考复习专题之三角函数反比例函数实数运算 .pdf

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1、1 中考复习专题（二）解直角三角形反比例与一次函数一、坡度大坝问题知识梳理一、定义：在筑坝、开渠、挖河和修路的设计图纸上都有注明斜坡的倾斜程度。我们通常把坡面的铅直高度h 和水平宽度l的比叫做坡度（或叫坡比），用字母i 表示，即lhi，坡度一般写成1:m 的形式，如)51(5:1ii即，如果把坡面与水平面的的夹角记为（叫做坡角），那么坡度i 等于坡角的正切值，即tani二、坡度于坡角的区别与联系：坡度与坡角都表示斜坡的倾斜程度，坡度越大，坡角也越大，坡面就越陡；坡角是斜坡与水平面的夹角，是个角度，其单位是度，而坡度是坡角的正切值，是个比例，没有单位。例题解析例 1：如图，水库大坝的横断面为梯形

2、，坝顶宽6m，坝高 24m，斜坡 AD的坡角为45，斜坡 BC的坡度为i=1 2，则坝底 AB的长为（）A、42m B、（30203）C、78m D、30m 变式练习1.如图，铁路的路基的横截面是等腰梯形，斜坡 AB的坡度为13，BE为 33米，基面AD宽 2 米，求路基的高AE，基底的宽BC及坡角 B的度数.（答案可带根号）2 如图（2）：河堤横断面为梯形，上底为4m，堤高为6m，斜坡AD 的坡度为13，斜坡 CB的坡度为45，则河堤横断面的面积为（）A、48m 2B、96 m 2C、84 m 2D、192 m B C D A B C D A F E 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心

3、整理-第 1 页，共 19 页 -2 3.如图：水坝的横断面是梯形,迎水坡 BC的坡角 B=30,背水坡 AD的坡度为4.如图，梯形ABCD是拦水坝的横断面图，B=60，AB=6，AD=4，求拦水坝的横断面ABCD的面积（结果保留三位有效数字.参考数据：31.732，21.414）例 2：如图，某堤坝的横截面是梯形ABCD，背水坡 AD的坡度 i（即 tan）为 11.2，坝高为 5 米。现为了提高堤坝的防洪抗洪能力，市防汛指挥部决定加固堤坝，要求坝顶CD加宽 1 米，形成新的背水坡EF，其坡度为11.4。已知堤坝总长度为4000 米。（1）求完成该工程需要多少土方？（2）该工程由甲、乙两个工

4、程队同时合作完成，按原计划需要20 天。准备开工前接到上级通知，汛期可能提前，要求两个工程队提高工作效率。甲队工作效率提高30%，乙队工作效率提高 40%，结果提前5 天完成。问这两个工程队原计划每天各完成多少土方？变式练习：1如图，有一段防洪大堤，它的横断面为梯形ABCD，AB/CD，斜坡 AD 的坡度2.1:1i，斜坡 BC的坡度8.0:1i，大堤顶宽DC为 6 米，为了增加抗洪能力，现将大堤加高，加高部分横断面为梯形DCFE，EF/DC，点 E、F分别在 AD、BC的延长线上，当新大堤顶宽EF=3.8米时，大堤加高了几米？A D B E i=1:3C ABCDEF名师资料总结-精品资料欢

5、迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 19 页 -3 2某商场门前的台阶截面积如图所示，已知每级台阶的宽度（如CD）均为 0.3m，高度（如BE）均为 0.2m。现将此台阶改造成供轮椅行走的斜坡，并且设计斜坡的倾斜角A 为 9，计算从斜坡的起点A 到台阶前点B 的距离。（精确到0.1m）。（参考数据：16.09tan,99.09cos,16.09sin）3水坝的横截面是梯形ABCD（如图 1），上底4AD米，坝高3DNAM米，斜坡AB的坡比3:11i，斜坡DC的坡比1:12i（1）求坝底BC的长（结果保留根号）；（2）为了增强水坝的防洪能力，在原来的水坝上增加高度（如图 2），使得水坝的上底2

6、EF米，求水坝增加的高度（精确到1.0米，参考数据73.13）A B C D M N（图 1）A B C D M N E F（图 2）名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 19 页 -4 二、测量物体的高度知识梳理：1特殊角的三角函数值：304560sin122232cos322212tan331 32坡度的定义及表示（难点）我们通常把坡面的铅直高度h 和水平宽度l的比叫做坡度（或坡比）。坡度常用字母i表示。斜坡的坡度和坡角的正切值关系是：lhatan注意：（1）坡度一般写成1：m的形式（比例的前项为1，后项可以是小数）；（2）若坡角为a，坡度为alhitan，坡度越大

7、，则a 角越大，坡面越陡。3仰角：当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角。俯角：当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角成为俯角。锐角三角函数名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 19 页 -5 例题解析例 1：如图，在观测点E测得小山上铁塔顶A的仰角为60o，铁塔底部B的仰角为45o已知 塔 高20mAB，观 测 点E到 地 面 的 距 离35mEF，求 小 山BD的 高（精 确 到0.1m31.732，）变式练习：1.小红同学想测量河对岸一通信塔的高度，她先在点A处测得塔顶D的仰角为30o，这时她再往正前方前进20 米到点B，又测得塔顶D的

8、仰角为45o，请你帮她算一算塔CD的高（答案保留根号）2.如图，山顶建有一座铁塔，塔高80BC米，测量人员在一个小山坡的P处测得塔的底部B点的仰角为45o，塔顶C点的仰角为60o已测得小山坡的坡角为30o，坡长40MP米求山的高度AB（精确到1米）（参考数据：21.414，31.732）A B E F D A B C D 30o45oCPBAM名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 19 页 -6 例 2：如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C 的仰角为 60o，沿山坡向上走到P处再测得点 C 的仰角为 45o，已知100OA米，山坡坡度为12（即1tan2PAB）且

9、OAB，在同一条直线上求电视塔OC 的高度以及此人所在位置点P的铅直高度（测倾器的高度忽略不计，结果保留根号形式）变式练习：1.如图，在一个坡角为15o的斜坡上有一棵树，高为AB当太阳光与水平线成50o时，测得该树在斜坡上的树影BC的长为7m，求树高（精确到0.1m）2.某中学初三（2）班数学活动小组利用周日开展课外实践活动，他们要在湖面上测量建在地面上某塔AB的高度如图，在湖面上点C测得塔顶A的仰角为45o，沿直线CD向塔AB方向前进18米到达点D，测得塔顶A的仰角为60o已知湖面低于地平面1米，请你帮他们计算出塔AB的高度（结果保留根号）CB E DA名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精

10、心整理-第 6 页，共 19 页 -7 例 3：图是乙楼高度、楼间距对甲楼采光影响的示意图甲楼地处A 地，其二层住户的南面窗户下沿距地面3.4 米现要在甲楼正南面建一幢高度为22.3 米的乙楼，为不影响甲楼二层住户（一层为车库）的采光，两楼之间的距离至少应为多少米（精确到0.1 米）？变式练习：1.如图，已知某小区的两幢10 层住宅楼间的距离为30mAC，由地面向上依次为第1 层、第 2 层、L、第 10 层，每层高度为3m假设某一时刻甲楼在乙楼侧面的影长ECh，太阳光线与水平线的夹角为（1）用含的式子表示h（不必指出的取值范围）；（2）当30o时，甲楼楼顶B点的影子落在乙楼的第几层？若每小时

11、增加15o，从此时起几小时后甲楼的影子刚好不影响乙楼采光？图甲乙3.4 太阳光线地平线名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 19 页 -8 2.如图，两建筑物ABCD，的水平距离30mBC，从点A测得点C的俯角60o，测得点D的仰角45o，求两建筑物ABCD，的高（结果保留根号）三、船是否触礁问题例 1（2012?仙桃）如图，海中有一小岛B，它的周围15 海里内有暗礁有一货轮以30 海里/时的速度向正北航行，当它航行到A处时，发现B岛在它的北偏东30方向，当货轮继续向北航行半小时后到达C处，发现 B岛在它的东北方向问货轮继续向北航行有无触礁的危险？（参考数据：1.7，1

12、.4）ABCD名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 19 页 -9 变式练习：1（2012 广元）如图，A，B两座城市相距100 千米，现计划要在两座城市之间修筑一条高等级公路（即线段AB）。经测量，森 林保护区中心P点在 A城市的北偏东30方向，B城市的北偏西45方向上。已知森林保护区的范围在以P为圆心，50 千米为半径的圆形区域内，请问：计划修筑的这条高等级公路会不会穿越保护区？为什么？2（2012?桂林）某市正在进行商业街改造，商业街起点在古民居P的南偏西60方向上的A处，现已改造至古民居P南偏西 30方向上的B处，A与 B相距 150m，且 B在 A的正东方向为

13、不破坏古民居的风貌，按照有关规定，在古民居周围100m以内不得修建现代化商业街若工程队继续向正东方向修建200m商业街到 C处，则对于从B到 C的商业街改造是否违反有关规定？名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 19 页 -10 3如图是某货站传送货物的平面示意图.为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45改为 30.已知原传送带AB长为 4 米.（1）求新 传送带 AC的长度；（2）如果需要在货物着地点C 的左侧留出2 米的通道，试判断距离B 点 4 米的货物MNQP是否需要挪走，并说明理由(说明：的计算结果精确到0.1 米，参考数据：21

14、.41，31.73，52.24，62.45)例 2.如图,公路 MN和公路 PQ在点 P 处交汇,且QPN=30,点A 处有一所学校,AP=160 米,假设拖拉机行驶时,周围 100米以内会受到噪声的影响,那么拖拉机在公路MN 上沿 PN的方向行驶时 ,学校是否会受到噪声影响?请说明理由.会影响多长时间？NQAMP变式练习:1.某货船以20 海里时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处，经 16 小时的航行到达，到达后必须立即卸货.此时.接到气象部门通知，一台风中心正以40 海里时的速度由 A向北偏西60方向移动，距台风中心200 海里的圆形区域(包括边界)均受到影响.(1)问：B处是否

15、会受到台风的影响?请说明理由.(2)为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物?(供选用数据：21.4，31.7)名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 19 页 -11 四、反比例与一次函数知识梳理：一、一次函数：1一次函数y=kx+b(k，b 为常数，k0)的图象是过(0，b)、(kb，0)两点的一条直线2当 k0 时，y 随 x 的增大而增大，这时函数的图象从左到右上升。(1)当 k0,b0 时,一次函数图象过一、二、三象限，(2)当 k0,b 0 时,一次函数图象过一、三、四象限，3当 k0 时，y 随 x 的增大而减小，这时函数的图象从左到右下降。(1)

16、当 k0 时,一次函数图象过一、二、四象限，(2)当 k0,b0 时,一次函数图象过二、三、四象限4.直线 b1=k1x+b1与直线 y2=k2x+b2（k10，k20）的位置关系k1k2y1与 y2相交；2121bbkky1与 y2相交于 y 轴上同一点（0，b1）或（0，b2）；2121,bbkky1与 y2平行；2121,bbkky1与 y2重合.二、反比例函数：1.反比例函数的图像是双曲线，xky（k为常数，0k）中自变量0 x，函数值0y，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。2.反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是xy或xy）。

17、3.反比例函数xky（0k）中比例系数k的几何意义是：过双曲线xky（0k）上任意引x轴y轴的垂线，所得矩形面积为k。4反比例函数性质如下表：k的取值图像所在象限函数的增减性ok一、三象限在每个象限内，y值随x的增大而减小ok二、四象限在每个象限内，y值随x的增大而增大5.反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出k）三、交点：连列函数解析式，解方程组四、面积：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 11 页，共 19 页 -12 基础过关：1、正比例函数y=kx（k0）的函数值y 随 x 的增大而增大，则一次函数y=x+k 的图象大致是（）A

18、 B C D 2、（2009?成都）某航空公司规定，旅客乘机所携带行李的质量 x（kg）与其运费y（元）由如图所示的一次函数图象确定，那么旅客可携带的免费行李的最大质量（）A、20kg B、25kg C、28kg D、30kg 3、若直线y=kxb 平行直线 y=3x4，且过点（1，-2），则 b=.4、已 知 直 线ykx4与 两 坐 标 轴 所 围 成 的 三 角 形 面 积 等 于 4，则 直 线 解 析 式 为_ 。5、（2008 徐州）如果点（3，4）在反比例函数kyx的图象上，那么下列各点中，在此图象上的是（）A.（3,4）B.（2，6）C.（2，6）D.（3，4）6、（2008

19、兰州）如图，已知双曲线kyx（0 x）经过矩形OABC的边ABBC，的中点FE，且四边形OEBF的面积为 2，则ky x O F A B E C 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 12 页，共 19 页 -13 例题解析：例 1：如图，在直角坐标平面内，函数myx（0 x，m是常数）的图象经过(14)A，()B ab，其中1a过点A作x轴垂线，垂足为C，过点B作y轴垂线，垂足为D，连结AD，DC，CB（1）若ABD的面积为 4，求点B的坐标；（2）求证：DCAB；（3）当ADBC时，求直线AB的函数解析式变式练习：1、如图，已知反比例函数(0)kykx的图象经过点(3)Am，过

20、点A作ABx轴于点B，且AOB的面积为3（1）求k和m的值；（2）若一次函数1yax的图象经过点A，并且与x轴相交于点C，求ACO的度数和|:|AOAC的值xCODBAyx y A B C O 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 13 页，共 19 页 -14 2、如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数 y=kx+b(k 0)的图象与反比例函数myx（m0）的图象交于二、四象限内的A、B两点，与 x 轴交于 C点，点 B的坐标为（6，n），线段 OA=5，E为 x 轴负半轴上一点，且4sin5AOE。（1）求该反比例函数和一次函数；（2）求 AOC 的面积。3、如图，在AOB

21、Rt中，点A是直线mxy与双曲线xmy在第一象限的交点，且2AOBS，求m的值。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 14 页，共 19 页 -15 4、已知，如图，在直角坐标系xOy 中，直线 AB与 x 轴交于点A（-2，0），与反比例函数在第一象限内的图象交于点B（2，n），连接 BO，若AOBS=4（1）求的解析式和反比例函数的解析式；（2）若把直线AB向下平移 4 个单位，与 x 轴交于点 E，与反比例函数在第一象限内的图象交于点 D，判断四边形ABDE是什么特殊四边形？并说明理由。例 2：已知反比例函数y=kx(k 0)和一次函数y=-x-6.(1)若一次函数和反比例函

22、数的图象交于点（-3，m），求 m和 k 的值;(2)当 k 满足什么条件时，这两个函数的图象有两个不同的交点？(3)当 k=-2 时，设（2）中的两个函数图象的交点分别为A、B，试判断此时A、B两点分别在第几象限？AOB是锐角还是钝角（只要求直接写出结论）？名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 15 页，共 19 页 -16 变式练习：1、如图，过y 轴上点 A的一次函数与反比例函数相交于B、D两点，B（-2,3），BC x 轴于C，四边形OABC 面积为 4.（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求点 D的坐标；（3）当 x 在什么取值范围内，一次函数的值大于反比例函数的

23、值。（直接写出结果）2、如图，已知A（-4,2），B（n，-4）是一次函数bkxy的图像与反比例函数xmy的图像的两个交点。（1）求反比例函数的解析式和一次函数的解析式；（2）根据图像写出一次函数的值小于反比例函数的值的x 的取值范围。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 16 页，共 19 页 -17 3、如图所示，已知反比例函数xky和一次函数6kxy的图象交于A，B 两点，过 A作 AC x 轴交 x 轴于 C点，ACO 的面积等于4（1）求两函数的表达式；（2）若直线AB分别与 y 轴、x 轴交于 M、N两点，求 NM NA的值名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-

24、第 17 页，共 19 页 -18 中考提高训练：1.如图，AOB为正三角形，点B的坐标为（2，0），过点 C（2，0）作直线交AO于点 D，交 AB点 E，点 E在双曲线kyx(x0)，若ADEOCDSS，则 k 的值是2.如图，直线y x1 交 x 轴于 A，交 y 轴于 B、P为反比例函数ykx（x0）图象上一点，PM x 轴于 M交 AB于 E，PNy 轴于 N交 AB于 F，若 EOF 45，则 k 的值为3（2012 江苏宿迁）如图，在四边形ABCD中，DAE=ABC=90，CD与以AB为直径的半圆相切于点E，EFAB于点F，EF交BD于点G。设AD=a，BC=b。（1）求CD的长

25、度（用a，b表示）；（2）求EG的长度（用a，b表示）；（3）试判断EG与FG是否相等，并说明理由。y x O M A E F N B P A B C D O E x y 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 18 页，共 19 页 -19 4（2012 乐山）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点 B的坐标为（n，n），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段 AB交 y 轴于点 C已知实数m、n（m n）分别是方程x22x3=0 的两根（1）求抛物线的解析式；（2）若点 P为线段 OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线 PC与抛物线交于D、E两点（点 D在 y 轴右侧），连接 OD、BD 当OPC为等腰三角形时，求点P的坐标；求BOD 面积的最大值，并写出此时点D的坐标名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 19 页，共 19 页 -