第一节平面图课件.ppt
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1、第一节平面图第1页,此课件共12页哦定理定理1 1 图图G G可嵌入球面可嵌入球面图图G G可嵌入平面。可嵌入平面。例例1 Q1 Q3 3是否可平面性?是否可平面性?第2页,此课件共12页哦定义定义2(2(平面图的面平面图的面,边界和度数边界和度数).).设设G G是一个平面图,由是一个平面图,由G G中的边所包围的区域中的边所包围的区域,在区域内既不包含,在区域内既不包含G G的结点,也不包含的结点,也不包含G G的边的边,这样的区域称为,这样的区域称为G G的一个面的一个面。有界区域称为有界区域称为内部面内部面,无界区域称为,无界区域称为外部面外部面。包围面的长度。包围面的长度最短的闭链称
2、为最短的闭链称为该面的边界该面的边界。面的边界的长度。面的边界的长度称为称为该面的度数该面的度数。第3页,此课件共12页哦例例2 2 指出下图所示平面图的面、面的边界及面的度指出下图所示平面图的面、面的边界及面的度数。数。1234567e6e1e2e3e4e5e7e8e10e9f1f4f3f2f5第4页,此课件共12页哦解解:面面f f1 1,其边界其边界1e1e1 15e5e2 24e4e4 43e3e7 72e2e10101,d(f1,d(f1 1)=5.)=5.面面f f2 2,其边界其边界1e1e10102e2e8 87e7e9 91,d(f1,d(f2 2)=3.)=3.面面f f3
3、 3,其边界其边界2e2e7 73e3e6 67e7e8 82,d(f2,d(f3 3)=3.)=3.面面f f4 4,其边界其边界3e3e4 44e4e5 57e7e6 63,d(f3,d(f4 4)=3.)=3.外部面外部面f f5 5,其边界其边界1e1e1 15e5e2 24e4e3 36e6e3 34 e4 e5 57e7e9 91,d(f1,d(f5 5)=6.)=6.第5页,此课件共12页哦定理定理2 2 对任何平面图对任何平面图G G,面的度数之和面的度数之和是是边数的二倍边数的二倍。证明证明:对内部面而言对内部面而言,因为其任何一条非因为其任何一条非割割边同时在两个面中边同时
4、在两个面中,故每增加一条边图的度数必增加故每增加一条边图的度数必增加2.2.对外部面的边界对外部面的边界,若某条边若某条边不同时在两个面中不同时在两个面中,边必为割边边必为割边,由于边界是闭链由于边界是闭链,则该边也则该边也为图的度数贡献为图的度数贡献2.2.从而结论成立从而结论成立.定理定理3 3 设设G G是带是带v v个顶点,个顶点,e e条边,条边,r r个面的连通的平面图个面的连通的平面图,则,则 v-e+r=2v-e+r=2。(欧拉公式)。(欧拉公式)证明证明:(1):(1)当当n=e=1n=e=1时时,如下图如下图,结论显然成立结论显然成立.v=2,e=1,r=1v=1,e=1,
5、r=2第6页,此课件共12页哦(2)下用数学归纳法证明下用数学归纳法证明.假设公式对假设公式对n条边的图成立条边的图成立.设设G有有n+1条边条边.若若G不含圈不含圈,任取任取一点一点x,从结点从结点x开始沿路行走开始沿路行走.因因G不含圈不含圈,所以每次沿一边总所以每次沿一边总能达到一个新结点能达到一个新结点,最后会达到一个度数为最后会达到一个度数为1的结点的结点,不妨设为不妨设为a,在结点在结点a不能再继续前进不能再继续前进.删除结点删除结点a及其关联的边得图及其关联的边得图G,G含有含有n条边条边.由假设公式对由假设公式对G成立成立,而而G比比G多一个结点多一个结点和一条边和一条边,且且
6、G与与G面数相同面数相同,故公式也适合于故公式也适合于G.若若G含有圈含有圈C,设设y是圈是圈C上的一边上的一边,则边则边y一定是两个不同一定是两个不同面的边界的一部分面的边界的一部分.删除边删除边y得图得图G,则则G有有n条边条边.由假设公由假设公式对式对G成立而成立而G比比G多一边和多一面多一边和多一面,G与与G得顶点数相同得顶点数相同.故公式也成立故公式也成立.第7页,此课件共12页哦推论推论1 1 设设G G是带是带v v个顶点,个顶点,e e条边的连通的平面简条边的连通的平面简单图,其中单图,其中v v 3 3,则,则e e 3 3v-6v-6。证明证明:由于由于G G是简单图是简单
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