大学课件-概率论与数理统计-随机变量的相互独立性.pdf

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1、定义定义设设(X,Y)是二维随机变量，是二维随机变量，F(x,y)及及FX(x)、 FY(y) 分别是分别是(X,Y)的联合分布函数及边缘分布函 数，若对任意实数 的联合分布函数及边缘分布函 数，若对任意实数x、y有有F(x,y)= FX(x) FY(y) 即 yYPxXPyYxXP=yfyxfxf YYXX ) 0)()()(=xfxyfyf XXYY 二维随机变量二维随机变量 ( X, Y ) 相互独立相互独立, 则边缘分布完全确定联合分布则边缘分布完全确定联合分布 解解 表 有放回抽样的分布律表 有放回抽样的分布律 Y 1 1 0 10 X ij p 25 4 25 6 25 6 25

2、9 = = j i p 5 2 5 3 = = i j p 5 2 5 3 例例1检验检验4.4中例有放回抽样和无放回抽样条 件下， 中例有放回抽样和无放回抽样条 件下，X、Y边缘分布的独立性边缘分布的独立性。 从表知：从表知：pij=pi.pj.i,j=1,2 所以，所以， X，Y相互独立。相互独立。 Y 1 1 0 10 X ij p = = j i p 5 2 5 3 = = i j p 5 2 5 3 10 1 10 3 10 3 10 3 表 不放回抽样的分布表 不放回抽样的分布 从表知：从表知： 1111 5 2 5 2 10 1 =ppp 所以，所以，X，Y不相互独立。不相互独立

3、。 0= 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 21 21 2 1 2 1 2 2 )( 2 2 )( 1 )()( 2 )( )1 (2 1 2 21 2 1 2 1 12 1 + = yx yyxx ee e 证 对任何 x,y 有 21, =yx 取 );,;,(),( 2 22 2 11 NYX相互独立命题命题 21 2 21 2 1 2 1 12 1 = 故0= 将0=代入),(yxf即得 )()(),(yfxfyxf YX = 例例 已知 ( X, Y ) 的联合概率密度为 = 其他, 0 10 , 10,4 ),( 1 yxxy yxf(1) = 其他, 0 10 ,0

4、,8 ),( 2 yyxxy yxf (2) 讨论X ,Y 是否独立？ 解解 (1) 由图知边缘密度函数为 1 1 = 其他, 0 , 10,2 )( xx xf X = 其他, 0 , 10,2 )( yy yfY 显然， )()(),( 1 yfxfyxf YX = 故 X ,Y 相互独立 (2) 由图知边缘密度函数为 = 其他, 0 , 10),1 (4 )( 2 xxx xfX = 其他, 0 , 10,4 )( 3 yy yfY 显然， )()(),( 2 yfxfyxf YX 故 X ,Y 不独立 1 1 判断连续型二维随机变量相互独立的 两个重要结论 判断连续型二维随机变量相互独

5、立的 两个重要结论 设f (x,y)是连续二维随机变量(X ,Y )的联合 密度函数, r (x), g(y)为非负可积函数, 且 .).()()(),(eaygxryxf= 则(X ,Y )相互独立 且.).( )( )( )(ea dxxr xr xf X + = .).( )( )( )(ea dyyg yg yfY + = 利用此结果,不需计算即可得出(1)中的随机 变量 X 与Y 是相互独立的. 再如, 服从矩形域(x,y)| axb, cyd上 均匀分布的二维随机变量( X ,Y ), = 其他0 , )( 1 ),( dycbxa cdab yxf X ,Y 是相互独立的. 且其

6、边缘分布也是均 匀分布 = 其他, 0 , 1 )( bxa ab xfX = 其他0 0, 06 ),( 32 yxe yxf yx 则X ,Y 是相互独立的,且其边缘分布为 = 其他, 0 0,2 )( 2 xe xf x X = 其他, 0 0,3 )( 3 ye yf y Y 若 = 其他0 0, 21 ),( 3 yxe yxf y 则X ,Y 是相互独立的, 且其边缘分布为 = 其他, 0 0,3 )( 3 ye yf y Y 对于分布函数也有类似结果 设F(x,y)是二维连续随机变量(X ,Y )的联合 分布函数, 则(X ,Y )相互独立的充要条件为 )()(),(yGxRyx

7、F= 且 )( )( )( + = R xR xFX )( )( )( + = G yG yF Y 设 X ,Y 为相互独立的随机变量, u(x), v(y)为 连续函数, 则U=u(X ),V=v (Y )也相互独立. 事实上, 设X 与Y 的密度函数分别为f X(x), f Y (y), 则)()(),(yfxfyxf YX = 因此，),(),(vVuUPvuF UV = = )(,)(vYvuXuP = = = vyv uxu YX dxdyyfxf )( )( )()( = vyv Y uxu X dyyfdxxf )()( )()( )()(vYvPuXuP = =)()(vFuF

8、 VU = 相互独立的概念可以推广到多于两个随机 变量的情形。 相互独立的概念可以推广到多于两个随机 变量的情形。 (1) n个随机变量个随机变量X1,X2,Xn相互独立，就是 说，对任意个实数 相互独立，就是 说，对任意个实数x1,x2,xn 有有 nn nn xXPxXPxXP xXxXxXP = L L 2211 2211 , (2)一系列随机变量一系列随机变量X1,X2,Xn,相互独立，就是 指，对于任意有限个自然数 相互独立，就是 指，对于任意有限个自然数k1,k2,kn有有 Xk1,X k2 (3),Xkn相互独立； 定理和定理也可以推广到多于两个随机变量 的情形。 相互独立； 定理和定理也可以推广到多于两个随机变量 的情形。 若两个随机变量相互独立,且又有相同 分布, 不能说这两个随机变量相等. 如 X P -1 1 0.5 0.5 Y P -1 1 0.5 0.5 X ,Y 相互独立，则 X -1 1 -1 1 0.25 0.25 Y pij 0.25 0.25 P (X = Y ) = 0.5, 故不能说 X = Y . 注意注意