第一节对弧长的曲线积分课件.ppt

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1、第一节对弧长的曲线积分第1页，此课件共40页哦第十章第十章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分线积分和曲面积分.上一章将定积分的概念推广到重积分,被积函数是二元函数,积分区域是平面区域.如果二元函数是定义在平面上一段光滑曲线上或一片曲面上,这样推广后的积分称为曲第2页，此课件共40页哦第一节第一节 对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分一一 对弧长曲线积分的概念与性质对弧长曲线积分的概念与性质1.曲线型物件的质量曲线型物件的质量:设曲线型物件是非均匀的,它的线密度是变量,且曲线型物件所占的位置在xoy面内的一段曲线弧L上,它的端点为A,B,在L上任意一点(x,y)处,线密度为(x,y),现在要计算

2、这物件的质量M.第3页，此课件共40页哦分割分割-近似代替近似代替-求和求和-取极限取极限 无穷细时,以均匀代替非均匀.我们分四个步骤来进行:计算思路:若构件的线密度为常量,则构件的质量为M=L,故当分割第4页，此课件共40页哦L分割为n个小段,取其中一小段Mi-1Mi来分析;(i,i)处的线密度(i,i)代替小段的线密度,故得小段)(),(表示小段的长度iiiiissM计算步骤:AB(i i)xyo(1)分割:用L上的点M1,M2,Mn-1将(2)近似替代:当分割无穷细时,用Mi-1Mi小段上任意一点的质量近似值为:第5页，此课件共40页哦(3)求和:整个构件质量近似值为niiiisM1),

3、(4)取极限:)(),(lim10个小弧度的最大长度表示nsMniiii第6页，此课件共40页哦为第一型曲线积分.记为iniiicSfdsyxf10),(lim),(设f(x,y)定义(即函数有界,或函数连续)在平面光滑曲线L上，2.对弧长的曲线积分定义对弧长的曲线积分定义A,B为L的端点,把L任意分成n段小弧.每一小段的长度为Si,在该小段内取一点(i,i)(i=1,2.n),作乘积f(i,i)Si，并作和式 f(i,i)Si.当0时,这和式的极限存在,则称该极限值为函数f(x,y)沿曲线L对弧长的曲线积分,并称第7页，此课件共40页哦iniiicSfdsyxf10),(lim),(3.推广

4、推广:若积分弧段为空间曲线弧,则函数f(x,y,z)在曲线弧iniiiicSfdszyxf10),(lim),(被积函数积分曲线注意:以后总假定被积函数f(x,y)在积分曲线L上是连续的.上对弧长的曲线积分为第8页，此课件共40页哦4.对弧长的曲线积分的性质对弧长的曲线积分的性质性质1 线性性质.),(),(),(),(2121LLLdsyxgkdsyxfkdsyxgkyxfk其中k1,k2为常数.性质2 对积分弧段C具有可加性若曲线C分段光滑,且C=C1+C2,则21),(),(),(CCCdsyxfdsyxfdsyxf第9页，此课件共40页哦abbadxxfdxxf)()(因为:定义中的d

5、s对应于Si,是每个小弧段的长度,与弧段的BAABdsyxfdsyxf),(),(性质3 对弧长的曲线积分与曲线的方向无关定向无关.注意这一性质和定积分不同.第10页，此课件共40页哦注意:若L为封闭曲线,则可记曲线积分为Ldsyxf),(性质4 设在L上f(x,y)g(x,y),则LLdsyxgdsyxf),(),(性质5 对弧长的曲线积分有LLLdsyxgdsyxfdsyxgyxf),(),(),(),(特别地LLdsyxfdsyxf|),(|),(第11页，此课件共40页哦oxyzM(x,y)f(x,y)C以xoy平面上的曲线C为底,变高为f(x,y)的平行于z轴的柱面CdsyxfS),

6、(对弧长的曲线积分的几何说明:的侧面面积S第12页，此课件共40页哦二二 对弧长曲线积分的计算公式对弧长曲线积分的计算公式定理 设f(x,y)在曲线L上有定义且连续，)()(tytx)(t其中(t),(t)在,上具有一阶连续导数,且022Cdsyxf),()1()()()()(),(),(22dtttttfdsyxfCoyxAMBLL的参数方程为则曲线积分存在,且第13页，此课件共40页哦它们对应一列单调增加的参数值=t0t1.tn-1tn=.iiniiCSfdsyxf),(lim),(10对弧长的曲线积分是找出曲线方程的参数方程参数方程,把参数方程代入被积函数(一代一代)把弧微分化为定积分(

7、二化二化)进行计算.注意：上限要求大于下限.证明证明:假定当参数t由变到时,L上的点M(x,y)由A点变到B点的方向描出曲线L.在L上取一系列点A=M0,M1,M2,.Mn=B根据对弧长的曲线积分的定义,有第14页，此课件共40页哦dtttydxddsdttdydttdxtytx2222)()()(,)(),(),(设点(i,i)对应于参数值i ，这里ti-1i ti ，由于dtttSiitti1)()(22应用积分中值定理,我们有iiiitS)()(22于是iiiiniiCtfdsyxf )()()(,)(lim),(2210 第15页，此课件共40页哦因此上式左边的曲线积分也存在,并有由于

8、这函数在这区域上连续,所以这定积分存在,上式右端的和的极限,就是函数在区域,上的定积分,)1()()()()(),(),(22dtttttfdsyxfL 公式(1)表示,计算对弧长的曲线积分Ldsyxf),()()(22然后从到作定积分.把x,y,ds依次换成(t),(t),时,只要第16页，此课件共40页哦如果曲线L的方程为y=(x),此时只要把x看成参数t,)2()()(1)(,),(020XxdxxxxfdsyxfXxC同理,如果L的方程为)()(0Yyyyx 方程(1)变为)3()()(1),(),(020YydyyyyfdsyxfYyL这样方程(1)变为第17页，此课件共40页哦公式

9、(1)可推广到空间曲线,设的参数方程为,).(),(),(ttztytx)4()()()()()(),(),(),(222dtttttttfdszyxf则第18页，此课件共40页哦(3)把ds写成参变量的微分式,并把曲线的参数方程代入被积函数中进行计算dtttttfdsyxfC)()()(),(),(22计算对弧长的曲线积分是化为参变量的定积分进行计算.其解题程序为：(1)画出积分路径的图形;(2)把路径L的参数式写出来:x=(t),y=(t),t 第19页，此课件共40页哦曲线化为参数方程.注意:(1)该积分是通过曲线参数方程化为定积分计算的,因此参数的选择很重要.一般我们利用三角公式或投影

10、公式把1）如果L是平面曲线：若积分路径为y=0,则f(x,y)f(x,0),ds=dx.若积分路径为x=0,则f(x,y)f(0,y),ds=dy.若积分路径为y=kx ,则f(x,y)f(x,kx),第20页，此课件共40页哦曲线的参数方程,(投影曲线是从两个空间曲面方程中消去z,2）如果L是空间曲线(两个曲面的交线)，我们用L的投影得到只有x,y的方程,即是投影方程,再根据具体情况得到参数方程)把它代入空间曲线方程中得到z的参数表达式.第21页，此课件共40页哦(2)在计算式中,我们发现积分路径L的表达式可直接代入积分式中,其原因是积分路径是以等式的形式出现,而二重积分是以不等式的形式出现

11、.(3)参数大的作为上限,小的为下限.第22页，此课件共40页哦1)参数式参数式),(:txL（4）曲线积分式变成定积分共有三种形式）曲线积分式变成定积分共有三种形式:tty).(dtdtttds22)()(dtttttfdsyxfL22)()()(),(),(第23页，此课件共40页哦2)直角坐标直角坐标bxaxyL).(:3)极坐标极坐标).(:rrLdxxds22)(1dxxxxfdsyxfLba22)(1)(,(),(drrds22)()(drrrrfdsyxfLba22)()()sin)(,cos)(),(第24页，此课件共40页哦例1 计算20.sin,cos,)(22ttayta

12、xCdsyxCn为圆周其中xyao(3)把弧微分ds变成参变量的微分式adtdttatadtyxdstt222222cossin分析:(1)画出积分路径的图形,见右图.(2)写出积分路径的参数方程.本题是直接给出.第25页，此课件共40页哦利用公式(3)3()()()()(),(),(22dtttttfdsyxfC.2cossin)(122012222220222nnnCnadtadttataadsyx注意计算时把参数方程代入被积函数中.得：第26页，此课件共40页哦例2 计算Cyds)5()()(1),(),(020YydyyyyfdsyxfYyC解:本题的参数方程我们选用y为参数,这样选择

13、计算公式(5)24422yxyxxyoxyy2=4xA(1,2)12其中积分路线C是抛物线y2=4x上自(0,0)到点(1,2)的一段弧.220212202)2()2(1 2)2(1ydydyyyydsC)122(34)2(1 3420232y第27页，此课件共40页哦例3 计算Cdsyx)(3434323232ayx解:由于图形对称,我们只计算第一象限的ABdsyxdsyxC)(4)(34343434在第一象限中,星形线的参数方程为)20(sincos33ttaytaxtdttadtttattadscossin3)sincos3()sincos3(2222于是aaxy-a-a其中C为星形线:

14、第28页，此课件共40页哦ABdsyxdsyxC)(4)(34343434利用公式直接得到:2/066372/05537)cos(sin12)cossinsin(cos12ttdadttttta372/066374cossin2attatdttattacossin3)sin(cos4442/034第29页，此课件共40页哦例4 求曲线积分,)(LdsyxL是由x轴、y轴及x+y=1所围成区域的边界曲线.解：该曲线是由三段光滑线段组成，由性质2可知BOABOAL011x+y=1xyABOA段：y=0，选x为参数，被积函数(x+y)=x，dxdxds022/1)(10OAxdxdsyx第30页，此

15、课件共40页哦1021)(ydydsyxBOAB段：y=1-x，选x为参数，被积函数(x+y)=1，dxdxdxds2)(22222)1()(1010dxdxxxdsyxABBO段：x=0，选y为参数，被积函数(x+y)=y，dydyds20Ldsyx21)(第31页，此课件共40页哦例5 计算,222dszyxyL(2)再把它代入上半球面的方程x2+y2+z2=4a2,得z=2asint/2.其中L是上半球面x2+y2+z2=4a2，z0与柱面x2+y2=2ax的交线.分析:曲线是两个曲面的交线,它的投影曲线为x2+y2=2ax.现在我们把曲线L变成参数方程:(1)把投影曲线变形为x2+y2

16、=2ax(x-a)2+y2=a2，此为圆方程,参数方程为x=a(1+cost)，y=asint第32页，此课件共40页哦dttatatadtzyxdsttt2coscossin222222222(3)于是参数方程为20,2sin2,sin),cos1(ttaztaytaxdtta2cos12所以：第33页，此课件共40页哦23432|)2cos1(320232tdttaatadszyxyL2cos14|sin|2202222tdttsin2cos12102)2cos1(2cos1202tdt第34页，此课件共40页哦对称,则Ldsyxf),(.),(),(),(2),(),(,01为偶函数关于

17、若为奇函数关于若yxyxfdsyxfyxyxfL其中L1为L的右半平面或上半平面部分.LLdsxyfdsyxf),(),(在例3中我们使用对称性,可以简化曲线积分的计算,现在我们把有关对称的情况加以说明:设被积函数f(x,y)在分段光滑的曲线L上连续,若L关于原点若L关于直线x=y对称,则：第35页，此课件共40页哦A(1,0)B(0,1)C(-1,0)D(0,-1)xy例6 求,dsxIL221144101dxxdsxILL1是第一象限的直线x+y=1，所以其中L为|x|+|y|=1解法一解法一 L为正方形的边界(如图示)因为L是关于原点对称，即L的方程满足F(x,y)=F(-x,-yF(x

18、,y)=F(-x,-y)，被积函数|x|关于y与x均为偶函数,于是dxds2第36页，此课件共40页哦我们把x轴和y轴相互交换,其值相同，故有2224212121LLdsdsyxI解法二解法二:LLdsydsx|第37页，此课件共40页哦xyz0例7 计算曲线积分,2dszL02222zyxazyx解:由于曲线方程对x,y,z都是对称的,因此有LadsadszyxdszLLL33)(31222222由于L为过球心的平面截得的大圆,所以|L|=2a.因而3232adszL其中L:LLLdszdsydsx222第38页，此课件共40页哦 对弧长曲线积分的应用对弧长曲线积分的应用积分定义及重积分中对

19、物体的重心,质量的讨论,我们得到:Cdsyxm),(对空间曲线有ldszyxm),(:质量设平面曲线形构件占据平面曲线C,其密度为(x,y),根据曲线曲线C的质量为的重心曲线),(yxCCdsyxxmx),(1Cdsyxymy),(1为的重心曲线),(yxlldszyxxmx),(1ldszyxymy),(1ldszyxzmz),(1第39页，此课件共40页哦的重心(设线密度=1)cos1(sin10mmatdtmadsyMymC例8 求螺旋线x=acost,y=asint,z=ht对应于0tm的一段 解:dthadzdydxds22222)()()(CmhamdthadsM02222mmatdtmadsxMxmCsincos10mhtdtmhdszMzmC2110第40页，此课件共40页哦