§2.3 连续型随机变量及其概率密度函数(下).pdf

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1、2.3 连续型随机变量及其概率密度函数连续型随机变量及其概率密度函数 三 四种常见的连续型分布三 四种常见的连续型分布(下下) 正态分布正态分布 4 正态分布正态分布 定义定义2.14 设随机变量设随机变量X的概率密度函数为的概率密度函数为 , 2 2 1 ( ), 2 x xex 则称则称X服从服从标准正态分布标准正态分布，记作，记作XN(0, 1)。 【注】 若【注】 若XN(0, 1)，则，则X的取值区间为的取值区间为(- , + )。 = 22 2 22 00 0 22 , rr derdre 2 2 2 t edt 【注】称【注】称 为为欧拉积分。欧拉积分。 22222 2 2222

2、 ttutu edtedteduedtdu 易见概率密度函数易见概率密度函数 (x) 0，- x0)为任意常数，若随机变量为任意常数，若随机变量X满足满足 则称则称X服从参数为服从参数为 , 的的正态分布正态分布，记作，记作XN( , 2)。 。 0 1( , ) X YN ， 定理定理2.5 设随机变量设随机变量XN( , 2)，则 ，则 (1)设设X的分布函数为的分布函数为F(x)，则，则 ( ),; x F xxR ba P aXb ； (2) (3)X的概率密度函数为的概率密度函数为 , 2 2 () 2 1 ( ). 2 x f xex ( ),. Xxx F xP XxPxR 相等

3、事件相等事件 【证】【证】(1)依定义，依定义， ，有，有 (0,1) X N ( )( ). ba P aXbF bF a (2)依分布函数的定义及依分布函数的定义及(1)，有，有 (3)因为因为 (x)处处连续可微，故由处处连续可微，故由(1)知，知，F(x)处处连续处处连续 可微，依定理可微，依定理2.3，有，有 1 ( )( ) xx f xFx , 2 2 () 2 1 . 2 x ex 【注】 如果【注】 如果XN( , 2)，则 ，则X的取值区间为的取值区间为X (- , + )。 其中其中 (x)为标准正态分布的概率密度函数。为标准正态分布的概率密度函数。 易见概率密度函数易见

4、概率密度函数f(x) 0，- x+ ，且且 2 2 2 () 22 11 ( )1. 22 x t f x dxedxedt (1)曲线关于直线曲线关于直线x= 对称对称; 依正态分布依正态分布XN( , 2)的概率密度函数，可知密度曲线的概率密度函数，可知密度曲线 (也称也称正态曲线正态曲线)有如下特点：有如下特点： (2)在曲线顶点在曲线顶点 1 max( ) 2 f x ； (3)曲线以曲线以x轴为渐近线且在轴为渐近线且在x= 处有拐点处有拐点; f(x) - O + x 令令(x- )/ =t，dx= dt，则，则 f (x) xO + - 拐点拐点 不变不变 1 =0.8 =1.5

5、=0.5 这些特点说明正态分布的概率密度曲线为对称的这些特点说明正态分布的概率密度曲线为对称的钟形钟形 (4)若固定若固定 ，改变，改变 ，则曲线形态不变，但沿，则曲线形态不变，但沿x轴移动，轴移动， 所以称所以称 为为位置参数。位置参数。若固定若固定 ，改变，改变 ，则曲线对称，则曲线对称 中心中心(轴轴)不变，但是曲线形态改变，不变，但是曲线形态改变， 越小，曲线越尖越小，曲线越尖 陡，所以称陡，所以称 为为刻度刻度(或形状或形状)参数参数. 曲线，曲线，中间高，两头低。中间高，两头低。 11 X PXP 【议】依实际推断原理，事件【议】依实际推断原理，事件 -3 X +3 是实际上是实际

6、上 取值区间几乎就是取值区间几乎就是( -3 , +3 )，这就是，这就是“3 ”规则规则。 设随机变量设随机变量XN( , 2)，依定理，有，依定理，有 的必然事件，在一次试验中几乎一定发生，因此的必然事件，在一次试验中几乎一定发生，因此X的的 同理同理 P -2 X +2 =2 (2)-1=0.9544. P -3 X +3 =2 (3)-1=0.9974. = (1)- (-1)=2 (1)-1=0.6826. 相等事件相等事件 例例1 若随机变量若随机变量XN(0, 1)，则随机变量，则随机变量Y=-XN(0, 1)。 【证】【证】设设Y的分布函数为的分布函数为F(y)，依定义，依定义

7、， F(y)=PY y, y R， F(y)=PY y=P-X y=PX -y=1-PX-y =1- (-y)= (y)， y R。 故故YN(0, 1)。 【注】若【注】若XN(0, 1)，则，则-XN(0, 1)。 依标准正态分布函数依标准正态分布函数 (x)的性质，有的性质，有 分别为分别为0.1, 0.001, 0.2，假设电源电压，假设电源电压X服从正态分布服从正态分布 (2)该电子元件损坏时，电源电压在该电子元件损坏时，电源电压在200240伏的概率。伏的概率。 (1)该电子元件损坏的概率；该电子元件损坏的概率； 例例2 在电源电压不超过在电源电压不超过200伏，在伏，在200伏到

8、伏到240伏之间伏之间 和超过和超过240伏三种情况下，某种电子元件损坏的概率伏三种情况下，某种电子元件损坏的概率 N(220, 252)。试求：。试求： 【解】【解】记事件记事件A1 =电压不超过电压不超过200伏伏， A2 =电压在电压在200伏到伏到240伏之间伏之间， A3 =电压超过电压超过240伏伏， B=电子元件损坏电子元件损坏， 依题设，依题设，XN(220, 252)，依定理，依定理2.5，有，有 1 220200220 25 2 25 00PP X PAX ( 0.8)1(0.8)0.2119, 2 200220220240220 25 200240 2525 P APX

9、X P (0.8)( 0.8)2 (0.8)10.5762, 3 220240220 1 252 240 5 X PP AP X 1(0.8)0.2119, 123 0.1,0.001,0.2,P B AP B AP B A 相等事件相等事件 相等事件相等事件 112233 P BP B AP AP B AP AP B AP A .0 1 0 21190 001 0 57620 2 0 210 06419 22 2 0.0005762 0.009. ()0.064 P B AP A P A B P B (1)以以A1 , A2 , A3为一完备事件组，依全概率公式，有为一完备事件组，依全概率公

10、式，有 (2)依贝叶斯公式，有依贝叶斯公式，有 点点z 为标准正态分布的为标准正态分布的上上 分位点分位点。 【注】依对称性，【注】依对称性，z1- =-z 。 如图所示，此时如图所示，此时 (x) -z O z x 设设XN(0, 1)，对，对0 z = ，则称，则称 (z )=PX z =1-PXz =1- 。 定理定理2.6 设随机变量设随机变量XN( , 2)，当，当b 0时，有时，有 Y=a+bXN(a+b , b2 2)。 【评】正态变量的线性函数仍服从正态分布。【评】正态变量的线性函数仍服从正态分布。 当当b0时，时， () (0,1), abXabX ZN b 依定义依定义2.

11、15，有，有 Y=a+bXN(a+b , b2 2)。 【证】【证】因为因为 , 令随机变量令随机变量 () , Yab Z b (0,1) X N 当当b0时，时， () (0,1), abXabX ZN b 在概率论与数理统计中，最重要的分布就是正态分布。在概率论与数理统计中，最重要的分布就是正态分布。 重要性在于：实际问题中有许多随机变量服从或近似重要性在于：实际问题中有许多随机变量服从或近似 服从正态分布，相当广泛的一类随机变量其取值具有服从正态分布，相当广泛的一类随机变量其取值具有 正态分布的概率密度和分布函数具有许多良好的性质；正态分布的概率密度和分布函数具有许多良好的性质； 正态

12、分布是许多分布的极限分布。正态分布是许多分布的极限分布。 “中间多，两边少，左右基本对称中间多，两边少，左右基本对称”的特征，可用正态的特征，可用正态 分布或近似地用正态分布来刻画。诸如：测量的误差，分布或近似地用正态分布来刻画。诸如：测量的误差， 人的身高，体重，产品的尺寸，小麦的亩产量，一门人的身高，体重，产品的尺寸，小麦的亩产量，一门 课程的考试成绩，等等。课程的考试成绩，等等。 【提纲挈领】【提纲挈领】 10理解和掌握正态分布的概率密度函数、背景及性质。理解和掌握正态分布的概率密度函数、背景及性质。 数学家数学家 棣莫弗棣莫弗 在概率论中的贡献在概率论中的贡献 简介简介 棣莫弗棣莫弗(

13、1667-1754)法国数学家法国数学家 随着时间的流逝，棣莫弗和当时主要的数学家们成了随着时间的流逝，棣莫弗和当时主要的数学家们成了 朋友，其中包括牛顿和英国数学家、科学家哈雷。朋友，其中包括牛顿和英国数学家、科学家哈雷。 棣莫弗最著名的轶事涉及牛顿。在牛顿的后半生，当棣莫弗最著名的轶事涉及牛顿。在牛顿的后半生，当 人们向牛顿请教数学问题时，他就会让他们找棣莫弗，人们向牛顿请教数学问题时，他就会让他们找棣莫弗， 并说：并说：“这样的问题应该去找棣莫弗，他对这些问题这样的问题应该去找棣莫弗，他对这些问题 的研究比我深入得多。的研究比我深入得多。”这可是相当出色的评价了。这可是相当出色的评价了。

14、 棣莫弗的主要著作是棣莫弗的主要著作是机会的学说机会的学说，该书出版之后，该书出版之后， 许多数学家都认识到概率论是一门重要的学科，它为许多数学家都认识到概率论是一门重要的学科，它为 各种理论的和实际的问题提供见解。各种理论的和实际的问题提供见解。 通过研究被多人认为是恶习的赌博，棣莫弗期望不断通过研究被多人认为是恶习的赌博，棣莫弗期望不断 地解决从这些问题抽象出的更本质的数学问题。他推地解决从这些问题抽象出的更本质的数学问题。他推 动了数学前沿的发展。动了数学前沿的发展。 棣莫弗首先发现了正态曲线，也叫棣莫弗首先发现了正态曲线，也叫钟形曲线钟形曲线。它是描。它是描 述许多随机现象的有力工具。并不是每个随机现象都述许多随机现象的有力工具。并不是每个随机现象都 能很好地用正态曲线描述，但是许多人类活动的结果能很好地用正态曲线描述，但是许多人类活动的结果 都具有所谓的都具有所谓的正态分布正态分布。 美美John Tabak. 概率论和统计学概率论和统计学M. 商务印书馆商务印书馆, 2007 更详尽的内容请参考：更详尽的内容请参考：