（新课标）2013年中考数学二轮复习 6.1几何图形综合性问题（热点题型+分类精粹+专题强化）（pdf） 新人教版.pdf

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1、第六章综合性问题 几何图形综合性问题【题型概述】几何图形综合题主要以研究图形中点与线之间的位置关系、数量关系,以及特定图形的判定和性质一般以相似为中心,以圆为重点,常常是圆与三角形、四边形、相似三角形、锐角三角函数等知识的综合运用解答几何综合题应注意:()注意观察、分析图形,把复杂的图形分解成几个基本图形,通过添加辅助线补全或构造基本图形;()掌握常规的证题方法和思路;()运用转化的思想解决几何证明问题,运用方程的思想解决几何计算问题,还要灵活运用其他的数学思想方法等【典题演示】()【例】(浙江杭州)如图,A E切O于点E,A T交O于点M、N,线段O E交A T于点C,O BA T于点B,已

2、知E A T ,A E,MN ()求C O B的度数;()求O的半径R;()点F在O上(FME是劣弧),且E F,把O B C经过平移、旋转和相似变换后,使它的两个顶点分别与点E、F重合,在E F的同一侧,这样的三角形共有多少个?你能在其中找出另一个顶点也在O上的三角形吗?请在图中画出这个三角形,并求出这个三角形与O B C的周长之比【思路点拨】()由A E与O相切,根据切线的性质得到A E与C E垂直,又O B与A T垂直,可得出两直角相等,再由一对对顶角相等,利用两对对应角相等的两三角形相似可得出三角形A E C与三角形O B C相似,根据相似三角形的对应角相等可得出所求的角与A相等,由A

3、的度数即可求出所求角的度数()在直角三角形A E C中,由A E及t a nA的值,利用锐角三角函数定义求出C E的长,再由O B垂直于MN,由垂径定理得到B为MN的中点,根据MN的长求出MB的长,在直角三角形O BM中,由半径OMR,及MB的长,利用勾股定理表示出O B的长,在直角三角形O B C中,表示出O B及c o s 的值,利用锐角三角函数定义表示出O C,用O EO CE C列出关于R的方程,求出方程的解得到半径R的值()把O B C经过平移、旋转和相似变换后,使它的两个顶点分别与点E、F重合在E F的同一侧,这样的三角形共有个,如图所示,每个图有个顶点在圆上的三角形,延长E O与

4、圆交于点D,连接D F,由第二问求出半径的长,直径E D的长,根据E D为直径,利用直径所对的圆周角为直角,得到三角形E F D为直角三角形,由F D E为 ,利用锐角三角函数定义求出D F的长,表示出三角形E F D的周长,再由第二问求出的三角形O B C的三边表示出三角形B O C的周长,即可求出两三角形的周长之比【完全解答】()A E切O于点E,A EC E又O BA T,A E CC B O 又B C OA C E,A E CO B C又A ,C O BA ()A E,A ,在R t A E C中,t a nA t a n E CA E,即E CA Et a n O BMN,B为MN的

5、中点又MN ,MBMN 连接OM,在MO B中,OMR,MB,O BOMMBR 在C O B中,B O C ,c o s B O Cc o s O BO C,B OO CO C O B R 又O CE COMR,R R 整理,得R R ,即(R)(R),解得R(舍去)或R则R()在E F同一侧,C O B经过平移、旋转和相似变换后,这样的三角形有个如图()()(),每个图有个顶点在圆上的三角形延长E O交圆O于点D,连接D F,如图()所示E F,直径E D,可得出F D E ,F D 则CE F D ,由()可得CC O B,CE F DCC O B()()【归纳交流】本题是一道几何计算型综

6、合问题,是以计算为主线综合各种几何知识的问题这类问题的主要特点是包第六章综合性问题含知识点多、覆盖面广、逻辑关系复杂、解法灵活解题时必须在充分利用几何图形的性质及题设的基础上挖掘几何图形中隐含的数量关系和位置关系,在复杂的“背景”下辨认、分解基本图形,或通过添加辅助线补全或构造基本图形,并善于联想所学知识,突破思维障碍,合理运用方程等各种数学思想才能解决,如本题考查了切线的性质、垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质、含 直角三角形的性质、平移及旋转的性质以及锐角三角函数定义,熟练掌握定理及性质是解题的关键【例】(广东珠海)已知,A B是O的直径,点P在弧A B上(不含点A、B),把A O

7、 P沿O P对折,点A的对应点C恰好落在O上()当点P、C都在A B上方时(如图(),判断P O与B C的位置关系(只回答结果);()当点P在A B上方而点C在A B下方时(如图(),()中结论还成立吗?证明你的结论()当点P、C都在A B上方时(如图(),过点C作C D直线A P于D,且C D是O的切线,证明:A BP D()()()【思路点拨】()P O与B C的位置关系是平行;()由折叠可知三角形A P O与三角形C P O全等,根据全等 三 角 形 的 对 应 角 相 等 可 得 出A P O C P O,再 由O AO P,利用等边对等角得到AA P O,等量代换可得出AC P O,

8、又根据同弧所对的圆周角相等得到AP C B,再等量代换可得出C P OP C B,利用内错角相等两直线平行,可得出P O与B C平行;()由C D为圆O的切线,利用切线的性质得到O C垂直于C D,又AD垂直于C D,利用平面内垂直于同一条直线的两直线平行得到O C与AD平行,根据“两直线平行,内错角相等”得到A P OC O P,再利用折叠的性质得到A O PC O P,等量代换可得出A P OA O P,再由O AO P,利用等边对等角可得出一对角相等,等量代换可得出三角形A O P三内角相等,确定出三角形A O P为等边三角形,根据等边三角形的内角为 得到A O P为 ,由O P平行于B

9、 C,利用“两直线平行,同位角相等”可得出O B CA O P ,再由O BO C,得到三角形O B C为等边三角形,可得出C O B为 ,利用平角的定义得到P O C也为 ,再加上O PO C,可得出三角形P O C为等边三角形,得到内角O C P为 ,可求出P C D为 ,在直角三角形P C D中,利用 所对的直角边等于斜边的一半可得出P D为P C的一半,而P C等于圆的半径O P,等于直径A B的一半,可得出P D为A B的,即A BPD【完全解答】()P O与B C的位置关系是P OB C()()中的结论P OB C成立,理由为:由折叠可知:A P OC P O,A P OC P O

10、又O AO P,AA P OAC P O又A与P C B都为P B所对的圆周角,AP C BC P OP C BP OB C()C D为圆O的切线,O CC D又ADC D,O CADA P OC O P由折叠可得:A O PC O P,A P OA O P又O AO P,AA P OAA P OA O PA P O为等边三角形A O P 又O PB C,O B CA O P 又O CO B,B C O为等边三角形C O B P O C (A O PC O B)又O PO C,P O C也为等边三角形P C O ,P CO PO C又O C D ,P C D 在R t P C D中,P DP

11、C又P CO PA B,PDA B,即A BP D【归纳交流】本题是一道几何论证型综合题值得一提的是,在近年各地的中考试题中,几何论证型综合题的难度普遍下降,出现了一大批探索性试题,根据新课标的要求,减少几何中推理论证的难度,加强探索性训练,将成为几何论证型综合题命题的新趋势本题考查了切线的性质、等边三角形的判定与性质、含 角直角三角形的性质、折叠的性质、圆周角定理以及平行线的判定与性质,熟练掌握性质及判定是解本题的关键【名题选练】(福建三明)如图,在A B C中,点O在A B上,以O为圆心的圆经过A、C两点,交A B于点D,已知A,B,且 ()求证:B C是O的切线;()若O A,s i n

12、,求B C的长(第题)(山东威海)如图,A B为O的直径,弦C DA B,垂足为点EK为A C上一动点,AK、D C的延长线相交于点F,连接C K、KD()求证:AKDC KF;()若A B,C D,求t a n C KF的值(第题)(江 苏 宿 迁)如 图,在 四 边 形A B C D中,DA BA B C ,C D与以A B为直径的半圆相切于点E,E FA B于点F,E F交B D于点G设ADa,B Cb()求C D的长度(用a,b表示);()求E G的长度(用a,b表示);()试判断E G与F G是否相等,并说明理由(第题)(湖北十堰)如图(),O是A B C的外接圆,A B是直径,O

13、DA C,且C B DB A C,O D交O于点E()求证:B D是O的切线;()若点E为线段O D的中点,证明:以O、A、C、E为顶点的四边形是菱形;()作C FA B于 点F,连 接AD交C F于 点G(如图(),求F GF C的值()()(第题)(广西钦州)如图,A B是O的直径,A C是弦,直线E F经过点C,ADE F于点D,D A CB A C()求证:E F是O的切线;()求证:A CADA B;()若O的半径为,A C D ,求图中阴影部分的面积(第题)(福建宁德)如图,A B是O的直径,点C在O上,过点C作O的切线交A B的延长线于点D,D ()求A的度数;()过点C作C F

14、A B,垂足为E,交O于点F,C F,求弧B C的长度(结果保留)(第题)第六章综合性问题(内蒙古赤峰)如图,A B是O的弦,点D是半径O A上的动点(与点A、O不重合),过点D垂直于O A的直线交O于点E、F,交A B于点C()点H在直线E F上,如果HCHB,那么HB是O的切线吗?请说明理由()连接A E、A F,如果A FF B,并且C F,F E,求A F的长(第题)(广西贵港)如图,R tA B C的内 切圆O与A B、B C、C A分别相切于点D、E、F,且A C B ,A B,B C,点P在射线A C上运动,过点P作PHA B,垂足为H()直接写出线段A C、AD及O半径的长;(

15、)设PHx,P Cy,求y关于x的函数关系式;()当PH与O相切时,求相应的y值(第题)第六章综合性问题 几何图形综合性问题()连接O CO AO C,A C OAB O CAA C O,B O CB B C O ,即O CB CB C是O的切线()由()可得,O CO A,O CB C,在R t B O C中,s i nO CO B,s i n,O BO B B CO BO C()连接AD、A CC KF是圆内接四边形AD C K的外角,C KFAD CA B为O的直径,弦C DA B,ADA CAD CA C DAKDAKDC K F()连接O DA B为O的直径,A B,O D弦C DA

16、 B,C D,D EC EC D(垂径定理)在R t O D E中,O EO DD E,A E在R t AD E中,t a n AD EA ED EC KFAD E,t a n C K F()A B为半圆的直径,D A BA B C ,D A、B C为半圆O的切线又C D与以A B为直径的半圆相切于点E,D ED Aa,C EC BbC Dab()E FA B,E GB CE GB CD ED C,即E Gba(ab)E Ga bab()E G与F G相等理由如下:E GB C,D GD BE GB C,即E GbD GD B又G FAD,F GADB GB D,即F GaB GB D,得E

17、GbF GaD GD BB GB D而E Ga bab,aabF Ga,F Ga babE GF G()A B是O的直径,B C A A B CB A C 又C B DB A C,A B CC B D A B D O BB DB D为O的切线()连接C E、O C、B E,如图(第题)O EE D,O B D ,B EO EE D O B E为 等 边 三 角形B O E 又A CO D,O A C 又O AO C,A CO AO EA CO E且A CO E四边形O A C E是平行四边形而O AO E,四边形O A C E是菱形()C FA B,A F CO B D 而A CO D,C A

18、 FD O BR t A F CR t O B DF CB DA FO B,即F CB DA FO BF GB D,A F GA B DF GB DA FA B,即F GB DA FA BF CF GA BO BF GF C()连接O CO AO C,B A CO C AD A CB A C,O C AD A CO CADADE F,O CE FO C为半径,E F是O的切线()连接B C A B为O直径,ADE F,B C AAD C D A CB A C,A C BAD CADA CA CA BA CADA B()A C D ,O C D ,O C A O CO A,O A C是等边三角形

19、A CO AO C,A O C 在R t A C D中,ADA C,由勾股定理,得D C,阴 影 部 分 的 面 积SS四边形O C DAS扇形O C A()()连接O CC D是O的切线,O CC D,即O C D 又D ,C O D ,即C O B AC O D ()A B是O的直径,C FA B,C F,C EC F 由()知,C O B ,O CC Es i n C O B弧B C的长度为 ()HB是O的切线,理由如下:(第题()连接O BHCHB,HC BHB C又O BO A,O A BO B AC DO A,AD C A C DO A B A C DHC B,O B AHB A

20、HBO B(第题()HB是O的切线()A FF B,F A BA E F又A F EC F AA F EC F AA FC FF EF AA FC FF EC F,F E,A F ()连接A O、D O设O的半径为r在R t A B C中,由勾股定理得A CA BB C,则O的半径r(A CB CA B)()(第题()C E、C F是O的 切线,A C B ,C F O F C EC E O ,C FC E四边形C E O F是正方形C FO F又AD、A F是O的切线,A FADA FA CC FA CO F,即AD(第题()()在R t A B C中,A B,A C,B CC ,PHA B,CPHA AA,AHPA C BPHB CA PA BA CP CA B,即xyyx即y与x的函数关系式是yx()如图(),P H 与O相切OMH MH DH D O ,OMO D,四边形OMH D是正方形MH OM由()知,四边形C F O E是正方形,C FO F,P H P MMH P FF CP C,即xy又由()知,yx,yy,解得y