离散数学群与子群.ppt

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1、离散数学群与子群现在学习的是第1页，共20页 独异点是含有幺元的半群。前面曾提到，对于含有幺元的运算可考虑元素的逆元，并不是每个元素均有逆元的，这一点引出了一个特殊的独异点群群。群论群论的研究起源于19世纪，它是由于方程论的需要，首先作为置换群的理论发展起来的。随后，发现在大多数问题中，重要的不是构成群的置换本身，而应该是集合在代数运算下的性质，因而提出了群的概念。群是近世代数中发展最早、内容最广泛、应用最充分的一部分，是建立其它代数结构的基础。下面我们重点讨论群的概念群的概念及其性质性质。现在学习的是第2页，共20页一、群的概念一、群的概念群与子群是一种特殊的独异点，也是一种特殊的半群。群与

2、子群是一种特殊的独异点，也是一种特殊的半群。定义定义5-4.1 设是一个代数系统，其中G是非空集合，是G上一个二元运算，如果 运算是封闭封闭的。运算是可结合可结合的。存在么元么元e。对于每一元素xG，存在着它的逆元逆元x-1。则称是一个群群（group）。现在学习的是第3页，共20页例如：1.Q，+，Z，+，R，+为群，逆元-x2.R-0，*，P（S），都为群。3.N，+并不是群。4.Zn,+n为群,元素逆元：x=0,x 1=0；x 0,x 1=n-xP191 例题1；设R=0，60，120，180，240，300表示在平面上几何图形绕形心顺时针旋转角度的六种可能情况，设是R上的二元运算，对于

3、R中任意两个元素a和b,ab表示平面图形连续旋转a和b得到的总旋转角度。并规定旋转360等于原来的状态，就看作没有经过旋转。验证是一个群。现在学习的是第4页，共20页解：由题意，R上的二元运算的运算表如上所示，由表知，运算在R上是封闭的封闭的。对于任意a,b,cR，(ab)c表示将图形依次旋转a,b和c，而a(bc)表示将图形依次旋转b,c和a，而总的旋转角度都是a+b+c(mod 360),因此(ab)c=a(bc)，即运算满足结合性结合性。0o是幺元幺元。60o，120o，180o逆元逆元分别是300o，240o，180o因此是个群现在学习的是第5页，共20页例：G=a,b,c,e，*如上

4、表所示，是不是一个群？易见 1）*运算对G是封闭的，e为幺元。2)可以验证，*运算可结合的。（在a,b,c三个元素中，任何两个元素运算的结果都等于另一个元素，）3）G中任何元素的逆元就是它自己；。故G G，*为为一个一个群群。此外，运算是可交换的，一般称这个群为克莱因(Klein)四元群四元群,简称四元群简称四元群。现在学习的是第6页，共20页思考练习 已知：在整数集 I 上的二元运算定义为：a,bI，a b=a+b-2 证明：为群。么元为：么元为：2逆元：逆元：x-14-x现在学习的是第7页，共20页二、有限群和无限群二、有限群和无限群 定义定义5-4.2 设是一群。如果 G是有限集，那么称

5、为有限群有限群,G中元素的个数通常称为该有限群的阶阶数数,记为|G|；如果G是无限集，则称 为无限群无限群。例题1中所述的就是一个有限群，且|R|=6。代数系统是一个无限群，这里I是所有整数的集合，+是普通加法运算。，是无限群。是有限群，是 k 阶群。克莱因Klein四元群是4阶有限群。只含单位元的群称为平凡群。只含单位元的群称为平凡群。是平凡群。是1阶群。现在学习的是第8页，共20页代数系统小结：至此，我们可以概括地说：广群仅仅是一个具有封闭二元运算的非空集合；半群是一个具有结合运算的广群；独异点是具有幺元的半群；群是每个元素都有逆元的独异点。封闭性封闭性广群广群结合性结合性半群半群含幺元含

6、幺元独异点独异点存在逆元存在逆元群群广群广群半半群群独异点独异点群群现在学习的是第9页，共20页群的基本性质 由于群的运算可结合，故对任何一个元a，其逆元都是唯一的，记a-1。(a-1=a-1*e=a-1*(a*(a-1)=(a-1*a)*(a-1)=(a-1)定理定理5-4.1 群中不可能有零元。群中不可能有零元。证明：当群的阶为1时，它的唯一元素是视作幺元。设|G|1 且群有零元。那么群中任何元素x G，都有 x x e，所以，零元 就不存在逆元，这与是群相矛盾。群中无零元！群中无零元！因为零因为零元无逆元。元无逆元。现在学习的是第10页，共20页 定理定理5-4.2 设是一个群，对于a,

7、bG，必存在唯一存在唯一x G，使得a x b。证明：先证解的存在性先证解的存在性 设a的逆元是a-1，令 x a-1 b （构造一个解构造一个解）a x a (a-1 b)(a a-1)b e b b 再证解的唯一性再证解的唯一性 若另有一解x 1满足a x 1 b，则 a-1 (a x 1)a-1 b x 1 a-1 b群方程存在唯群方程存在唯一解一解现在学习的是第11页，共20页 定理定理5-4.3 设是一个群，对于任意a,b,cG，如果a b=a c 或者b a=c a，则必有 b=c (消去律消去律)。证明：设a ba c,且a的逆元a-1，则有 a-1 (a b)a-1 (a c)

8、(a-1 a)b (a-1 a)c e b e c b c 当b a=c a时，可同样证得b=c。现在学习的是第12页，共20页三、置换三、置换为进一步讨论群性质，引入置换的概念。定义定义5-4.35-4.3 设S为一个非空集合，从集合S到S的一个双射称为S的一个置换置换。例：集合例：集合S=a,b,c,dS=a,b,c,d置换为置换为a ab,bb,bd,cd,ca,da,dc c 这是一个从这是一个从S S到到S S上的一对一映射，可表示为：上的一对一映射，可表示为：abcdbdac现在学习的是第13页，共20页定理定理5.4.45.4.4 群群G G，*的运算表中任一行（列）的元素都是的

9、运算表中任一行（列）的元素都是G G中元素的一个置换中元素的一个置换。且不同行，不同列的置换都不同。且不同行，不同列的置换都不同。证明 首先，证明运算表中的任一行或任一列所含G中的一个元素不可能多于一次。用反证法，如果对应于元素aG的那一行中有两个元素都是c,即有 a*b1=a*b2=c 且b1b2由可约性可得 b1=b2,这与b1b2矛盾。其次，要证明G中的每一个元素都在运算表的每一行和每一列中出现。考察对应于元素aG的那一行，设b是G中的任一元素，由于 b=a*(a-1*b),所以b必定出现在对应于a的那一行中。再由运算表中没有两行（或两列）相同的事实，便可得出：的运算表中每一行都是G的元

10、素的一个置换，且每一行都是不相同的。同样的结论对于列也是成立的。现在学习的是第14页，共20页四、等幂元等幂元 定义定义5-4.4 代数结构中，如果存在a G，有a a=a，则称 a为等幂元等幂元。定理定理5-4.5 在群中，除幺元除幺元 e 之外，不可能有任何之外，不可能有任何别的等幂元别的等幂元。证明：因为e e=e，所以 e 是等幂元。现设 a G，a e 且 a a=a 则有 a=e a=(a-1 a)a=a-1(a a)=a-1 a=e 与假设 a e 且矛盾。现在学习的是第15页，共20页五、子群子群 定义定义5-4.5设是一个群，S是G的非空子集，如果也构成群，则称是的一个子群子

11、群。例：Z，+为群，取S=2zzZ,则，为子群。，也为Z，+的子群.例：Klein四元群e,e,a,e,b,e,c,G都为子群。定理定理5-4.6设是一个群，是的一个子群，那么，中的幺元e必定也是中的幺元。证明:设中的幺元为e1 对于任一xS G,必有 e1*x=x=e*x,故e1=e。现在学习的是第16页，共20页五、子群子群 定义定义5-4.6 设是一个群，是的子群，如果 S=e，或者S=G，则称为的平凡子群平凡子群定理定理5-4.7 G，*为一个群，B为G的非空子集且B为有限集，则只须*在B上封闭，B，*就是G，*的一个子群。证明:设b是B的任一个元素。若*在B上封闭，则元素b2=b*b

12、,b3=b2*b,都在B中。由于B是有限集，所以必存在正整数i和j,不妨假设ij,使得bi=bj 即 bi=bi*bj-i.这就说明bj-i是中的幺元，且这个幺元也在子集B中。如果j-i1,那么由bj-i=b*bj-i-1可知bj-i-1是b的逆元，且bj-i-1 B;如果j-i=1,那么由bi=bi*b可知b就是幺元，而幺元是以自身为逆元的。因此，是的一个子群。现在学习的是第17页，共20页 定理定理5-4.8 设是群，S是G的非空子集，如果对于S中的任意元素任意元素a a和和b b有有abab-1 1SS,则是的子群。证明:首先证明，G中的幺元e也是S中的幺元幺元。任取S中的元素a,aSG

13、,所以e=aa-1S且 ae=ea=a,即e也是S中的幺元。其次证明，S中的每一元素都有逆元逆元。对任一aS,因为eS,所以ea-1S即a-1S。最后证明，在S上是封闭的封闭的。对任意的a,bS，由上可知b b-1-1 S 而 b=(b b-1-1)-1-1 所以 ab=a(b b-1-1)-1-1 S 至于，运算在S上的可结合性结合性是保持的。因此，是的子群。现在学习的是第18页，共20页本课小结 群 有限群、无限群 置换 等幂元 子群 现在学习的是第19页，共20页作业 已知：R*是非零实数集，在R*中定义运算，对任意的a、bR*，a bab/2 证明：是一个群。已知：设S=R-1，S上定义运算为：a b=a+b+ab 证明：是群。现在学习的是第20页，共20页