2022年选修-数学教案：..导数的几何意义 .pdf

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1、1.1.3 导 数 的 几 何 意 义课前预习学案一预习目标1.了解平均变化率与割线斜率之间的关系;2.理解曲线的切线的概念;3.通过函数的图像直观地理解导数的几何意义,并会用导数的几何意义解题。二预习内容1.曲线的切线及切线的斜率（1）如图 3.1-2,当(,()(1,2,3,4)nnnP xf xn沿着曲线()f x趋近于点00(,()P xf x时,即0 x时,割 线nPP趋 近 于 确 定 的 位 置,这 个 确 定 位 置 的 直 线PT称为.（2）割线nPP的斜率是00()()nnnfxfxkxx,当点nP沿着曲线无限接近点P时,nk无限趋近于切线PT的斜率k,即k=2.导数的几何

2、意义函数)(xfy在0 xx处的导数等于在该点00(,()xf x处的切线的斜率,即0()fx=.三提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案一学习目标1.了解平均变化率与割线斜率之间的关系;2.理解曲线的切线的概念;3.通过函数的图像直观地理解导数的几何意义,并会用导数的几何意义解题二学习过程（一）。复习 回顾 1 平均变化率、割线的斜率2。瞬时速度、导数（二）。提出问题，展示目标我们知道,导数表示函数)(xfy在0 xx处的瞬时变化率,反映了函数)(xfy在0 xx附近的变化情况,导数0()fx的几何意义是什么呢？名师资料总结-精品资

3、料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 6 页 -（三）、合作探究1.曲线的切线及切线的斜率（1）如图3.1-2,当(,()(1,2,3,4)nnnP xf xn沿着曲线()f x趋近于点00(,()P xf x时,割线nPP的变化趋势是什么？（2）如何定义曲线在点P处的切线？(3)割线nPP的斜率nk与切线PT的斜率k有什么关系？(4)切线PT的斜率k为多少？说明:(1)当0 x时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.这个概念:提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;切线斜率的本质函数在0 xx处的导数.(2)曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置

4、来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多.2.导数的几何意义（1）函数)(xfy在0 xx处的导数的几何意义是什么？（2）将上述意义用数学式表达出来。（3）根据导数的几何意义如何求曲线在某点处的切线方程？3.导函数（1）由函数)(xfy在0 xx处求导数的过程可以看到,当0 xx时,0()fx是一个确定的数,那么,当x变化时,()fx便是x的一个函数,我们叫它为)(xf的导函数.注:在不致发生混淆时,导函数也简称导数.（2）函数()f x在点0 x处的导数0()fx、导函数()fx、

5、导数之间的区别与联系是什么？区别：联系：（四）。例题精析例 1 求曲线1)(2xxfy在点)2,1(P处的切线方程.解:变式训练 1 求函数23xy在点(1,3)处的切线方程.例 2 如图 3.1-3,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数2()4.96.510h xxx,根据图像,请描述、比较曲线()h t在0t、1t、2t附近的变化情况.解:我们用曲线()h t在0t、1t、2t处的切线,刻画曲线()h t在上述三个时刻附近的变化情况.(1)当0tt时,曲线()h t在0t处的切线0l的斜率,所以,在0tt附近曲线比较平坦,几乎没有升降.(2)当1tt时,曲线()h t在1t处的切线1l的斜

6、率,名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 6 页 -所以,在1tt附近曲线下降,即函数2()4.96.510h xxx在1tt附近单调递减.(3)当2tt时,曲线()h t在2t处的切线2l的斜率,所以,在2tt附近曲线下降,即函数2()4.96.510h xxx在2tt附近单调递减从图 3.1-3 可以看出,直线1l的倾斜程度小于直线2l的倾斜程度,这说明曲线在1t附近比在2t附近下降的缓慢.例 3 如图 3.1-4,它表示人体血管中药物浓度()cf t(单位:/mg mL)随时间t(单位:min)变化的图象.根据图像,估计0.2,0.4,0.6,0.8t时,血管中药

7、物浓度的瞬时变化率(精确到0.1).解:三。反思总结1.曲线的切线定义.2.导数的几何意义3求曲线在一点处的切线的一般步骤：四。当堂检测1.求曲线2)(xxfy在点(1,1)处的切线.2.求曲线yx在点(4,2)处的切线.1.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 6 页 -1.1.3 导数的几何意义教学目标：1.了解平均变化率与割线斜率之间的关系;2.理解曲线的切线的概念;3.通过函数的图像直观地理解导数的几何意义,并会用导数的几何意义解题二教学重点难点：重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义.难点：导数的几何意义三教学过程：（一）。【复习回顾】1 平均变化

8、率、割线的斜率2。瞬时速度、导数（二）。【提出问题，展示目标】我们知道,导数表示函数)(xfy在0 xx处的瞬时变化率,反映了函数)(xfy在0 xx附近的变化情况,导数0()fx的几何意义是什么呢？（三）、【合作探究】1.曲线的切线及切线的斜率如图 3.1-2,当(,()(1,2,3,4)nnnP xf xn沿着曲线()f x趋近于点00(,()P xf x时,割线nPP的变化趋势是什么？我们发现,当点nP沿着曲线无限接近点P即0 x时,割线nPP趋近于确定的位置,这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线.问题:(1)割线nPP的斜率nk与切线PT的斜率k有什么关系？(2)切线PT的斜率

9、k为多少？容易知道,割线nPP的斜率是00()()nnnf xf xkxx,当点nP沿着曲线无限接近点P时,nk无限趋近于切线PT的斜率k,即0000()()lim()xf xxf xkfxx说明:(1)当0 x时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.这个概念:提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;切线斜率的本质函数在0 xx处的导数.(2)曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多.2.导数的几何意义函

10、数)(xfy在0 xx处的导数等于在该点00(,()xf x处的切线的斜率,即0000()()()limxf xxf xfxkx名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 6 页 -说明:求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:求出P点的坐标;求出函数在点0 x处的变化率0000()()()limxf xxf xfxkx得到曲线在点00(,()xf x的切线的斜率;利用点斜式求切线方程.3.导函数由函数)(xfy在0 xx处求导数的过程可以看到,当0 xx时,0()fx是一个确定的数,那么,当x变化时,便是x的一个函数,我们叫它为)(xf的导函数.记作:()fx或y,即0()()

11、()limxf xxfxfxyx.注:在不致发生混淆时,导函数也简称导数.4.函数()f x在点0 x处的导数0()fx、导函数()fx、导数之间的区别与联系(1)函数在一点处的导数0()fx,就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限,它是一个常数,不是变数.(2)函数的导数,是指某一区间内任意点x而言的,就是函数)(xf的导函数.(3)函数()f x在点0 x处的导数0()fx就是导函数()fx在0 xx处的函数值,这也是求函数在点0 x处的导数的方法之一.四。【例题精析】例 1 求曲线1)(2xxfy在点)2,1(P处的切线方程.解:222100(1)1(11)2|limlim2

12、xxxxxxyxx所以,所求切线的斜率为2因此,所求的切线方程为22(1)yx即20 xy变式训练 1求函数23xy在点(1,3)处的切线方程.因为2222111133 13(1)|limlimlim3(1)611xxxxxxyxxx所以,所求切线的斜率为6,因此,所求的切线方程为36(1)yx即630 xy例 2 如图 3.1-3,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数2()4.96.510h xxx,根据图像,请描述、比较曲线()h t在0t、1t、2t附近的变化情况.解:我们用曲线()h t在0t、1t、2t处的切线,刻画曲线()h t在上述三个时刻附近的变化情况.(1)当0tt时,曲线(

13、)h t在0t处的切线0l平行于x轴,所以,在0tt附近曲线比较平坦,几乎没有升降.(2)当1tt时,曲线()h t在1t处的切线1l的斜率1()0h t,所以,在1tt附近曲线下降,即函数2()4.96.510h xxx在1tt附近单调递减.(3)当2tt时,曲线()h t在2t处的切线2l的斜率2()0h t,名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 6 页 -所以,在2tt附近曲线下降,即函数2()4.96.510h xxx在2tt附近单调递减从图 3.1-3 可以看出,直线1l的倾斜程度小于直线2l的倾斜程度,这说明曲线在1t附近比在2t附近下降的缓慢.例 3 如图

14、 3.1-4,它表示人体血管中药物浓度()cf t(单位:/mg mL)随时间t(单位:min)变化的图象.根据图像,估计0.2,0.4,0.6,0.8t时,血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1).解:血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率,就是药物浓度()f t在此时刻的导数,从图像上看,它表示曲线()f t在此点处的切线的斜率.如图 3.1-4,画出曲线上某点处的切线,利用网格估计这条切线的斜率,可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值.作0.8t处的切线,并在切线上去两点,如(0.7,0.91),(1.0,0.48),则它的斜率为0.480.911.41.00.7k,所以(0.8)1.4

15、f下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值:t0.2 0.4 0.6 0.8 药物浓度瞬时变化率()ft0.4 0-0.7-1.4 五。课堂小结1.曲线的切线定义.当点nP沿着曲线无限接近点P即0 x时,割线nPP趋近于确定的位置,这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的 切线2.导数的几何意义.函数)(xfy在0 xx处的导数等于在该点00(,()xf x处的切线的斜率,即0000()()()limxf xxf xfxkx3.求曲线在一点处的切线的一般步骤求出P点的坐标;求出函数在点0 x处的变化率0000()()()limxf xxf xfxkx得到曲线在点00(,()xf x的切线的斜率;利用点斜式求切线方程六。课堂练习1.求曲线3)(xxfy在点(1,1)处的切线.2.求曲线yx在点(4,2)处的切线.七。【书面作业】八。【板书设计】九。【教后记】名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 6 页 -