2013届中考数学总复习提优讲义 421矩形与菱形（pdf） 新人教版.pdf

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1、第 课时矩形与菱形掌握矩形、菱形的概念、性质和判定理解矩形、菱形与一般平行四边形之间的共性、特性和从属关系会解决与矩形、菱形有关的面积计算、长度计算问题及综合问题矩形()定义:有一个角是 的叫做矩形()性质:矩形除了具有平行四边形的所有性质外,还有:矩形的四个角 矩形的对角线且()判定:除了定义外,还有:有个角是直角的四边形是矩形 对角线的平行四边形是矩形()面积计算:S长宽菱形()定义:有一组邻边相等的叫做菱形()性质:菱形除了具有平行四边形的所有性质外,还有:菱形的四条边 菱形的对角线,并且每条对角线平分一组对角()判定:除了定义外,还有:四条边都的四边形是菱形 对角线的平行四边形是菱形(

2、)面积计算:Sll(l,l是对角线)考点矩形、菱形的有关计算例()(江苏南通)如图(),矩形A B C D的对角线A Cc m,A O D ,则A B的长为()Ac mB c mC c mD c m()()()()(福建厦门)如图(),在菱形A B C D中,A C、B D是对角线,若B A C ,则A B C等于()A B C D ()(辽宁本溪)在菱形A B C D中,对角线A C、B D相交于点O,A B,A C,过点D作A C的平行线交B C的延长线于点E,则B D E的面积为()A B C D 【解析】()根据矩形的对角线相等且互相平分可得A OB OA Cc m,根据邻角互补求出A

3、 O B A O D ,得到A O B是等边三角形,再根据等边三角形的性质即可得A BA O c m()首先根据菱形 的菱形的每一 条对角线平分 一组对 角 可 得B ADB A C ,根据菱形的性质可得ADB C,根据平行线的性质可得A B CB AD ,代入所求的B AD的度数,得A B C ()由A DB E,A CD E,可判断出四边形A C E D是平行四边形,所以D EA C,根据菱形的性质,在R t B A O中,B OA BA OA BA C(),即可得B D,又B EB CC EB CA D ,利用勾股定理的逆定理可得出B D E是直角三角形,所以SB D ED EB D 【

4、全解】()D()C()B【小结】矩形、菱形的有关计算主要利用矩形、菱形的性质,根据不同题目,可能涉及等边三角形的判定与性质,勾股定理的逆定理及三角形的面积等考点矩形的性质与判定例(广东肇庆)如图,四边形A B C D是矩形,对角线A C、B D相交于点O,B EA C交D C的延长线于点E()求证:B DB E;()若D B C ,B O,求四边形A B E D的面积【解析】()根据矩形的对角线相等可得A CB D,然后证明四边形A B E C是平行四边形,再根据平行四边形的对边相等可得A C空间与图形B E,从而得证;()根据矩形的对角线互相平分求出B D的长度,再根据 角所对的直角边等于斜

5、边的一半求出C D的长度,然后利用勾股定理求出B C的长度,再利用梯形的面积公式列式计算即可得解【全解】()四边形A B C D是矩形,A CB D,A BC DB EA C,四边形A B E C是平行四边形A CB EB DB E()在矩形A B C D中,B O,B DB OD B C ,C DB DA BC D,D EC DC EC DA B在R t B C D中,B CB DC D,四边形A B E D的面积()【提醒】本题考查了矩形的对角线互相平分且相等的性质,平行四边形的判定与性质,角所对的直角边等于斜边的一半的性质,熟记性质是解题的关键例(山东青岛)如图,四边形A B C D的对

6、角线A C、B D交于点O,B EA C于点E,D FA C于点F,点O既是A C的中点,又是E F的中点()求证:B O ED O F;()若O AB D,则四边形A B C D是什么特殊四边形?说明理由【解析】()首先根据垂直可得B E OD F O ,再由点O是E F的中点可得O EO F,再加上对顶角D O FB O E,可利用A S A证明B O ED O F;()首先根据B O ED O F可得D OB O,再加上条件A OC O可得四边形A B C D是平行四边形,再证明D BA C,可根据对角线相等的平行四边形是矩形证出结论【全解】()B EA C,D FA C,B E OD

7、F O 点O是E F的中点,O EO F又D O FB O E,B O ED O F(A S A)()四边形A B C D是矩形理由如下:B O ED O F,O BO D又O AO C,四边形A B C D是平行四边形O AB D,O AA C,B DA CA B C D是矩形【小结】矩形的判定可从两个角度理解:平行四边形条件矩形条件一:有一个角是直角;条件二:对角线相等一般四边形条件矩形条件一:有三个角是直角;条件二:可先证是平行四边形,再证是矩形考点菱形的性质与判定例(江苏南通)在菱形A B C D中,B ,点E在边B C上,点F在边C D上()如图(),若E是B C的中点,A E F

8、,求证:B ED F;()()()如图(),若E A F ,求证:A E F是等边三角形【解析】()首先连接A C,在菱形A B C D中,B ,根据菱形的性质,易得A B C是等边三角形,又由三线合一,可证得A EB C,继而求得F E CC F E,即可得E CC F,继而证得B ED F;()首先连接A C,可得A B C是等边三角形,即可得A BA C,以求得A C FB ,然后利用平行线与三角形外角的性质,可求得A E B A F C,证 得A E B A F C,即 可 得A EA F,证 得A E F是等边三角形【全解】()连接A C,在菱形A B C D中,B ,A BB CC

9、 D,C B A B C是等边三角形E是B C的中点,A EB CA E F ,F E C A E F C F E F E CC F E CC F EE CC FB ED F()连接A C,四边形A B C D是菱形,B ,A BB C,DB ,A C BA C FA B C是等边三角形A BA C,A C B BA C F ADB C,A E B E AD E A F F AD F AD,又A F CDF AD F ADA E BA F C在A B E和A F C中,BA C F,A E BA F C,A BA C,A B EA C F(AA S)A EA F又E A F ,A E F是等边

10、三角形【提醒】此题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质此题难度适中,注意准确作出辅助线,注意数形结合思想的应用例(山东聊城)如图,矩形A B C D的对角线相交于点O,D EA C,C EB D求证:四边形O C E D是菱形【解析】首先根据两对边互相平行的四边形是平行四边形证明四边形O C E D是平行四边形,再根据矩形的性质可得O CO D,即可利用一组邻边相等的平行四边形是菱形判定出结论【全解】D EA C,C EB D,四边形O C E D是平行四边形四边形A B C D是矩形,O CO D四边形O C E D是菱形【小结】菱形的判

11、定可从两个角度理解:平行四边形条件菱形条件一:有一组邻边相等;条件二:对角线互相垂直一般四边形条件菱形条件一:四条边都相等;条件二:可先证是平行四边形,再证是菱形考点矩形与菱形的综合例(河南)如图,在菱形A B C D中,A B,DA B ,点E是边AD的中点点M是边A B上一动点(不与点A重合),延长ME交射 线C D于 点N,连接MD、AN()求证:四边形AMDN是平行四边形;()填空:当AM的值为时,四边形AMDN是矩形;当AM的值为时,四边形AMDN是菱形【解析】()利用菱形的性质和已知条件可证明四边形AMDN的对边平行且相等即可()由()可知四边形AMDN是平行四边形,利用有一个角为

12、直角的平行四边形为矩形即DMA ,所以AMAD时即可;当平行四边形AMDN的邻边AMDN时,四边形为菱形,利用已知条件再证明三角形AMD是等边三角形即可【全解】()四边形A B C D是菱形,NDAMND EMA E,DNEAME又点E是边AD的中点,D EA END EMA ENDMA四边形AMDN是平行四边形()(过程不必书写,仅供参考)当AM的值为时,四边形AMDN是矩形理由如下:AMAD,ADM D AM ,AMD 四边形AMDN是矩形故答案为:;(过程不必书写,仅供参考)当AM的值为时,四边形AMDN是菱形理由如下:AM,AMADAMD是等边三角形AMDM四边形AMDN是菱形故答案为

13、:【提醒】本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定和性质、矩形的判定、以及等边三角形的判定和性质,解题的关键是掌握特殊图形的判定以及重要的性质(辽宁丹东)如图,菱形A B C D的周长为 c m,对角线A C、B D相交于点O,E是AD的中点,连接O E,则线段O E的长等于()A c mB c mC c mD c m(第题)(宁夏)如图,在矩形A B C D中,对角线A C、B D相交于点O,D EA C于点E,E D CE D A,且A C,则D E的长度是(第题)(第题)(吉林长春)如图,A B C D的顶点B在矩形A E F C的边E F上,点B与点E、F不重合,若A C D的面积为,则

14、图中阴影部分两个三角形的面积和为(江苏淮安)在菱形A B C D中,若对角线长A Cc m,B Dc m,则边长A Bc m(辽宁沈阳)如图,菱形A B C D的边长为c m,A ,D EA B于点E,D FB C于点F,则四边形B E D F的空间与图形面积为c m(第题)(吉林)如图,在A B C中,A BA C,D为边B C上一点,以A B、B D为邻边作A B D E,连接AD、E C()求证:AD CE C D;()若B DC D,求证:四边形AD C E是矩形(第题)(浙江嘉兴)如图,已知菱形A B C D的对角线相交于点O,延长A B至点E,使B EA B,连接C E()求证:B

15、 DE C;()若E ,求B A O的大小(第题)(湖南娄底)如图,在矩形A B C D中,M、N分别是AD、B C的中点,P、Q分别是BM、DN的中点()求证:MB AND C;()四边形MPNQ是什么样的特殊四边形?请说明理由(第题)【基础达标】(四川成都)如图,在菱形A B C D中,对角线A C、B D交于点O,下列说法错误的是()AA BD CBA CB DCA CB DDO AO C(第题)(第题)(陕西)如图,在菱形A B C D中,对角线A C与B D交于点O,O EA B,垂足为E,若AD C ,则A O E的大小为()A B C D (江苏苏州)如图,矩形A B C D的对

16、角线A C、B D相交于点O,C EB D,D EA C,若A C,则四边形C O D E的周长()A B C D (第题)(第题)(湖北宜昌)如图,在菱形A B C D中,A B,B C D ,则A B C的周长等于()A B C D(湖北黄冈)若顺次连接四边形A B C D各边的中点所得四边形是矩形,则四边形A B C D一定是()A矩形B菱形C对角线互相垂直的四边形D对角线相等的四边形(黑龙江哈尔滨)如图,四边形A B C D是矩形,点E在线段C B的延长线上,连接D E交A B于点F,A E DC E D,点G是D F的中点,若B E,A G,则A B的长为(第题)(贵州六盘水)如图,

17、已知E是A B C D的边B C的中点,连接A E并延长A E交D C的延长线于点F()求证:A B EF C E;()连接A C、B F,若A E CA B C,求证:四边形A B F C为矩形(第题)(山东济宁)如图,AD是A B C的角平分线,过点D作D EA B,D FA C,分别交A C、A B于点E和F()在图中画出线段D E和D F;()连接E F,则线段A D和E F互相垂直平分,这是为什么?(第题)【综合拓展】(湖北孝感)如图,在菱形A B C D中,A ,E、F分别是A B,AD的中点,D E、B F相交于点G,连接B D、C G有下列结论:B G D ;B GD GC G

18、;B D FC G B;SA B DA B其中正确的结论有()A 个B 个C 个D 个(第题)(第 题)(安徽)如图,P是矩形A B C D内的任意一点,连接P A、P B、P C、P D,得到P A B、P B C、P C D、P DA,设它们的面积分别是S、S、S、S,给出如下结论:SSSS;SSSS;若SS,则SS;若SS,则点P在矩形的对角线上其中正确的结论的序号是(把所有正确结论的序号都填在横线上)(重庆)如图,在菱形A B C D中,F为边B C的中点,D F与对角线A C交于点M,过点M作MEC D于点E,()若C E,求B C的长;()求证:AMD FME(第 题)(黑龙江佳木

19、斯)在菱形A B C D中,A B C ,E是对角线A C上一点,F是线段B C延长线上一点,且C FA E,连接B E、E F()若E是线段A C的中点,如图(),求证:B EE F;()若E是线段A C或A C延长线上的任意一点,其他条件不变,如图()、图(),线段B E、E F有怎样的数量关系,直接写出你的猜想;并选择一种情况给予证明()()()(第 题)第 课时矩形与菱形【自主梳理】()平行四边形()都是直角相等相互平分()三相等()平行四边形()都相等互相垂直平分()相等互相垂直【当堂过关】A ()四边形A B D E是平行四边形(已知),A BD E,A BD E(平行四边形的对边

20、平行且相等)BE D C(两直线平行,同位角相等)又A BA C(已知),A CD E(等量代换),B A C B(等边对等角)E D CA C D(等量代换)在AD C和E C D中,A CD EA C DE D CD CC D(公共边),AD CE C D(S A S)()四边形A B D E是平行四边形(已知),B DA E,B DA E(平行四边形的对边平行且相等)A EC D又B DC D,A EC D(等量代换)四边形AD C E是平行四边形(对边平行且相等的四边形是平行四边形)在A B C中,A BA C,B DC D,ADB C(等腰三角形的“三线合一”性质)AD C AD C

21、 E是矩形()四边形A B C D是菱形,A BC D,A BC D又B EA B,B EC D,B EC D四边形B E C D是平行四边形B DE C()四边形B E C D是平行四边形,B DC EA B OE 又四边形A B C D是菱形,A CB DB A O A B O ()四边形A B C D是矩形,A BC D,ADB C,AC 在 矩 形A B C D中,M、N分 别 是AD、B C的中点,AMAD,CNB CAMCN在MA B和ND C中,A BC D,AC ,AMCN,MA BN C D()四边形MPNQ是菱形,理由如下:连接AN,易证A BNB AMANBMMA BND

22、 C,BMDNP、Q分别是BM、DN的中点,PMNQ,D QP BDMBN,D QB P,MD QNB P,MQ DNP BMQNP四边形MPNQ是平行四边形M是A B的中点,Q是DN的中点,MQANMQBM又MPBMMPMQ四边形MQNP是菱形【课后精练】B B C B C ()四边形A B C D为平行四边形,A BD CA B EE C F又E为B C的中点,B EC E在A B E和F C E中,A B E E C F,B EC E,A E B F E C(对顶角相等),A B EF C E(A S A)()A B EF C E,A BC F又A BC F,四边形A B F C为平行四

23、边形B EE C,A EE F又 A E CA B C,且A E C为A B E的外角,A E CA B CE A BA B CE A BA EB EA EE FB EE C,即A FB C则四边形A B F C为矩形()如图所示:(第题)()D EA B,D FA C,四边形A E D F是平行四边形AD是A B C的角平分线,F ADE ADA BD E,F ADE D AE ADE D AE AE D平行四边形A E D F是菱形AD与E F互相垂直平分 C ()四边形A B C D是菱形,A BC DA C D,A C DMCMDMEC D,C DC EC E,C DB CC D()如

24、图,F为边B C的中点,(第 题)B FC FB CC FC E在菱形A B C D中,A C平分B C D,A C BA C D在C EM和C FM中,C EC F,A C BA C D,CMCM,C EMC FM(S A S)MEMF延长A B交D F于点G,A BC D,G,GAMMG在C D F和B G F中,G,B F G C F D(对顶角相等),B FC F,C D FB G F(AA S)D FG F由图形可知,GMG FMF,AMD FME()四边形A B C D为菱形,A BB C又A B C ,A B C是等边三角形E是线段A C的中点,C B EA B C ,A EC

25、EA EC F,C EC FFC E FFC E FA C B ,F C B EFB EE F()图():B EE F图():B EE F图()证明如下:过点E作E GB C,交A B于点G,四边形A B C D为菱形,A BB C又A B C ,A B C是等边三角形A BA C,A C B 又E GB C,A G EA B C 又B A C A G E是等边三角形A GA EB GC E又C FA E,G EC F又B G EE C F B G EE C F(S A S)B EE F()()(第 题)图()证明如下:过点E作E GB C交A B延长线于点G,四边形A B C D为菱形,A BB C又A B C ,A B C是等边三角形A BA C,A C B 又E GB C,A G EA B C 又B A C ,A G E是等边三角形,A GA EB GC E又C FA E,G EC F又B G EE C F ,B G EE C F(S A S)B EE F