大学课件 高等数学 无穷级数 习题.ppt

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1、1,例 题,习 题 课,教学要求,第十一章 无穷级数,infinite series,2,一、教学要求,1.理解无穷级数收敛、发散以及和的概念,2. 掌握几何级数和 p级数的收敛性.,数的比值审敛法.,4.了解交错级数的莱布尼茨定理,了解无穷级数基本性质及收敛的必要条件.,3.了解正项级数的比较审敛法,掌握正项级,错级数的截断误差.,会估计交,3,6. 了解函数项级数的收敛域及和函数的,7. 掌握幂级数收敛区间的求法.,8. 了解幂级数在其收敛区间内的一些基,5. 了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念,以及绝对收敛与收敛的关系.,概念.,本性质.,4,9. 了解函数展开为泰勒级数的充分必要,条

2、件.,10. 会利用,的麦克劳林展开式,将一些简单的函数间接展,开成幂级数.,11. 了解幂级数在近似计算上的简单应用.,5,并会将定义在,12. 了解函数展开为傅里叶级数的狄里克,会将定义在,雷条件,展开为傅氏级数,上的函数展开为正弦或余弦级数.,上的函数,和,6,二、典型例题,例,解,分母,7,根据级数收敛的必要条件，,级数,分子,分母,发散,8,正,解,从而有,级数,级数,收敛；,发散;,9,所以,原级数也,发散,10,例,解,即原级数,如果收敛,是条件收敛还是绝对收敛?,发散,发散,非绝对收敛,11,由莱布尼茨定理,是交错级数,(1),12,所以此交错级数收敛，,故原级数是,(2),条

3、件收敛,13,例,解,两边逐项积分,收敛半径为,收敛域为,设此级数的和函数为s(x), 则有,14,15,例,解,分析,的和函数展开,?,的幂级数.,是 的展开式,设法用已知展开式来解.,16,17,解,故知,可知,例,1988年研究生考题,选择,3分,A. 条件收敛,B. 绝对收敛,C. 发散,D.收敛性不能确定,绝对收敛.,对一切满足,阿贝尔定理,绝对收敛.,18,1998年北方交大考题,7分,证,由已知条件,知,因此,所以,由级数收敛的必要条件,例,19,解,例,1991年研究生考题,选择,3分,20,例,证明在区间 上有恒等式,并求级数,分析,欲证之等式等价于,的和.,21,得,得,由

4、于x2为偶函数,证,故,22,例,求三角级数 之和.,解,令,考虑级数,及,按实部与虚部分别相等的关系,即得,23,例,解,绝对收敛,条件收敛,A. 发散,B. 绝对收敛,C. 条件收敛,D. 收敛或发散与k的取值有关,24,1990年研究生考题,选择,3分,解,因而,由性质，,发散.,例,A. 绝对收敛,B. 发散,C. 条件收敛,D. 收敛性与a的取值有关,25,1996年研究生考题,选择,3分,解,因为,所以,例,26,因为,从而,故,且有界,存在,因而,又记,单调增加,27,解,例,1988年研究生考题,计算,5分,得,28,处处收敛.,收敛,发散,29,例 求幂级数 的和函数.,解,(1)求收敛域,发散,收敛,故级数的收敛域,30,(2)求和函数s(x),设所求和函数为s(x),有,即,31,由牛莱公式得,因此,当x = 0时,显然有,总之,有,32,1996年研究生考题,计算,7分,解,例,可设,收敛半径,33,积分,得,34,得,35,练习,求 的收敛域与和函数.,提示,解,令,收敛域为,当 时,收敛,当 时,收敛,36,又设,(逐项求导即可得),和函数为,(逐项求导即可得),设,设,37,练习,解,展开区间,38,作 业,总习题十一 (257页),