第一部分矢量分析基础课件.ppt

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1、第1页，此课件共51页哦电磁场分析的数理基础电磁场分析的数理基础级数展开级数展开极限极限微分微分积分积分!第2页，此课件共51页哦 本章重点介绍与矢量场分析有关的数学基础内容。本章重点介绍与矢量场分析有关的数学基础内容。矢量代数矢量代数 常用正交坐标系常用正交坐标系 标量场的标量场的梯度梯度 矢量场的矢量场的散度散度 矢量场的矢量场的旋度旋度 拉普拉斯运算拉普拉斯运算 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理本章内容本章内容本章重点本章重点第3页，此课件共51页哦 矢量的几何表示：用一条有方向的线段来表示矢量的几何表示：用一条有方向的线段来表示 A矢量的几何表示矢量的几何表示矢量可表示为：矢量可表示为：其中其

2、中 为为模值模值，表征矢量的，表征矢量的大小大小；为为单位矢量单位矢量，表征矢量的，表征矢量的方向方向；说明：矢量书写时，说明：矢量书写时，印刷体印刷体为场量符号加粗，如为场量符号加粗，如 。教材上。教材上的矢量符号即采用印刷体。的矢量符号即采用印刷体。1.1 矢量代数矢量代数1.1.1 标量和矢量标量和矢量 标量与矢量标量与矢量 标量：标量：只有大小，没有方向只有大小，没有方向的物理量的物理量(电压电压U U、电荷量、电荷量Q Q、能量、能量W W等）等）矢量：矢量：既有大小，又有方向既有大小，又有方向的物理量（作用力，电、磁场强度）的物理量（作用力，电、磁场强度）矢量的代数表示矢量的代数表

3、示FEHBDAAeDAAeAAAeA第4页，此课件共51页哦xxyyzzAe Ae Ae AcoscoscosxyzAAAAAA(coscoscos)xyzAA eee 矢量用坐标分量表示矢量用坐标分量表示coscoscosAxyzeeeezAxAAyAzxyO第5页，此课件共51页哦1.1.2 矢量代数运算矢量代数运算xxyyzzxxyyzzAe Ae Ae ABe Be Be B()()ABBAABCABC()()()xxxyyyzzzABeABeABeAB 矢量的加法和减法矢量的加法和减法说明：说明：1 1、矢量的加法符合、矢量的加法符合交换律交换律和和结合律结合律：2 2、矢量相加和相

4、减可用、矢量相加和相减可用平行四边形法则平行四边形法则求解：求解：BAABBAABB第6页，此课件共51页哦cosABxxyyzzA BA BA BA BA B 矢量的乘法矢量的乘法 矢量与标量相乘矢量与标量相乘xxyyzzAkAe kAe kAe kAe k A标量与矢量相乘只改变矢量大小，不改变方向。标量与矢量相乘只改变矢量大小，不改变方向。矢量的标积（点积）矢量的标积（点积）()A BB AA BCA BA C 说明：说明：1 1、矢量的点积符合交换律和分配律：、矢量的点积符合交换律和分配律：2 2、两个矢量的点积为标量两个矢量的点积为标量 ABABAB0A B/ABA BAB 3 3、

5、第7页，此课件共51页哦sin()()()xyznABxyzxyzxyzzyyzxxzzxyyxeeeABe ABAAABBBeA BA BeA BA BeA BA B 矢量的矢积（叉积）矢量的矢积（叉积）说明：说明：1 1、矢量的叉积、矢量的叉积不符合不符合交换律，但交换律，但符合符合分配律：分配律：2 2、两个矢量的叉积为矢量两个矢量的叉积为矢量 ()A BBAABCA BA C 3 3、矢量运算恒等式、矢量运算恒等式()()()()()()A B CB CACA BAB CB A CC A B sinABBABA第8页，此课件共51页哦 三维空间任意一点的位置可通过三维空间任意一点的位置

6、可通过三条相互正交线的交点三条相互正交线的交点来确定来确定。在电磁场与波理论中，三种常用的正交坐标系为：在电磁场与波理论中，三种常用的正交坐标系为：直角坐标系直角坐标系、圆柱圆柱坐标系坐标系和和球坐标系球坐标系。三条正交线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为三条正交线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为正交正交坐标系坐标系；三条正交线称为；三条正交线称为坐标轴坐标轴；描述坐标轴的量称为；描述坐标轴的量称为坐标变量坐标变量。1.2 三种常用的正交坐标系三种常用的正交坐标系第9页，此课件共51页哦1.2.1 直角坐标系直角坐标系xyzre xe ye z位置矢量位置矢量面元矢量面元矢量线元

7、矢量线元矢量ddddxyzlexeye zdd dd dxxyzxSelley zdd dd dzzxyzSe lle x y体积元体积元dd d dVx y zdd dd dyyxzySellex z坐标变量坐标变量,x y z坐标单位矢量坐标单位矢量,xyze e e 点点P(x0,y0,z0)0yy（平面）（平面）o x y z0 xx（平面）（平面）0zz（平面（平面）P 直角坐标系直角坐标系 xezeyex yz直角坐标系的长度元、面积元、体积元直角坐标系的长度元、面积元、体积元 odzd ydxzyeSxxdddyxeSzzdddzxeSyyddd第10页，此课件共51页哦1.2.

8、2 圆柱坐标系圆柱坐标系dd dd ddd dd ddd dd dzzzzzSellezSellezSe lle ,z 坐标变量坐标变量,ze e e 坐标单位矢量坐标单位矢量zree z位置矢量位置矢量ddddzreee z 线元矢量线元矢量dd d dVz 体积元体积元面元矢量面元矢量圆柱坐标系中的线元、面元和体积元圆柱坐标系中的线元、面元和体积元圆柱坐标系圆柱坐标系第11页，此课件共51页哦说明：说明：圆柱坐标系下矢量运算方法：圆柱坐标系下矢量运算方法：zzzzAe Ae Ae ABe Be Be B()()()zzzABeABeABeAB()()zzzzzzA Be Ae Ae Ae

9、Be Be BA BA BA B()()zzzzzzzeeeA BAAAeA BA BeA BA BBBB()zeA BA B加减：加减：标积：标积：矢积：矢积：第12页，此课件共51页哦1.2.3 球面坐标系球面坐标系2dd dsin d drrrSe lle r dd dsin d drzSel le rrdd dd drSel le r r球坐标系球坐标系球坐标系中的线元、面元和体积元球坐标系中的线元、面元和体积元,r 坐标变量坐标变量,re e e 坐标单位矢量坐标单位矢量rre r位置矢量位置矢量dddsin drre re re r 线元矢量线元矢量2dsin d d dVrr 体

10、积元体积元面元矢量面元矢量第13页，此课件共51页哦说明：球面坐标系下矢量运算：说明：球面坐标系下矢量运算：rrrrAe Ae Ae ABe Be Be B()()()rrrABeABeABeAB()()rrrrrrA Be Ae Ae Ae Be Be BA BA BA B()()()rrrrrrrreeeABAAABBBeA BA BeA BA BeA BA B加减：加减：标积：标积：矢积：矢积：第14页，此课件共51页哦1.2.4 坐标单位矢量之间的关系坐标单位矢量之间的关系xeyezeeezecossin0cossin0001直角坐标直角坐标与与圆柱坐标系圆柱坐标系eezereeesi

11、n0cossincos0001圆柱坐标圆柱坐标与与球坐标系球坐标系直角坐标直角坐标与与球坐标系球坐标系zereeecossincossinsincos0 xeyesinsinsincoscossinoxy单位圆单位圆 直角坐标系与柱坐标系之间直角坐标系与柱坐标系之间坐标单位矢量的关系坐标单位矢量的关系xeyeeeorz单位圆单位圆 柱坐标系与球坐标系之间柱坐标系与球坐标系之间坐标单位矢量的关系坐标单位矢量的关系zeeree第15页，此课件共51页哦三种坐标系有不同适用范围：三种坐标系有不同适用范围：1 1、直角坐标系适用于场呈、直角坐标系适用于场呈面对称分布面对称分布的问题求解，如无限大面电的

12、问题求解，如无限大面电荷分布产生电场分布。荷分布产生电场分布。2 2、柱面坐标系适用于场呈、柱面坐标系适用于场呈轴对称分布轴对称分布的问题求解，如无限长线电流产生磁的问题求解，如无限长线电流产生磁场分布。场分布。3 3、球面坐标系适用于场呈、球面坐标系适用于场呈点对称分布点对称分布的问题求解，如点电荷产生电场分的问题求解，如点电荷产生电场分布。布。第16页，此课件共51页哦课外学习实训课外学习实训一、学习报告一、学习报告 将位于球坐标系下的将位于球坐标系下的P点（点（1，30，90）处的矢量）处的矢量 ，先在直角坐标系下表示出其表达式，然后再将所得到的表达式，先在直角坐标系下表示出其表达式，然

13、后再将所得到的表达式，重新表达成球坐标系下表出。，重新表达成球坐标系下表出。则将得到如下则将得到如下悖论悖论：推导此悖论并分析产生此悖论的原因。在此基础上，撰写一篇关于对三推导此悖论并分析产生此悖论的原因。在此基础上，撰写一篇关于对三个常用坐标系单位坐标矢量认识的学习报告，并另外设计一个类似的悖论。个常用坐标系单位坐标矢量认识的学习报告，并另外设计一个类似的悖论。eAeerA第17页，此课件共51页哦1.3 标量场的梯度标量场的梯度q如果物理量是标量，称该场为如果物理量是标量，称该场为标量场标量场。例如例如：温度场、电位场、高度场等。：温度场、电位场、高度场等。q如果物理量是矢量，称该场为如果

14、物理量是矢量，称该场为矢量场矢量场。例如例如：流速场、重力场、电场、磁场等。：流速场、重力场、电场、磁场等。q如果场与时间无关，称为如果场与时间无关，称为静态场静态场，反之为，反之为时变场时变场。时变标量场和矢量场可分别表示为：时变标量场和矢量场可分别表示为：(,)u x y z t、(,)F x y z t 确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在该区域上定义了一个确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在该区域上定义了一个场场。从数学上看，场是定义在空间区域上的函数：从数学上看，场是定义在空间区域上的函数：标量场和矢量场标量场和矢量场(,)u x y z、(,)F x y

15、 z静态标量场和矢量场可分别表示为：静态标量场和矢量场可分别表示为：第18页，此课件共51页哦1.3.1 标量场的等值面标量场的等值面标量场的等值线标量场的等值线(面面)等值面等值面:标量场取得同一数值的点在空标量场取得同一数值的点在空 间形成的曲面。间形成的曲面。(,)u x y zC等值面方程等值面方程：常数常数C C 取一系列不同的值，就得到一系列不同的等取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；值面，形成等值面族；标量场的等值面充满场所在的整个空间；标量场的等值面充满场所在的整个空间；标量场的等值面互不相交。标量场的等值面互不相交。等值面的特点等值面的特点：意义意义:形

16、象直观地描述了物理量在空间形象直观地描述了物理量在空间 的分布状态。的分布状态。第19页，此课件共51页哦1.3.2 方向导数方向导数表征空间表征空间某点处某点处标量场场值沿标量场场值沿特定方向特定方向变化率。变化率。方向导数定义：方向导数定义：000()()limlMu Mu Mull M0Mll()u rcoscoscosuuuxyz 的方向余弦。的方向余弦。coscoscos、l 方向导数物理意义：方向导数物理意义：00Mul，标量场，标量场 在在 处沿处沿 方向增加率；方向增加率；u0M00Mul，标量场，标量场 在在 处沿处沿 方向减小率；方向减小率；u0Mll00Mul，标量场，标

17、量场 在在 处沿处沿 方向为等值面方向（无改变）方向为等值面方向（无改变）u0Ml第20页，此课件共51页哦方向导数既与方向导数既与点点M M0 0有关有关，也与，也与方向方向有关。有关。问题问题：在什么方向上变化率最大在什么方向上变化率最大?最大的变化率为多少？最大的变化率为多少？梯度梯度第21页，此课件共51页哦 梯度的定义梯度的定义max(,)lugradu x y zel式中：式中：为场量为场量 最大变化率最大变化率的方向上的单位矢量。的方向上的单位矢量。le 梯度的性质梯度的性质 标量场的梯度为标量场的梯度为矢量矢量，且是坐标位置的函数，且是坐标位置的函数 标量场梯度的幅度表示标量场

18、的标量场梯度的幅度表示标量场的最大变化率最大变化率 标量场梯度的方向标量场梯度的方向垂直于垂直于等值面，为标量场等值面，为标量场增加最快增加最快的方向的方向 标量场在给定点沿任意方向的标量场在给定点沿任意方向的方向导数方向导数等于等于梯度在该方向投影梯度在该方向投影1.3.3 标量场的梯度标量场的梯度u第22页，此课件共51页哦 梯度的运算梯度的运算1rzuuuueeerrz 11sinruuuueeerrr 直角坐标系：直角坐标系：()xyxyzzuuueeexgrad ueeexzzuyy哈密顿算符u 球面坐标系：球面坐标系：11()sinreeerrr 柱面坐标系：柱面坐标系：1()rz

19、eeerrz 第23页，此课件共51页哦0()()()()()CCuCuuvuvuvuvv uf ufuu 梯度运算相关公式梯度运算相关公式式中：式中：为常数；为常数；C,u v为坐标变量函数；为坐标变量函数；第24页，此课件共51页哦1.4 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度 1.1.矢量线矢量线 意义：意义：形象直观地描述了矢量场的空间分形象直观地描述了矢量场的空间分 布状态。布状态。ddd(,)(,)(,)xyzxyzF x y zF x y zF x y z矢量线方程：矢量线方程：概念：概念：矢量线是这样的曲线，其上每一矢量线是这样的曲线，其上每一 点的切线方向代表了该点矢量场点的切

20、线方向代表了该点矢量场 的方向。的方向。矢量线矢量线OM Fdrrrdr第25页，此课件共51页哦矢量场的通量矢量场的通量 ()SF rd S 若矢量场若矢量场 分布于空间中，在空间分布于空间中，在空间中存在任意曲面中存在任意曲面S S，则定义：，则定义：()F r为为矢量矢量 沿沿有向曲面有向曲面 S S 的通量的通量。1.4.2 1.4.2 矢量场的通量矢量场的通量()F r问题问题：如何定量描述矢量场的大小？如何定量描述矢量场的大小？引入引入通量通量的概念。的概念。若若S 为闭合曲面为闭合曲面 ()srd AS物理意义：表示穿入和穿出闭合面物理意义：表示穿入和穿出闭合面S S的通量的的通

21、量的代数和代数和。第26页，此课件共51页哦cos()nsssF dSF e dSFr dS 3)3)1)1)面元矢量面元矢量 定义：面积很小的定义：面积很小的有向有向曲面。曲面。dS：面元面积，为微分量，：面元面积，为微分量，无限小无限小dSne：面元法线方向，：面元法线方向，垂直于垂直于面元平面。面元平面。说明：说明：nedS2)2)面元法向面元法向 的确定方法：的确定方法：对非闭合曲面：由曲面边线绕向按对非闭合曲面：由曲面边线绕向按右手螺旋法右手螺旋法则则确定；确定；对闭合曲面：闭合面对闭合曲面：闭合面外法线方向外法线方向ne关于矢量场通量的说明关于矢量场通量的说明第27页，此课件共51

22、页哦 若若 ，通过闭合曲面有净的矢量线穿出，闭合面内有发出矢量线，通过闭合曲面有净的矢量线穿出，闭合面内有发出矢量线的的正源正源；0 若若 ，有净的矢量线进入，闭合面内有汇集矢量线的，有净的矢量线进入，闭合面内有汇集矢量线的负负源源；0 若若 ，进入与穿出闭合曲面的矢量线相等，闭合面内，进入与穿出闭合曲面的矢量线相等，闭合面内无源无源，或或正源负源正源负源代数和为代数和为0 0。0 通过闭合面通过闭合面S S的通量的物理意义：的通量的物理意义：000第28页，此课件共51页哦1.4.31.4.3、矢量场的散度、矢量场的散度 散度的定义散度的定义 在场空间在场空间 中任意点中任意点M M 处作一

23、个闭合曲面，所围的体积为处作一个闭合曲面，所围的体积为 ，则定义场，则定义场矢量矢量 在在M M 点处的散度为：点处的散度为：()F rV0()div()limsVF rdF rVS()F r即即流出单位体积元封闭面的通量，流出单位体积元封闭面的通量，体现了体现了点点M处的通量源密度。处的通量源密度。第29页，此课件共51页哦 散度的物理意义散度的物理意义 矢量场的散度表征了矢量场的矢量场的散度表征了矢量场的通量源的分布特性通量源的分布特性(体密度体密度)；矢量场的矢量场的散度是标量散度是标量；矢量场的散度是空间坐标的函数；矢量场的散度是空间坐标的函数；矢量场的散度值表征空间中某点处矢量场的散

24、度值表征空间中某点处通量源的密度通量源的密度。(正源正源)()0divF r 负负源源)()0divF r(无源无源）()0divF r 若若 处处成立，则该矢量场称为处处成立，则该矢量场称为无散场无散场 若若 ，则该矢量场称为，则该矢量场称为有散场有散场，为源密度为源密度()0divF r()0divF r 讨论：在矢量场中，讨论：在矢量场中，第30页，此课件共51页哦 在直角坐标系下：在直角坐标系下：()yxzFFFdivF rxyz()()xyzxxyyzzeeeF eF eF exyz()F r 在圆柱坐标系下：在圆柱坐标系下：在球面坐标系下：在球面坐标系下：()11()rzFrFFF

25、 rrrrz22111()()(sin)sinsinrFF rr FFrrrr 散度的计算散度的计算第31页，此课件共51页哦 散度运算相关公式散度运算相关公式0()()()()()()()CCCCfCffkFkF kf FfFFfFGFG 为常矢量为标量函数为常数1.4.4 散度定理（矢量场的高斯定理）散度定理（矢量场的高斯定理）()()VsF r dVF r dS 该公式表明了矢量场该公式表明了矢量场 的散度在体积的散度在体积V内的积分等于矢量场穿过内的积分等于矢量场穿过包围该体积的包围该体积的边界面边界面S S的通量。的通量。()F r第32页，此课件共51页哦1.5 矢量场的环流矢量场

26、的环流 旋度旋度磁感应线要磁感应线要么穿过曲面么穿过曲面磁感应线要么同时磁感应线要么同时穿入和穿出曲面穿入和穿出曲面磁感应线磁感应线磁场的环流：磁场的环流：第33页，此课件共51页哦1.5.1 1.5.1 矢量的环流矢量的环流在场矢量在场矢量 空间中，取一有向闭合路径空间中，取一有向闭合路径 ，则称，则称 沿沿 积分的结果称为矢量积分的结果称为矢量 沿沿 的环流。即：的环流。即：()F r()F r()F r()lF rdl 线元线元矢量矢量 ：长度趋近于：长度趋近于0 0，方向沿路径切线方向。，方向沿路径切线方向。dl 环流意义：若矢量场环流不为零，则矢量场中存在产生矢量场环流意义：若矢量场

27、环流不为零，则矢量场中存在产生矢量场的漩涡源。的漩涡源。反映矢量场漩涡源分布情况反映矢量场漩涡源分布情况讨论：讨论：SSn 环量的定义APllll第34页，此课件共51页哦1.5.2 1.5.2 矢量的旋度矢量的旋度 环流面密度环流面密度0limcnsF dlrot FS 称为矢量场称为矢量场 在在M M点处沿点处沿 方向的漩涡源密度方向的漩涡源密度。()F r n定义：定义：空间某点空间某点M M处单位面元边界闭合曲线的环流：处单位面元边界闭合曲线的环流：SCMFn1)1)环流面密度大小与所选取的单位面元方向环流面密度大小与所选取的单位面元方向 有关。有关。nrotnnFerotF（投影关系

28、）2)任意取向面元的环流面密度与最大环流面密度的关系：任意取向面元的环流面密度与最大环流面密度的关系：第35页，此课件共51页哦 矢量场的矢量场的旋度旋度 矢量场在矢量场在M M点的旋度为该点处点的旋度为该点处环流面密度最大时环流面密度最大时对应的矢量，模值等于对应的矢量，模值等于M M点点处最大环流面密度处最大环流面密度，方向为，方向为环流密度最大的方向环流密度最大的方向，表示为，表示为 ，即：，即：rot F式中：式中：表示矢量场旋度的方向；表示矢量场旋度的方向；nmax0rotlimcSF dlFnS 旋度的物理意义旋度的物理意义 矢量的旋度为矢量的旋度为矢量矢量，是空间坐标的函数，是空

29、间坐标的函数 矢量在空间某点处的旋度表征矢量场在该点处的矢量在空间某点处的旋度表征矢量场在该点处的漩涡源密度漩涡源密度第36页，此课件共51页哦 旋度的计算旋度的计算 直角坐标系：直角坐标系：xxyyzzrotFe rot Fe rot Fe rot F()()()yyxxzzxyzFFFFFFeeeyzzxxy()xyzxxyyzzeeee Fe Fe FxyzFxyzxyzeeexyzFFF第37页，此课件共51页哦1zzeeeFzFFF2sin1sinsinrrerereFrrFrFrF 柱面坐标系：柱面坐标系：球面坐标系：球面坐标系：矢量场的旋度矢量场的旋度的散度恒为零的散度恒为零标量

30、场的梯度标量场的梯度的旋度恒为零的旋度恒为零()fFfFfF()fCfC 0C()FGFG()FGGFFG()0F()0u 旋度计算相关公式：旋度计算相关公式：证明证明证明证明第38页，此课件共51页哦讨论：散度和旋度比较讨论：散度和旋度比较 0,0FF0.0FF0,0FF0,0FF第39页，此课件共51页哦1.5.3 1.5.3 斯托克斯定理斯托克斯定理()cdd lAAS0limro tcnSdSlAe由旋度的定义 对于有限大面积s，可将其按如图方式进行分割，对每一小面积元有)11()clA dAdS 22()clA dAdS()sAdS clA d()SlA dSA dl斯托克斯定理的证

31、明：得证！意义：矢量场的旋度在曲面上的积分等于该矢意义：矢量场的旋度在曲面上的积分等于该矢量场在限定该曲面的闭合曲线上的环流。量场在限定该曲面的闭合曲线上的环流。曲面的曲面的剖分剖分方向相反大小方向相反大小相等抵消相等抵消第40页，此课件共51页哦 若矢量场若矢量场 在某区域在某区域V V内，处处内，处处 ，但在某些位置或整个空间内，但在某些位置或整个空间内，有有 ，则称在该区域，则称在该区域V V内，场内，场 为无旋场。为无旋场。1.6 无旋场与无散场无旋场与无散场1.6.1 1.6.1 无旋场无旋场0F0F()F r()F r()()0cSF rdlF rdS结论：结论：无旋场场矢量沿任何

32、闭合路径的环流等于零无旋场场矢量沿任何闭合路径的环流等于零(无漩涡源无漩涡源)。重要性质重要性质：无旋场的旋度始终为无旋场的旋度始终为0，可引入标量辅助函数可引入标量辅助函数表征矢量场，即表征矢量场，即Fu 例如：静电场例如：静电场0EE 第41页，此课件共51页哦1.6.2 1.6.2 无散场无散场 若矢量场若矢量场 在某区域在某区域V V内，处处内，处处 ，但在某些位置或整个空，但在某些位置或整个空间内，有间内，有 ，则称在该区域，则称在该区域V V内，场内，场 为无源有旋场。为无源有旋场。()F r0F0FJ()F r()()0SVF rdSF r dV结论：结论：无散场通过任意闭合曲面

33、的通量等于零（无散度源）无散场通过任意闭合曲面的通量等于零（无散度源）。重要性质：重要性质：无散场的散度始终为无散场的散度始终为0，可引入矢量函数的旋度表示无散场，可引入矢量函数的旋度表示无散场FA例如，恒定磁场例如，恒定磁场BA 0B第42页，此课件共51页哦（3 3）无旋、无散场）无旋、无散场（源在所讨论的区域之外）（源在所讨论的区域之外）0F（4 4）有散、有旋场）有散、有旋场这样的场可分解为两部分：无旋场部分和无散场部分这样的场可分解为两部分：无旋场部分和无散场部分()()()()()lCF rF rF ru rA r 无旋场部分无旋场部分无散场部分无散场部分()0u Fu 20u0F

34、第43页，此课件共51页哦1.7 拉普拉斯运算拉普拉斯运算 标量场的拉普拉斯运算标量场的拉普拉斯运算对标量场的梯度求散度的运算称为拉普拉斯运算。记作：对标量场的梯度求散度的运算称为拉普拉斯运算。记作：2uu 2“”式中：式中：称为拉普拉斯算符。称为拉普拉斯算符。在直角坐标系中：在直角坐标系中：2222222uuuuxyz 在圆柱坐标系中：在圆柱坐标系中：22222211()uuuuz 在球面坐标系中：在球面坐标系中：(1.7.3)(1.7.3)第44页，此课件共51页哦 矢量场的拉普拉斯运算矢量场的拉普拉斯运算2()()FFF 在直角坐标系中：在直角坐标系中：2222xxyyzzFeFeFeF

35、第45页，此课件共51页哦1.8 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理 在有限区域内，任意矢量场由矢量场的在有限区域内，任意矢量场由矢量场的散度散度、旋度旋度和和边界条件边界条件（即矢量场（即矢量场在有限区域边界上的分布）在有限区域边界上的分布）唯一唯一确定，且任意矢量场可表示为：确定，且任意矢量场可表示为：()()()F ru rA r 式中式中：1()1()d()d 44VSF rF rSu rVrrrr 1()1()d()d44VSF rF rSA rVrrrr 有界区域有界区域第46页，此课件共51页哦而对于无界空间（而对于无界空间（不存在边界面不存在边界面）：）：1()()d4VF ru rVr

36、r 1()()d4VF rA rVrr 亥姆霍兹定理表明：亥姆霍兹定理表明：1、在、在无界区域无界区域，矢量场可由其，矢量场可由其散度散度及及旋度旋度确定。确定。2 2、在、在有界区域有界区域，矢量场不但与该区域中的，矢量场不但与该区域中的散度散度和和旋度旋度有关，还与区域有关，还与区域边界边界上矢量场有关。上矢量场有关。已知已知矢量矢量F的通量源密度的通量源密度矢量矢量F的旋度源密度的旋度源密度场域边界条件场域边界条件在电磁场中在电磁场中电、磁场散度电、磁场散度电、磁场旋度电、磁场旋度场域边界条件场域边界条件亥姆霍兹定理在电磁理论中的意义：亥姆霍兹定理在电磁理论中的意义：研究电磁场的一条主线

37、研究电磁场的一条主线。第47页，此课件共51页哦散度定理的证明：散度定理的证明：从散度定义，可以得到：从散度定义，可以得到：00()()limlimsVVF r dSdF rVVdV 则在一定体积则在一定体积V V内的总的通量为：内的总的通量为：()VF r dV()sF rdS体积的剖分体积的剖分VS1S2en2en1S第48页，此课件共51页哦重要的矢量恒等式的证明：重要的矢量恒等式的证明：0u xyzxyzuuueeeeyeexyzxzz证明：左边=(+)222222()()()0 xyzuuuuuueeey zz yz xx zx yy x 返回返回第49页，此课件共51页哦重要的矢量恒等式的证明：重要的矢量恒等式的证明：()()()xyzyyxxzzxyzeeexyzFFFFFFeeeyzzxxy证明：左边=(+)222222()()()0yyxxzzFFFFFFx yx zy zx yx zy z ()0F 返回返回第50页，此课件共51页哦第51页，此课件共51页哦