第二节数列极限课件.ppt

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1、第二节数列极限第1页，此课件共28页哦数学语言描述数学语言描述:r一一、数列极限的定义、数列极限的定义引例引例.设有半径为设有半径为 r 的圆的圆,nA逼近圆面积逼近圆面积 S.n如图所示如图所示,可知可知 nAnnnr cossin2),5,4,3(n当当 n 无限增大时无限增大时,nA无限逼近无限逼近 S(刘徽割圆术刘徽割圆术),0 ,N正正整整数数 当当 n N 时时,SAn用其内接正用其内接正 n 边形的面积边形的面积总有总有第2页，此课件共28页哦定义定义:自变量取正整数的函数称为自变量取正整数的函数称为数列数列,记作记作)(nfxn 或或.nxnx称为通项称为通项(一般项一般项).

2、若数列若数列 nx及常数及常数 a 有下列关系有下列关系:,0 ,N正数正数 当当 n N 时时,总有总有记作记作此时也称数列此时也称数列收敛收敛,否则称数列发散否则称数列发散.几何解释几何解释:aaa)(axan)(Nn 即即),(axn)(Nn axnn lim或或)(naxn1Nx2Nx axn则称该数列则称该数列nx的极限为的极限为 a,第3页，此课件共28页哦例如例如,1,43,32,21 nn1 nnxn)(1 n,)1(,43,34,21,21nnn nnxnn1)1()(1 n,2,8,4,2nnnx2)(n,)1(,1,1,11 n1)1(nnx趋势不定趋势不定收收 敛敛发发

3、 散散第4页，此课件共28页哦例例1.已知已知,)1(nnxnn 证明数列证明数列nx的极限为的极限为1.证证:1nx1)1(nnnn1,0 欲使欲使,1 nx即即,1 n只要只要 1 n因此因此,取取,1 N则当则当Nn 时时,就有就有 1)1(nnn故故1)1(limlim nnxnnnn第5页，此课件共28页哦例例2.已知已知,)1()1(2 nxnn证明证明.0lim nnx证证:0nx0)1()1(2 nn2)1(1 n11 n,)1,0(欲使欲使,0 nx只要只要,11 n即即 n取取,11 N则当则当Nn 时时,就有就有,0 nx故故0)1()1(limlim2 nxnnnn,0

4、111nnnx故也可取故也可取1N也可由也可由2)1(10 nnx.11 N 与与 有关有关,但不唯一但不唯一.不一定取最小的不一定取最小的 N.说明说明:取取 11 N第6页，此课件共28页哦例例3.设设,1 q证明等比数列证明等比数列,112nqqq证证:0 nx01 nq,)1,0(欲使欲使,0 nx只要只要,1 nq即即,lnln)1(qn亦即亦即因此因此,取取 qNlnln1,则当则当 n N 时时,就有就有 01nq故故0lim1 nnq.lnln1qn 的极限为的极限为 0.1 nq第7页，此课件共28页哦23baab22abnabax二、收敛数列的性质二、收敛数列的性质证证:用

5、反证法用反证法.axnn lim及及,limbxnn 且且.ba 取取,2ab 因因,limaxnn故存在故存在 N1,2abaxn 从而从而2baxn 同理同理,因因,limbxnn 故存在故存在 N2,使当使当 n N2 时时,有有2banx1.收敛数列的极限唯一收敛数列的极限唯一.使当使当 n N1 时时,2ba2ab2ab假设假设22abnabbxnbax223ab,2abbxn 从而从而2baxn 矛盾矛盾.因此收敛数列的极限必唯一因此收敛数列的极限必唯一.则当则当 n N 时时,max21NNN 取取故假设不真故假设不真!nx满足的不等式满足的不等式第8页，此课件共28页哦例例4.

6、证明数列证明数列),2,1()1(1 nxnn是发散的是发散的.证证:用反证法用反证法.假设数列假设数列 nx收敛收敛,则有唯一极限则有唯一极限 a 存在存在.取取,21 则存在则存在 N,2121 axan但因但因nx交替取值交替取值 1 与与1,)21,21(aa内内,而此二数不可能同时落在而此二数不可能同时落在21 a21 aa长度为长度为 1 的开区间的开区间 使当使当 n N 时时,有有因此该数列发散因此该数列发散.第9页，此课件共28页哦2.收敛数列一定有界收敛数列一定有界.证证:设设,limaxnn 取取,1 ,N则则当当Nn 时时,从而有从而有nxaaxn a 1取取 ,max

7、21NxxxM a1则有则有.),2,1(nMxn由此证明收敛数列必有界由此证明收敛数列必有界.说明说明:此性质反过来不一定成立此性质反过来不一定成立.例如例如,1)1(n虽有界但不收敛虽有界但不收敛.aaxn )(,1 axn有有数列数列第10页，此课件共28页哦3.收敛数列的保号性收敛数列的保号性.若若,limaxnn 且且0 a,N N则则Nn 当当时时,有有0 nx,)0(.)0(证证:对对 a 0,取取,2a ,N N则则,时时当当Nn axn2a nx02 aaax2a2a推论推论:若数列从某项起若数列从某项起0 nx,limaxnn 且且0 a则则)0(.)0(用反证法证明用反证

8、法证明)第11页，此课件共28页哦*,axkn4.收敛数列的任一子数列收敛于同一极限收敛数列的任一子数列收敛于同一极限.证证:设数列设数列knx是数列是数列nx的任一子数列的任一子数列.若若,limaxnn 则则,0 ,N 当当 Nn 时时,有有 axn现取正整数现取正整数 K,使使,NnK 于是当于是当Kk 时时,有有 knKnN 从而有从而有由此证明由此证明.limaxknk *NKnNxKnx第12页，此课件共28页哦三、极限存在准则三、极限存在准则由此性质可知由此性质可知,若数列有两个子数列收敛于不同的极若数列有两个子数列收敛于不同的极限限,例如，例如，),2,1()1(1 nxnn;

9、1lim12 kkx1lim2 kkx发散发散!夹逼准则夹逼准则;单调有界准则单调有界准则;柯西审敛准则柯西审敛准则.则原数列一定发散则原数列一定发散.说明说明:第13页，此课件共28页哦azynnnn limlim)2(1.夹逼准则夹逼准则(准则准则1)(P49),2,1()1(nzxynnnaxnn lim证证:由条件由条件(2),0 ,1N 当当1Nn 时时,ayn当当2Nn 时时,azn令令 ,max21NNN 则当则当Nn 时时,有有,ayan,azan由条件由条件(1)nnnzxy a a即即,axn故故.limaxnn ,2N第14页，此课件共28页哦例例5.证明证明11211l

10、im222 nnnnnn证证:利用夹逼准则利用夹逼准则.nnnnn2221211 nnn22 22nn且且 nnnn 22limnn 11lim1 22limnnn211limnn 1nn lim nnnn22212111 由由第15页，此课件共28页哦2.单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限(准则准则2)(P52)Mxxxxnn 121mxxxxnn 121)(limMaxnn )(limmbxnn nx1nxM1x2xxmnx1nx1x2xx(证明略证明略)ab第16页，此课件共28页哦例例6.设设,),2,1()1(1 nxnnn证明数列证明数列 nx极限存在极限存在.(P52P54

11、)证证:利用二项式公式利用二项式公式,有有nnnx)11(1nn 1!121!2)1(nnn 31!3)2)(1(nnnn nnnnnnn1!)1()1(11)1 1(!1nn )2 1(n)1 1(nn )11(!21n )11(!31n )21(n 第17页，此课件共28页哦 11nx)1(1!1nn)1(2n)1(1nn)1(1!21n)1(1!31n )1(2n 111nx)1(11!21 n)1)(1(1211!31 nn)1()1)(1(11211!)1(1 nnnnn大大 大大 正正),2,1(1 nxxnn 11)1(1nnnx!21!31!1n 又又比较可知比较可知第18页，

12、此课件共28页哦根据准则根据准则 2 可知数列可知数列 nx记此极限为记此极限为 e,ennn )1(lim1 e 为无理数为无理数,其值为其值为590457182818284.2 e即即有极限有极限.11)1(1nnnx!21!31!1n 1121221 121 n又又32121111 n1213 n第19页，此课件共28页哦*3.柯西极限存在准则柯西极限存在准则(柯西审敛原理柯西审敛原理)(P55)数列数列nx极限存在的充要条件是极限存在的充要条件是:,0 存在正整数存在正整数 N,使当使当NnNm ,时时,mnxx证证:“必要性必要性”.设设,limaxnn 则则,0 NnNm ,时时,

13、有有 使当使当,2 axn2 axm因此因此 mnxx)()(axaxmn axnaxm “充分性充分性”证明从略证明从略.,N 有有第20页，此课件共28页哦内容小结内容小结1.数列极限的数列极限的“N”定义及应用定义及应用2.收敛数列的性质收敛数列的性质:唯一性唯一性;有界性有界性;保号性保号性;任一子数列收敛于同一极限任一子数列收敛于同一极限3.极限存在准则极限存在准则:夹逼准则夹逼准则;单调有界准则单调有界准则;柯西准则柯西准则第21页，此课件共28页哦思考与练习思考与练习1.如何判断极限不存在如何判断极限不存在?方法方法1.找一个趋于找一个趋于的子数列的子数列;方法方法2.找两个收敛

14、于不同极限的子数列找两个收敛于不同极限的子数列.2.已知已知),2,1(21,111 nxxxnn,求求nnx lim时时,下述作法是否正确下述作法是否正确?说明理由说明理由.设设,limaxnn 由递推式两边取极限得由递推式两边取极限得aa21 1 a不对不对!此处此处 nnxlim第22页，此课件共28页哦3.若对任意若对任意,0nx 中仅有有限多项不满足中仅有有限多项不满足 axn则数列则数列 nx以以a为极限吗为极限吗?4.数列数列收敛于实数收敛于实数a等于等于 ，A.对任给对任给在在),(aa内有数列内有数列 nx的无穷多项的无穷多项B.对任给对任给在在内有数列内有数列的有穷多项的有

15、穷多项C.对任给对任给在在外有数列外有数列的无穷多项的无穷多项D.对任给对任给在在外有数列外有数列的有穷多项的有穷多项5.若若 nx2和和 12 nx都收敛于都收敛于a，则，则 nx必定收敛于必定收敛于。,0 ,0 ,0 ,0 ),(aa),(aa),(aa nx nx nxa nx第23页，此课件共28页哦作业P30 3(2),(3),4 ,6P56 4(1),(3)4(3)提示:222 nx12 nx可用数学归纳法证 2nx第24页，此课件共28页哦故极限存在，故极限存在，备用题备用题 1.1.设设)(211nnnxaxx ),2,1(n,0 a,01 x,且且求求.limnnx 解：解：

16、设设Axnnlim则由递推公式有则由递推公式有)(21AaAA aA )(211nnnxaxx nxnxa a nnxx1)1(212nxa )1(21aa 1 数列单调递减有下界，数列单调递减有下界，,01 x故故axnn lim利用极限存在准则利用极限存在准则,0 nx第25页，此课件共28页哦 2.设设,),2,1(0 iai证证:显然显然,1 nnxx证明下述数列有极限证明下述数列有极限.)1()21)(11()21)(11(2111naaanaaaaaanx ),2,1(n即即nx单调增单调增,又又 nkkknaaax11)1()1(1111a1(1)nkkaa211)1()1(1

17、)1()1(11kaa)1()1(111naa 1nnx lim存在存在“拆项相消拆项相消”法法第26页，此课件共28页哦刘徽刘徽(约约225 295年年)我国古代魏末晋初的杰出数学家我国古代魏末晋初的杰出数学家.他撰写的重他撰写的重 差对九章算术中的方法和公式作了全面的评差对九章算术中的方法和公式作了全面的评 注注,指出并纠正了其中的错误指出并纠正了其中的错误,在数学方法和数学在数学方法和数学 理论上作出了杰出的贡献理论上作出了杰出的贡献.他的他的“割圆术割圆术”求圆周率求圆周率“割之弥细割之弥细,所失弥小所失弥小,割之又割割之又割,以至于不可割以至于不可割,则与圆合体而无所失矣则与圆合体而

18、无所失矣”它包含了它包含了“用已知逼近未知用已知逼近未知,用近似逼近精确用近似逼近精确”的重要的重要极限思想极限思想.的方法的方法:第27页，此课件共28页哦柯西柯西(1789 1857)法国数学家法国数学家,他对数学的贡献主要集中他对数学的贡献主要集中在微积分学在微积分学,柯柯 西全集共有西全集共有 27 卷卷.其中最重要的的是为巴黎综合学其中最重要的的是为巴黎综合学 校编写的校编写的分析教程分析教程,无穷小分析概论无穷小分析概论,微积微积分在几何上的应用分在几何上的应用 等等,有思想有创建有思想有创建,响广泛而深远响广泛而深远.对数学的影对数学的影他是经典分析的奠人之一他是经典分析的奠人之一,他为微积分他为微积分所奠定的基础推动了分析的发展所奠定的基础推动了分析的发展.复变函数和微分方程方面复变函数和微分方程方面.一生发表论文一生发表论文800余篇余篇,著书著书 7 本本,第28页，此课件共28页哦