2013届中考数学总复习提优讲义 746代数几何综合题（pdf） 新人教版.pdf

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1、第 课时代数几何综合题代数、几何知识相结合的综合题是以几何知识为主体,以代数知识为工具(背景),来确定图形的形状、位置、大小(坐标)的问题解答时往往需要从代数几何的结合点或在几何图形中寻找各元素之间的数量关系或在代数条件中探讨各个量的几何模型,进行数与形之间的互相转化,使问题得到解决为了讲解方便,我们将代数几何综合题按题目叙述的背景分为:坐标系、函数为背景的代数几何综合题和以几何图形为背景的代数几何综合题类型一坐标系、函数为背景典例(江苏扬州)如图(),在平面直角坐标系中,矩形O A B C的顶点O在坐标原点,顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上,且O A,O C,矩形对角线A C、O B相交

2、于点E,过点E的直线与边O A、B C分别相交于点G、H()直接写出点E的坐标:;求证:A GCH;()如图(),以点O为圆心,O C为半径的圆弧交O A于点D,若直线GH与弧C D所在的圆相切于矩形内一点F,求直线GH的函数关系式;()在()的结论下,梯形A BHG的内部有一点P,当P与HG、G A、A B都相切时,求P的半径()()()【解析】()根据矩形的性质和边长即可求出点E的坐标;推出C EA E,B CO A,推出HC EE A G,证出CHEA G E即可;()连接D E并延长D E交C B于点M,求出DDO CO A,证CMEAD E,求出CMAD,推出四边形CMD O是矩形,

3、求出MD切O于点D,设CHHFx,推出(x)()x(),求出点H、G的坐标,设直线GH的解析式是yk xb,把点G、H的坐标代入求出即可;()连 接B G,证O CH B A G,求 出CHO A G B,证HO EG B E,求出OHEB G E,得出B G平分F G A,推出圆心P必在B G上,过点P作PNG A,垂足为N,根据G PNG B A,得出PNB AGNG A,设半径为r,代入求出即可【全解】(),()四边形O A B C为矩形,C EA E,B CO AHC EE A G在CHE和A G E中,HC EE A G,C EA E,HE CG E A,CHEA G EA GCH(

4、)连接D E并延长D E交C B于点M,DDO CO A,D是O A的中点在CME和AD E中,MC EDA E,C EA E,ME CD E A,CMEAD ECMADB CO A,C O D ,四边形CMD O是矩形MDO D,MDC BMD切O于点DHG切O于点F,E,(),可设CHHFx,F EE DME,在R t MHE中,有MHMEHE,即(x)()x(),解得xH,(),O G又G,(),设直线GH的解析式是yk xb,把点G、H的坐标代入,得kb,kb解得k,b,直线GH的函数关系式为yx()连接B G,在O CH和B A G中,CHA G,HC OG A B,O CA B,O

5、 CHB A GCHOA G B,CHA GHC O ,HC切O于点C,HG切O于点FOH平分CHFCHOFHOB G A四边形O C B A是矩形,B CO A,B CO ACHA G(已证),BHO G,BHO G四边形BHO G是平行四边形OHB GOHEB G ECHOFHOB G A,B G AB G E,即B G平分F G AP与HG、G A、A B都相切,圆心P必在B G上过点P作PNG A,垂足为N,G PNG B APNB AGNG A设半径为r,得rr,解得r,即P的半径是【提醒】本题综合考查了矩形的性质和判定,全等三角形的性质和判定,相似三角形的性质和判定,切线的性质和判

6、定,一次函数和勾股定理等知识点,综合性强,难度偏大,但是也是一道比较好的题目类型二几何图形为背景典例(江苏苏州)如图,已知半径为的O与直线l相切于点A,点P是直径A B左侧半圆上的动点,过点P作直线l的垂线,垂足为C,P C与O交于点D,连接P A、P B,设P C的长为x(x)()当x时,求弦P A、P B的长度;()当x为何值时,P DC D的值最大?最大值是多少?【解析】()易证R t P C AR t A P B,由相似三角形的对应边成比例,可先求出P A的长,再利用勾股定理即可求出P B的长;()过点O作O E垂直于P D于点E,由垂径定理得到E为PD的中点,再由三个角为直角的四边形

7、为矩形得到四边形O A C E为矩形,可得E CO A,又P CE CP E,P DP E,这样就可以用x表示出P D,尽而表示出C D,代入P DC D求出所求式子的最大值及此时x的取值即可【全解】()O与直线l相切于点A,且A B为O的直径,A Bl又P Cl,A BP CC P AP A BA B是O的直径,A P B 又P Cl,P C AA P B P C AA P BP CA PP AA B,即P AP CA BP C,A B,P A R t A P B中,A B,P A 由勾股定理,得P B ()过点O作O EP D,垂足为E,P D是O的弦,O EP D,P EE D又C E

8、OE C AO A C ,四边形O A C E为矩形C EO A又P Cx,P EE DP CC ExC DP CP Dx(x)xP DC D(x)(x)x x(x)x,当x时,PDC D的值最大,最大值是【提醒】本题考查了切线的性质,平行线的性质,矩形的判定与性质,垂径定理,勾股定理,相似三角形的判定与性质,以及二次函数的性质,熟练掌握性质及定理是解本题的关键典例(江苏苏州)如图,正方形A B C D的边AD与矩形E F GH的边F G重合,将正方形A B C D以 c m/s的速度沿F G方向移动,移动开始前点A与点F重合,在移动过程中,边AD始终与边F G重合,连接C G,过点A作C G

9、的平行线交线段GH于点P,连接P D已知正方形A B C D的边长为 c m,矩形E F GH的边F G、GH的长分别为c m,c m,设正方形移动的时间为x(s),线段G P的长为y(c m),其中x()试求出y关于x的函数关系式,并求当y时相应x的值;()记D G P的面积为S,C D G的面积为S试说明SS是常数;热点题型探究()当线段PD所在直线与正方形A B C D的对角线A C垂直时,求线段P D的长【解析】()根据题意表示出A G、G D的长度,再由G C DA P G,利用对应边成比例可解出x的值()利用()得出的y与x的关系式表示出S、S,然后作差即可()延长P D交A C于

10、点Q,然后判断D G P是等腰直角三角形,从而结合x的范围得出x的值,在R t D G P中,解直角三角形可得出P D的长度【全解】()C GA P,G C DA P GC DG DP GA GG F,C DD A,A Fx,G Dx,A Gxxyx,即yxxy关于x的函数关系式为yxx当y时,xx,解得x,经检验的x 是分式方程的根故x的值为()SG PG Dxx(x)x,SG DC D(x)x,SSxx,即为常数()延长PD交A C于点Q正方形A B C D中,A C为对角线,C AD P QA C,AD Q G D PAD Q D G P是等腰直角三角形,则G DG Pxxx,化简,得x

11、x解得x,x x 在R t D G P中,PDG Dc o s (x)【小结】()几何图形为背景的代数几何综合题,建立函数表达式的常见思路是:利用图形的面积公式建立函数表达式;或利用勾股定理或解直角三角形知识建立函数表达式;或利用相似三角形的线段成比例建立函数表达式()本题综合性非常强运用的几何知识有正方形的性质、等腰三角形的性质、相似三角形及解直角三角形的知识;代数知识有解分式方程、一元二次方程以及函数知识等解答本题的关键是用移动的时间表示出有关线段的长度,然后运用所学知识进行求解(上海)如图,在平面直角坐标系中,二次函数ya xxc的图象经过点A(,),B(,),与y轴交于点C,点D在线段

12、O C上,O Dt,点E在第二象限,AD E ,t a n DA E,E FO D,垂足为F()求这个二次函数的解析式;()求线段E F、O F的长(用含t的代数式表示);()当E C AO A C时,求t的值(第题)(陕西)如图,正三角形A B C的边长为()如图(),正方形E F P N的顶点E、F在边A B上,顶点N在边A C上,在正三角形A B C及其内部,以点A为位似中心,作正方形E F P N的位似正方形E F P N,且使正方形E F P N 的面积最大;(不要求写作法)()求()中作出的正方形E F P N 的边长;()如图(),在正三角形A B C中放入正方形D EMN和正方

13、形E F PH,使得D E、E F在边A B上,点P、N分别在边C B、C A上,求这两个正方形面积和的最大值和最小值,并说明理由()()(第题)【基础达标】(河北)如图,已知点A(,),B(,),点C在y轴的正半轴上,C B O ,C DA B,C D A 点P从点Q(,)出发,沿x轴向左以每秒个单位长度的速度运动,运动时间为t秒()求点C的坐标;()当B C P 时,求t的值;()以点P为圆心,P C为半径的P随点P的运动而变化,当P与四边形A B C D的边(或边所在的直线)相切时,求t的值(第题)(浙江嘉兴)在平面直角坐标系x O y中,点P是抛物线yx上的动点(点P在第一象限内)连接

14、O P,过点O作O P的垂线交抛物线于另一点Q连接P Q,交y轴于点M作P Ax轴于点A,Q Bx轴于点B设点P的横坐标为m()如图(),当m 时求线段O P的长和t a n P OM的值;在y轴上找一点C,使O C Q是以O Q为腰的等腰三角形,求点C的坐标;()如图(),连接AM、BM,分别与O P、O Q相交于点D、E用含m的代数式表示点Q的坐标;求证:四边形O DME是矩形()()(第题)【综合拓展】(湖南株洲)如图,在A B C中,C ,B C米,A C 米点M在线段C A上,从点C向点A运动,速度为米/秒;同时点N在线段A B上,从点A向点B运动,速度为米/秒运动时间为t秒()当t

15、为何值时,AMNANM?()当t为何值时,AMN的面积最大?并求出这个最大值(第题)(江苏常州)已知,在矩形A B C D中,A B,B C,点M为边B C的中点,点P为边C D上的动点(点P异于C、D两点)连接PM,过点P作PM的垂线与射线D A相交于点E(如图),设C Px,D Ey()写出y与x之间的关系式;()若点E与点A重合,则x的值为;()是否存在点P,使得点D关于直线P E的对称点D 落在边A B上?若存在,求x的值;若不存在,请说明理由(第题)第 课时代数几何综合题【当堂过关】()二次函数ya xxc的图象经过点A(,),B(,),ac,ac解得a,c这个二次函数的解析式为yx

16、x()E F DE D A ,D E F E D F ,E D F O D A D E FO DAE D FD A OE FD OE DDAE DDA t a n DA E,E FD O,即E FtE Ft同理D FO AE DDA,D F,O Ft()抛物线的解析式为yxx,C(,),O C如图,连接E C、A C,过点A作E C的垂线交C E于点G(第题)E C AO A C,在G C A与O A C中,G C AC A O,A CA C,C O AC G A,G C AO A CC G,A GO C如图,过点E作EMx轴于点M,在R t A EM中,EMO Ft,AMO AOMO AE

17、Ft,由勾股定理,得A EAMEM t()(t)在R t A E G中,由勾股定理,得E GA EA Gt()(t)t 在R t E C F中,E Ft,C FO CO F t,C EC GE Gt,由勾股定理,得E FC FC E,即t()(t)t 解得t(不合题意,舍去),t,t()如图(),正方形E F P N 即为所求(第题()()设正方形E F P N 的边长为x,A B C为正三角形,A E B F xE F A E B F A B,xxx x ,即x(没有分母有理化或x 也正确)()如图(),连接ME、E P、PN,则NE P (第题()设正方形D EMN、正方形E F PH的边

18、长分别为m,n(mn),它们的面积和为S,则NE m,P E nPNNEP Emn(mn)SmnPN延长PH交ND于点G,则P GND在R t P GN中,PNP GGN(mn)(mn)ADD EE FB FA B,即mmnn,化简,得mnS(mn)(mn)当(mn)时,即mn时,S最小S最小当(mn)最大时,S最大,即当m最大且n最小时,S最大mn,由()知,m最大 n最小m最大()S最大(m最大n最小)()(S最大 也正确)【课后精练】()B C OC B O ,O CO B又点C在y轴的正半轴上,点C的坐标为(,)()分两种情况考虑:当点P在点B右侧时,如图(),(第题()若B C P

19、,得P C O ,故P OC Ot a n ,此时t 当点P在点B左侧时,如图(),(第题()由B C P ,得P C O ,故O PC Ot a n ,此时t,t的值为 或()由题意知,若P与四边形A B C D的边相切时,有以下三种情况:当P与B C相切于点C时,有B C P ,从而O C P ,得到O P,此时t;当P与C D相切于点C时,有P CC D,即点P与点O重合,此时t;当P与AD相切时,由题意,得DA O ,点A为切点,如图(),P CP A(t),P O(t)于是(t)(t),解得t,t的值为或或()把x 代入yx,得y,P(,)O P P Ax轴,P AMO t a n

20、P OM t a n O P AO PA P设Q(n,n),t a n Q O B t a n P OM,nnnQ,O Q当O QO C时,则C,C,;当O QC Q时,则C(,)综上所述,所求点C的坐标为C,C,C(,)()P(m,m),设Q(n,n),A P OB O Q,B QA OB OA Pnmnm,得nmQm,m()设直线P O的解析式为yk xb,把点P(m,m),Qm,m()代入,得mm kb,mmkb解得bM(,)B QMOB OA Om,Q B OMO A ,Q B OMO AMA OQ O BQ OMA同理可证EMO D又E O D ,四边形O DME是矩形()从点C向点

21、A运动,速度为米/秒;同时点N在线段A B上,从点A向点B运动,速度为米/秒运动时间为t秒AM t,ANtAMNANM,AMAN,从而 tt解得t秒当t为时,AMNANM()如图,作NHA C于点H,(第题)NHAC NHB CNHAA B CANA BNHB C,即t NHNH t从而有SA B C(t)t t t,当t时,S最大 ()P EPM,E PM D P EC PM 又四边形A B C D为矩形,D D P ED E P C PMD E P又CD ,C PMD E PC PD ECMD P又C Px,D Ey,A BD C,D Px又M为B C的中点,B C,CMxyx,则yxx(

22、)当点E与点A重合时,D EAD,C PMD E P,C PD ECMD P又C Px,D E,CM,D Px,xx,即xx解得x 或x,x的值为 或()存在,过点P作PHA B于点H,(第题)点D关于直线P E的对称点D 落在边A B上,P D P Dx,E D E Dyxx,E AADE Dxx,P D ED 在R t D PH中,PH,D PD Px,根据勾股定理,得D H(x)xx,E D A P D H P D HD PH,P D EPHD ,E D AD PHE D D PE AD H,即xxxxxxx 整理,得xx,解得x,当x 时,y ,此时E在D A的延长线上,不合题意,舍去;当x 时,y ,此时E在D A上,符合题意则x 时,点D关于直线P E的对称点D 落在边A B上